# 几何光学：折射与反射

> AP 物理 2 · 第6单元：几何光学与物理光学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-geometric-optics-refraction-and-reflection/

本模块讲解AP物理2第6单元要求的核心内容：透明介质平面分界面处光的几何光学行为，包括折射率、反射定律、斯涅尔折射定律、全内反射和临界角计算。

**先修:** 电磁波的波速、波长和频率关系; 光沿直线传播的基本光线模型; [几何角度测量约定](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-overview/)

## 学习目标

- 定义折射率，并将其与光速和波长关联
- 应用反射定律求解平面分界面问题
- 利用斯涅尔定律计算折射角和介质折射率
- 计算临界角并判断全内反射何时发生

## 反射定律与折射率

几何光学中最基础的物理量是折射率$n$，它描述了光在介质中传播速度比真空慢多少。所有角度都是相对于法线（垂直于分界面）测量的，而非相对于分界面本身。

**折射率** — 真空中光速与介质中光速的比值。对于所有实际介质，都满足$n \geq 1$；几乎所有考题中都取$n_{\text{vacuum}} = 1$和$n_{\text{air}} \approx 1$。

*记法:* $n$

$$n = \frac{c}{v}$$

当光穿过分界面时，频率$f$保持不变（由光源决定），因此波长随速度成比例变化：$\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$，其中$\lambda_0$是光在真空/空气中的波长。

**反射定律** — 对于光滑平面分界面的反射，入射角（入射光线与法线的夹角）等于反射角（反射光线与法线的夹角）。入射光线、反射光线和法线三者共面。

*记法:* $\theta_i = \theta_r$

**例题:** 一束激光以28°的入射角（相对于玻璃表面测量）入射到平整玻璃窗上。入射光线与反射光线之间的夹角是多少？

1. 将题目给出的相对于表面的角度转换为相对于法线的入射角：
2. $$\theta_i = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$$
3. 根据反射定律，反射角等于入射角：
4. $$\theta_r = \theta_i = 62^\circ$$
5. 由于两条光线分别位于法线两侧，因此它们之间的总夹角等于两个角度之和：
6. $$\theta_{\text{total}} = \theta_i + \theta_r = 62^\circ + 62^\circ = 124^\circ$$

> **考试提示:** 一定要再次确认题目给出的角度是相对于分界面还是法线。如果是相对于分界面，计算前一定要先减去90°得到法线角度。

## 斯涅尔折射定律

当光从介质1穿过分界面进入介质2时，由于传播速度改变会发生偏折（折射）。入射角和折射角的关系由斯涅尔定律给出。

**斯涅尔折射定律** — 将入射角、折射角与两种介质的折射率关联起来。

$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$

判断偏折方向有一个简单经验法则：如果$n_2 > n_1$（光进入折射率更大、速度更慢的介质），光向法线偏折。如果$n_2 < n_1$，光远离法线偏折。

**例题:** 光从空气（$n_1 = 1.00$）射入橄榄油（$n_2 = 1.47$）。相对于法线的入射角是30°，光在空气中的波长是630 nm。求折射角以及光在橄榄油中的波长。

1. 从斯涅尔定律出发，整理得$\sin\theta_2$的表达式：
2. $$\sin\theta_2 = \frac{n_1 \sin\theta_1}{n_2} = \frac{1.00 \cdot \sin30^\circ}{1.47} \approx 0.340$$
3. 计算折射角：
4. $$\theta_2 = \arcsin(0.340) \approx 19.9^\circ$$
5. 这符合我们的预期：光从低$n$介质（空气）进入高$n$介质（油），向法线偏折。接下来计算油中的波长：
6. $$\lambda_{\text{oil}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{n_2} = \frac{630 \text{ nm}}{1.47} \approx 429 \text{ nm}$$

> **考试提示:** 当题目要求判断偏折方向时，一定要先比较折射率：折射率越大→速度越慢→向法线偏折。不要从图中猜测，因为题目中的示意图通常不按比例绘制。

## 全内反射与临界角

全内反射（TIR）是所有入射光都反射回原介质、没有光折射进入第二种介质的现象。全内反射仅发生在光从高折射率介质射向低折射率介质（$n_1 > n_2$）的情况。如果入射角足够大，斯涅尔定律会要求$\sin\theta_2 > 1$，这不可能成立，因此不存在折射光线。

**临界角** — 引发全内反射所需的最小入射角。在临界角下，折射角恰好为$90^\circ$，因此$\sin\theta_2 = 1$。

*记法:* $\theta_c$

$$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \quad (n_1 > n_2)$$

全内反射是光纤通信、钻石闪光和双筒望远镜中反射棱镜的工作原理。

**例题:** 鱼缸中的水折射率为$n_{\text{water}} = 1.33$，空气折射率为$n_{\text{air}} = 1.00$。一条鱼从水中向水面看，观察方向与法线成45°角（光从水传播到空气）。这条鱼看到的是水面上方的光，还是鱼缸底部的反射？

1. 确认全内反射条件：光从高$n$介质（水）射向低$n$介质（空气），因此可能发生全内反射。计算临界角：
2. $$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.752 \implies \theta_c = \arcsin(0.752) \approx 48.8^\circ$$
3. 比较入射角和临界角：$45^\circ < 48.8^\circ$，因此不发生全内反射。所以鱼能看到水面上方的光。

> **考试提示:** 光从低$n$介质射向高$n$介质时不可能发生全内反射。计算临界角前一定要先检查传播方向。

## AP风格补充例题

**例题:** 一束光从玉米糖浆（$n_1 = 1.48$）射入未知透明液体。相对于法线的入射角为40°，折射角为47°相对于法线。(a) 计算未知液体的折射率。(b) 光是向法线偏折还是远离法线偏折？(c) 求该分界面的临界角。

1. (a) 整理斯涅尔定律求解$n_2$：
2. $$n_2 = \frac{n_1 \sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{1.48 \cdot \sin40^\circ}{\sin47^\circ} \approx 1.30$$
3. (b) 光远离法线偏折。光从高$n$介质（1.48）进入低$n$介质（1.30），速度变快，因此远离法线偏折。
4. (c) 因为$n_1 > n_2$，所以存在临界角：
5. $$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.30}{1.48} \approx 0.878 \implies \theta_c \approx 61^\circ$$

**例题:** 阶跃折射率光纤的玻璃纤芯折射率为$n_1 = 1.52$，外部聚合物包层折射率为$n_2 = 1.49$。要使光线在纤芯-包层分界面发生全内反射，从空气入射进入纤芯的最大入射角是多少？

1. 首先求解纤芯-包层分界面发生全内反射的临界角：
2. $$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.49}{1.52} \approx 0.980 \implies \theta_c \approx 78.5^\circ$$
3. 根据几何关系，纤芯内光线相对于入射端面法线的角度为：
4. $$\theta_2 = 90^\circ - 78.5^\circ = 11.5^\circ$$
5. 在入射端面（空气到纤芯）应用斯涅尔定律：
6. $$n_{\text{air}} \sin\theta_{\text{max}} = n_1 \sin\theta_2 \implies \sin\theta_{\text{max}} \approx 0.304 \implies \theta_{\text{max}} \approx 17.7^\circ$$

## 常见错误

- **错误做法:** 直接将题目给出的相对于分界面的角度用于斯涅尔定律或反射定律
  - 原因: 题目经常故意给出相对于表面的角度，用来考察你对角度约定的掌握
  - 正确做法: 一定要检查题目中角度的参考基准；如果是相对于分界面的，计算前先减去90°
- **错误做法:** 为从低$n$介质射向高$n$介质的光计算临界角
  - 原因: 学生记住了公式，但忘记全内反射仅发生在从高折射率到低折射率的情况
  - 正确做法: 使用临界角公式前明确确认$n_1 > n_2$；如果不满足，就不可能发生全内反射
- **错误做法:** 计算光在新介质中的波长或速度时错误改变频率
  - 原因: 学生混淆了波长和频率的变化，错误认为频率会随折射率改变
  - 正确做法: 频率始终由光源决定，穿过分界面时永远不变；只有速度和波长会改变
- **错误做法:** 声称光从空气进入玻璃时会远离法线偏折
  - 原因: 学生混淆了折射率、速度和偏折方向之间的关系
  - 正确做法: 遵循规则：更高$n$ = 更慢速度 = 更小角度 = 向法线偏折；更低$n$ = 更快速度 = 更大角度 = 远离法线偏折
- **错误做法:** 将临界角公式写为$\sin\theta_c = n_1/n_2$ instead of $n_2/n_1$
  - 原因: 学生背诵时混淆了两个折射率的位置
  - 正确做法: 永远从头从斯涅尔定律推导：start with $n_1 \sin\theta_c = n_2 \sin90^\circ$, so $\sin\theta_c = n_2/n_1$
- **错误做法:** 将入射角和折射角相加得到两条光线之间的夹角
  - 原因: 学生混淆了反射和折射的几何关系
  - 正确做法: 反射时，入射角和反射角相加；折射时，大角度减去小角度得到两条光线的夹角

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 折射率 | $n = \frac{c}{v}$ | $c = 3 \times 10^8$ m/s，始终满足$n \geq 1$，大多数题目中$n_{air} \approx 1$ |
| 介质中的波长 | $\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$ | $\lambda_0$ = 真空/空气中的波长；频率$f$穿过分界面时保持不变 |
| 反射定律 | $\theta_i = \theta_r$ | 所有角度都相对于法线（垂直于分界面）测量 |
| 斯涅尔折射定律 | $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$ | $\theta_1$ = 介质1中的入射角，$\theta_2$ = 介质2中的折射角 |
| 偏折方向规则 | N/A | If $n_2 > n_1$: bend toward normal; if $n_2 < n_1$: bend away from normal |
| 全内反射临界角 | $\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$ | 仅当$n_1 > n_2$时成立（光从高折射率到低折射率） |
| 全内反射发生条件 | $\theta_1 > \theta_c$ | 发生全内反射时没有折射，所有光都反射回入射介质 |

## 下一步

本主题是第6单元所有剩余内容的基础前提。接下来，你会将这些反射和折射规则应用到曲面镜和薄透镜，拓展光线模型来求解像的位置、大小和放大率。如果不在这里掌握角度约定、斯涅尔定律和全内反射，你无法正确绘制光线图或求解成像问题，而成像问题占本单元考试分数的很大比例。几何光学之后，你会学习物理光学，放弃光线近似来研究干涉和衍射，这会用到你在这里学到的波长-折射率关系。本主题将电磁波行为与光纤光学、相机、望远镜等实际光学技术联系起来。

- [成像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-images/)
- [干涉与衍射](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-interference-and-diffraction/)
- [量子、原子与核物理学概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-overview/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-geometric-optics-refraction-and-reflection/