几何光学：折射与反射

AP 物理 2· AP Physics 2 CED — 几何光学与物理光学· 14 分钟阅读

1. 反射定律与折射率★★☆☆☆⏱ 3 min

几何光学中最基础的物理量是折射率 $n$ ，它描述了光在介质中传播速度比真空慢多少。所有角度都是相对于法线（垂直于分界面）测量的，而非相对于分界面本身。

📘 定义

折射率

$n$

真空中光速与介质中光速的比值。对于所有实际介质，都满足 $n \geq 1$ ；几乎所有考题中都取 $n_{vacuum} = 1$ 和 $n_{air} \approx 1$ 。

n = \frac{c}{v}

当光穿过分界面时，频率 $f$ 保持不变（由光源决定），因此波长随速度成比例变化： $λ_{n} = \frac{λ _{0}}{n}$ ，其中 $λ_{0}$ 是光在真空/空气中的波长。

📘 定义

反射定律

$θ_{i} = θ_{r}$

对于光滑平面分界面的反射，入射角（入射光线与法线的夹角）等于反射角（反射光线与法线的夹角）。入射光线、反射光线和法线三者共面。

📐 例题

一束激光以28°的入射角（相对于玻璃表面测量）入射到平整玻璃窗上。入射光线与反射光线之间的夹角是多少？

1
将题目给出的相对于表面的角度转换为相对于法线的入射角：
2
$\theta_i = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$
3
根据反射定律，反射角等于入射角：
4
$\theta_r = \theta_i = 62^\circ$
5
由于两条光线分别位于法线两侧，因此它们之间的总夹角等于两个角度之和：
6
$\theta_{\text{total}} = \theta_i + \theta_r = 62^\circ + 62^\circ = 124^\circ$

Exam tip:

一定要再次确认题目给出的角度是相对于分界面还是法线。如果是相对于分界面，计算前一定要先减去90°得到法线角度。

2. 斯涅尔折射定律★★★☆☆⏱ 4 min

当光从介质1穿过分界面进入介质2时，由于传播速度改变会发生偏折（折射）。入射角和折射角的关系由斯涅尔定律给出。

📘 定义

斯涅尔折射定律

将入射角、折射角与两种介质的折射率关联起来。

n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2

判断偏折方向有一个简单经验法则：如果 $n_{2} > n_{1}$ （光进入折射率更大、速度更慢的介质），光向法线偏折。如果 $n_{2} < n_{1}$ ，光远离法线偏折。

📐 例题

光从空气（ $n_{1} = 1.00$ ）射入橄榄油（ $n_{2} = 1.47$ ）。相对于法线的入射角是30°，光在空气中的波长是630 nm。求折射角以及光在橄榄油中的波长。

1
从斯涅尔定律出发，整理得 $sin θ_{2}$ 的表达式：
2
$\sin\theta_2 = \frac{n_1 \sin\theta_1}{n_2} = \frac{1.00 \cdot \sin30^\circ}{1.47} \approx 0.340$
3
计算折射角：
4
$\theta_2 = \arcsin(0.340) \approx 19.9^\circ$
5
这符合我们的预期：光从低 $n$ 介质（空气）进入高 $n$ 介质（油），向法线偏折。接下来计算油中的波长：
6
$\lambda_{\text{oil}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{n_2} = \frac{630 \text{ nm}}{1.47} \approx 429 \text{ nm}$

Exam tip:

当题目要求判断偏折方向时，一定要先比较折射率：折射率越大→速度越慢→向法线偏折。不要从图中猜测，因为题目中的示意图通常不按比例绘制。

3. 全内反射与临界角★★★☆☆⏱ 3 min

全内反射（TIR）是所有入射光都反射回原介质、没有光折射进入第二种介质的现象。全内反射仅发生在光从高折射率介质射向低折射率介质（ $n_{1} > n_{2}$ ）的情况。如果入射角足够大，斯涅尔定律会要求 $sin θ_{2} > 1$ ，这不可能成立，因此不存在折射光线。

📘 定义

临界角

$θ_{c}$

引发全内反射所需的最小入射角。在临界角下，折射角恰好为 $9 0^{\circ}$ ，因此 $sin θ_{2} = 1$ 。

\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \quad (n_1 > n_2)

全内反射是光纤通信、钻石闪光和双筒望远镜中反射棱镜的工作原理。

📐 例题

鱼缸中的水折射率为 $n_{water} = 1.33$ ，空气折射率为 $n_{air} = 1.00$ 。一条鱼从水中向水面看，观察方向与法线成45°角（光从水传播到空气）。这条鱼看到的是水面上方的光，还是鱼缸底部的反射？

1
确认全内反射条件：光从高 $n$ 介质（水）射向低 $n$ 介质（空气），因此可能发生全内反射。计算临界角：
2
$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.752 \implies \theta_c = \arcsin(0.752) \approx 48.8^\circ$
3
比较入射角和临界角： $4 5^{\circ} < 48. 8^{\circ}$ ，因此不发生全内反射。所以鱼能看到水面上方的光。

Exam tip:

光从低 $n$ 介质射向高 $n$ 介质时不可能发生全内反射。计算临界角前一定要先检查传播方向。

4. AP风格补充例题★★★★☆⏱ 4 min

📐 例题

一束光从玉米糖浆（ $n_{1} = 1.48$ ）射入未知透明液体。相对于法线的入射角为40°，折射角为47°相对于法线。(a) 计算未知液体的折射率。(b) 光是向法线偏折还是远离法线偏折？(c) 求该分界面的临界角。

1
(a) 整理斯涅尔定律求解 $n_{2}$ ：
2
$n_2 = \frac{n_1 \sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{1.48 \cdot \sin40^\circ}{\sin47^\circ} \approx 1.30$
3
(b) 光远离法线偏折。光从高 $n$ 介质（1.48）进入低 $n$ 介质（1.30），速度变快，因此远离法线偏折。
4
(c) 因为 $n_{1} > n_{2}$ ，所以存在临界角：
5
$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.30}{1.48} \approx 0.878 \implies \theta_c \approx 61^\circ$

📐 例题

阶跃折射率光纤的玻璃纤芯折射率为 $n_{1} = 1.52$ ，外部聚合物包层折射率为 $n_{2} = 1.49$ 。要使光线在纤芯-包层分界面发生全内反射，从空气入射进入纤芯的最大入射角是多少？

1
首先求解纤芯-包层分界面发生全内反射的临界角：
2
$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.49}{1.52} \approx 0.980 \implies \theta_c \approx 78.5^\circ$
3
根据几何关系，纤芯内光线相对于入射端面法线的角度为：
4
$\theta_2 = 90^\circ - 78.5^\circ = 11.5^\circ$
5
在入射端面（空气到纤芯）应用斯涅尔定律：
6
$n_{\text{air}} \sin\theta_{\text{max}} = n_1 \sin\theta_2 \implies \sin\theta_{\text{max}} \approx 0.304 \implies \theta_{\text{max}} \approx 17.7^\circ$

5. 常见陷阱

错误做法:

直接将题目给出的相对于分界面的角度用于斯涅尔定律或反射定律

原因:

题目经常故意给出相对于表面的角度，用来考察你对角度约定的掌握

正确做法:

一定要检查题目中角度的参考基准；如果是相对于分界面的，计算前先减去90°

错误做法:

为从低 $n$ 介质射向高 $n$ 介质的光计算临界角

原因:

学生记住了公式，但忘记全内反射仅发生在从高折射率到低折射率的情况

正确做法:

使用临界角公式前明确确认 $n_{1} > n_{2}$ ；如果不满足，就不可能发生全内反射

错误做法:

计算光在新介质中的波长或速度时错误改变频率

原因:

学生混淆了波长和频率的变化，错误认为频率会随折射率改变

正确做法:

频率始终由光源决定，穿过分界面时永远不变；只有速度和波长会改变

错误做法:

声称光从空气进入玻璃时会远离法线偏折

原因:

学生混淆了折射率、速度和偏折方向之间的关系

正确做法:

遵循规则：更高 $n$ = 更慢速度 = 更小角度 = 向法线偏折；更低 $n$ = 更快速度 = 更大角度 = 远离法线偏折

错误做法:

将临界角公式写为 $sin θ_{c} = n_{1} / n_{2}$ instead of $n_{2} / n_{1}$

原因:

学生背诵时混淆了两个折射率的位置

正确做法:

永远从头从斯涅尔定律推导：start with $n_{1} sin θ_{c} = n_{2} sin 9 0^{\circ}$ , so $sin θ_{c} = n_{2} / n_{1}$

错误做法:

将入射角和折射角相加得到两条光线之间的夹角

原因:

学生混淆了反射和折射的几何关系

正确做法:

反射时，入射角和反射角相加；折射时，大角度减去小角度得到两条光线的夹角

6. 速查表

类别	公式	说明
折射率	$n = \frac{c}{v}$	$c = 3 \times 1 0^{8}$ m/s，始终满足 $n \geq 1$ ，大多数题目中 $n_{ai r} \approx 1$
介质中的波长	$λ_{n} = \frac{λ _{0}}{n}$	$λ_{0}$ = 真空/空气中的波长；频率 $f$ 穿过分界面时保持不变
反射定律	$θ_{i} = θ_{r}$	所有角度都相对于法线（垂直于分界面）测量
斯涅尔折射定律	$n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$	$θ_{1}$ = 介质1中的入射角， $θ_{2}$ = 介质2中的折射角
偏折方向规则	N/A	If $n_{2} > n_{1}$ : bend toward normal; if $n_{2} < n_{1}$ : bend away from normal
全内反射临界角	$sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$	仅当 $n_{1} > n_{2}$ 时成立（光从高折射率到低折射率）
全内反射发生条件	$θ_{1} > θ_{c}$	发生全内反射时没有折射，所有光都反射回入射介质

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
全内反射临界角计算
2022 · FRQ
斯涅尔定律应用问题
2021 · MCQ
偏折方向概念题

下一步

本主题是第6单元所有剩余内容的基础前提。接下来，你会将这些反射和折射规则应用到曲面镜和薄透镜，拓展光线模型来求解像的位置、大小和放大率。如果不在这里掌握角度约定、斯涅尔定律和全内反射，你无法正确绘制光线图或求解成像问题，而成像问题占本单元考试分数的很大比例。几何光学之后，你会学习物理光学，放弃光线近似来研究干涉和衍射，这会用到你在这里学到的波长-折射率关系。本主题将电磁波行为与光纤光学、相机、望远镜等实际光学技术联系起来。