电流产生的磁场

AP 物理 2· AP 物理 2 CED — 磁学与电磁感应· 14 分钟阅读

1. 毕奥-萨伐尔定律与直导线磁场★★☆☆☆⏱ 4 min

毕奥-萨伐尔定律是求解任意恒定电流分布产生磁场的通用法则。它将总电流拆分为无数个无穷小电流元 $I d l$ ，每个电流元都会在距离该电流元 $r$ 处的点产生一个小磁场 $d B$ 。

d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}

其中 $d l$ 指向约定电流的方向， $\overset{r}{^}$ 是从电流元指向场点的单位矢量，磁场方向遵循叉乘的右手定则。对于无穷长直导线，对毕奥-萨伐尔定律积分后可得到简洁的大小公式：

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

此处 $r$ 是直导线到场点的垂直距离。磁场方向使用右手螺旋定则：右手拇指沿约定电流方向指向，弯曲的四指环绕方向就是导线周围磁场的环形方向。

📐 例题

一根长直导线沿y轴向上通有2.5 A的约定电流，求x轴上导线右侧3 cm处的点 $(x = 3.0 cm, y = 0)$ 的磁场大小与方向。

1
整理已知量并转换单位： $I = 2.5 A$ ， $r = 0.03 m$ ， $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$
2
代入直导线磁场公式：
3
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
4
计算大小：
5
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(2.5)}{2\pi (0.03)} \approx 1.7 \times 10^{-5} \text{ T} = 17 \ \mu\text{T}$
6
用右手螺旋定则判断方向：拇指沿导线向上，因此在导线右侧的点，弯曲的四指指向纸内。

2. 平行载流导线之间的磁力★★★☆☆⏱ 3 min

任何处于外磁场中的载流导线都会受到净磁力 $F = B I L sin θ$ ，其中 $h e t a$ 是电流方向与外磁场方向的夹角。对于两根平行载流导线，每根导线产生的磁场都会对另一根导线施加作用力。

对于长度为 $L$ 、分别通有电流 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 、间距为 $d$ 的两根平行导线，导线1在导线2位置产生的磁场为 $B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π d}$ ，该磁场方向垂直于导线2，因此 $sin θ = 1$ 。代入后得到净作用力：

F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi d}

方向判断规则很简单：同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。这是国际单位制中安培定义的基础，不过AP物理2不要求你记忆这个定义。

📐 例题

两根平行导线间距为5.0 cm，导线A通有向上的4.0 A电流，导线B通有向下的6.0 A电流。求导线A单位长度所受作用力的大小，并判断该力是吸引力还是排斥力？

1
我们需要求解单位长度的作用力，因此将力公式除以 $L$ 得到：
2
$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$
3
转换单位得 $d = 5.0 cm = 0.05 m$ ，代入数值：
4
$\frac{F}{L} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(4.0)(6.0)}{2\pi (0.05)} = 9.6 \times 10^{-5} \text{ N/m}$
5
确认方向：电流方向相反，因此导线之间的作用力为排斥力。你可以分别用右手定则判断磁场和力的方向，来验证这个结论。

3. 安培环路定理与螺线管的磁场★★★☆☆⏱ 4 min

对于具有高对称性的电流分布，安培环路定理是比毕奥-萨伐尔定律更简便的方法。安培环路定理指出，磁场沿任意闭合回路（称为安培环路）的线积分等于 $μ_{0}$ 乘以回路所包围的净电流：

\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}

要有效使用安培环路定理，你需要选择与磁场对称性匹配的安培环路，这样在磁场非零的位置， $B$ 大小恒定且方向平行于环路。在AP物理2中，安培环路定理最常见的应用之一就是求解理想螺线管内部的磁场。

理想螺线管是将导线紧密缠绕而成的长线圈，通有电流 $I$ 。线圈内部磁场均匀，方向平行于螺线管轴线，线圈外部磁场为零。如果 $n = N / L$ 是单位长度的匝数，安培环路定理可简化得到：

B = \mu_0 n I

螺线管内部磁场方向同样使用右手螺旋定则：右手四指沿电流方向环绕螺线管，拇指的指向就是螺线管轴线上磁场的方向。

📐 例题

一个螺线管长10 cm，共有500匝导线，通有2.0 A的电流。求螺线管中心的磁场大小？如果从螺线管右端观察，电流为顺时针方向，求中心处磁场的方向。

1
计算单位长度匝数： $L = 10 cm = 0.10 m$ ，因此 $n = N / L = 500/0.10 = 5000 匝 / 米$
2
代入螺线管磁场公式：
3
$B = \mu_0 n I = (4\pi \times 10^{-7})(5000)(2.0) \approx 0.013 \text{ T} = 13 \text{ mT}$
4
判断方向：从右端观察电流为顺时针，右手四指顺时针弯曲，拇指指向左方，因此磁场沿轴线指向螺线管的左端。

4. AP风格练习题★★★★☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道选择题测试你的理解：

两根长平行导线间距为 $d$ ，通有大小相等、方向相反的电流 $I$ 。求两根导线中点处净磁场的大小是多少？
- $0$
- $\frac{μ _{0} I}{2 π d}$
- $\frac{μ _{0} I}{π d}$
- $\frac{2 μ _{0} I}{π d}$
显示答案
3 —
每根导线到中点的距离都是 $d /2$ ，因此每根导线在中点产生的磁场大小都是 $\frac{μ _{0} I}{π d}$ 。电流方向相反意味着两个磁场在中点处方向相同，因此我们将它们的大小相加得到总净磁场。

📐 例题

一名学生将200匝绝缘铜线缠绕在一根长5.0 cm的空心塑料管上制作螺线管，做成一个小型电磁铁。螺线管连接到一节1.5 V的AA电池，导线总电阻为3.0 Ω。估算该电磁铁中心的磁场大小。

1
用欧姆定律求电流： $I = V / R = 1.5 V /3.0 Ω = 0.50 A$
2
计算单位长度匝数： $L = 5.0 cm = 0.050 m$ ，因此 $n = 200/0.050 = 4000 匝 / 米$
3
代入螺线管磁场公式：
4
$B = \mu_0 n I = (4\pi \times 10^{-7} \text{ Tm/A})(4000 \text{ m}^{-1})(0.50 \text{ A}) \approx 2.5 \times 10^{-3} \text{ T} = 2500 \ \mu\text{T}$
5
这个大小约是地球表面磁场（~50 μT）的50倍，符合自制小型电磁铁的实际预期。

5. 常见陷阱

错误做法:

判断磁场方向时，使用电子流动方向而非约定电流方向应用右手定则

原因:

许多学生在入门物理中先学习了电子流动方向，忘记AP所有规则都使用约定电流

正确做法:

始终确认题目给出的电流方向；如果题目明确给出的是电子流动方向，在应用任何右手定则前先将方向反转

错误做法:

在螺线管磁场公式中使用总匝数 $N$ ，而非单位长度匝数 $n = N / L$

原因:

学生记错公式，混淆了不同来源的符号记法

正确做法:

每次解答螺线管问题时，在代入 $B = μ_{0} n I$ 前先明确写出 $n = N / L$

错误做法:

在计算题中认为理想螺线管外部的磁场非零

原因:

学生将有限长的实际螺线管，与AP物理2中使用的理想近似模型混淆

正确做法:

除非题目明确要求讨论实际短螺线管，否则默认理想螺线管外部 $B = 0$

错误做法:

和静电电荷的直觉一致，认为同向电流排斥、反向电流吸引

原因:

学生将电流的作用力规则与静电电荷的作用力规则混淆

正确做法:

用记忆口诀「同向吸」来记住这个规则，如果不确定，考试中可以用两步右手定则快速重新推导方向

错误做法:

在 $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ 公式中，使用到点的直线距离，而非导线到场点的垂直距离

原因:

学生将公式错误应用于不在垂直轴上的点，取错了距离

正确做法:

代入前，始终先计算导线到场点的最短（垂直）距离

6. 速查表

类别	公式	说明
毕奥-萨伐尔定律（通用）	$d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r ^}{r ^{2}}$	适用于任意恒定电流分布； $d l$ 指向约定电流方向
长直导线的磁场	$B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$	$r$ 是导线到场点的垂直距离；方向由右手螺旋定则判断
平行导线之间的作用力	$F = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2} L}{2 π d}$	同向电流吸引，反向电流排斥； $d$ 是导线间距
安培环路定理	$\oint B \cdot d l = μ_{0} I_{enclosed}$	适用于对称电流分布； $I_{enclosed}$ 是安培环路包围的净电流
理想螺线管内部磁场	$B = μ_{0} n I$	$n = N / L$ = 单位长度匝数；理想螺线管内部 $B$ 均匀，外部 $B = 0$
真空磁导率	$μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$	AP物理2中所有真空计算都使用该精确值

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
平行载流导线之间的作用力
2022 · 2
螺线管磁场计算

下一步

本主题是AP物理2第5单元中所有后续磁学和电磁感应内容的基础。要解答几乎所有多概念磁学习题（这些习题在考试的选择题和自由作答题部分都很常见），你必须掌握这里的右手定则和磁场大小计算。接下来，你将在此知识基础上学习外磁场中运动电荷和载流导线受到的磁力，你会用到在这里练习的磁场计算技能。之后，你将学习电磁感应，计算回路的磁通量完全依赖于你理解电流产生的磁场如何分布。没有这个基础，解答复杂的感应问题会比必要的难度难得多。