磁场中运动电荷受到的力

AP 物理 2· AP Physics 2 CED — 磁学与电磁感应· 14 分钟阅读

1. 洛伦兹力定律：大小与方向★★☆☆☆⏱ 4 min

当运动电荷穿过外磁场时，磁场会对电荷施加磁场力。与电场力（对静止和运动电荷都有作用）和引力（对亚原子粒子可忽略）不同，磁场力始终垂直于电荷速度矢量和磁场矢量，因此它永远不对运动电荷做功。

📘 定义

洛伦兹力

$F_{B} = ∣ q ∣ v B sin θ$

运动电荷所受磁场力的大小，其中 $q$ 是粒子电荷量， $v$ 是粒子速率， $B$ 是磁感应强度大小， $θ$ 是 $v$ 与 $B$ 之间的夹角

例:

若 $v = 0$ 或 $v$ 平行/反平行于 $B$ ，受力为零；当 $θ = 9 0^{\circ}$ 时受力最大

方向判断使用右手定则：右手四指沿 $v$ 方向，向 $B$ 方向弯曲四指，大拇指指向即为正电荷所受 $F_{B}$ 的方向。负电荷的受力方向与该方向相反。

📐 例题

一个α粒子（电荷量 $+ 3.2 \times 1 0^{- 19} C$ ）以 $3.5 \times 1 0^{4} m/s$ 的速率穿过磁感应强度为 $0.75 T$ 的磁场，α粒子速度方向与磁场矢量夹角为45°。求α粒子所受磁场力的大小。

1
列出所有已知量：
2
$q = 3.2 \times 10^{-19}\ \text{C}, v=3.5 \times 10^4\ \text{m/s}, B=0.75\ \text{T}, \theta=45^\circ$
3
写出磁场力大小公式：
4
$F_B = |q|vB \sin\theta$
5
代入数值，其中 $sin 4 5^{\circ} \approx 0.707$ ：
6
$F_B = (3.2 \times 10^{-19})(3.5 \times 10^4)(0.75)(0.707)$
7
计算得到最终力的大小：
8
$F_B \approx 5.9 \times 10^{-15}\ \text{N}$

Exam tip:

给出方向前一定要确认电荷的正负。如果题目给出的是电子或其他带负电粒子，一定要明确反转右手定则得到的方向——这是AP选择题中最常见的方向判断错误。

2. 均匀磁场中电荷的匀速圆周运动★★★☆☆⏱ 4 min

当带电粒子垂直射入均匀磁场时，磁场力始终垂直于粒子速度，因此它充当向心力，使粒子做匀速圆周运动。这是AP物理2考试中最常考查的题型之一。

🔬 推导

目标:

推导圆周运动的轨道半径和周期

起点:

将最大磁场力（ $θ = 9 0^{\circ}$ ）与圆周运动的向心力联立相等

1
令两力相等：
2
$|q|vB = \frac{mv^2}{r}$
3
两边消去 $v$ ，整理得到 $r$ 的表达式：
4
$r = \frac{mv}{|q|B}$
5
将 $r$ 代入周期定义 $T = \frac{2 π r}{v}$ ：
6
$T = \frac{2\pi m}{|q|B}$

结果:

周期 $T$ 与粒子的速率和轨道半径无关，这是回旋加速器的核心工作原理。

📐 例题

一颗中子星表面的磁感应强度为 $1.0 \times 1 0^{8} T$ 。一个电子垂直磁场方向运动，速率为 $2.1 \times 1 0^{8} m/s$ （接近光速）。求电子圆周轨道的半径。已知电子质量为 $9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ ，电荷量为 $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 。

1
确认速度垂直于 $B$ ，因此 $sin θ = 1$ ，全部磁场力充当向心力。
2
使用推导得到的半径公式：
3
$r = \frac{mv}{|q|B}$
4
代入已知数值：
5
$r = \frac{(9.11 \times 10^{-31})(2.1 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19})(1.0 \times 10^8)}$
6
计算得到最终半径：
7
$r \approx 1.2 \times 10^{-11}\ \text{m}$

Exam tip:

推导半径公式时不要忘记消去 $v$ 。最终 $r$ 的表达式中留下 $v^{2}$ 是常见的代数错误，会在自由问答题中丢分。

3. 正交场中的速度选择★★★☆☆⏱ 3 min

速度选择器是一种常用装置，利用正交（E垂直于B）的电场和磁场，只让特定速度的粒子通过，筛选掉其他粒子，筛选结果与粒子质量和电荷量无关。这是质谱仪的核心原理，用于鉴定未知粒子的质量。

🔬 推导

目标:

推导不发生偏转粒子的速度

起点:

不偏转粒子的合力为零，因此电场力和磁场力大小相等

1
写出电场力和磁场力的大小：
2
$F_E = qE, \quad F_B = qvB$
3
合力为零，因此令两力相等：
4
$qE = qvB$
5
两边消去电荷量 $q$ ：
6
$v = \frac{E}{B}$

结果:

只有速度为 $v = E / B$ 的粒子能不偏转通过，该结论对正电荷和负电荷都成立。

📐 例题

一台质谱仪的速度选择器中 $E = 5.0 \times 1 0^{3} N/C$ ， $B = 0.10 T$ 。一束未知带电粒子不偏转穿过速度选择器，求这些不偏转粒子的速度。

1
确认场是正交的，因此任何进入选择器的粒子所受电场力和磁场力方向相反。
2
令两力相等，消去 $q$ 得到不偏转速度公式：
3
$v = \frac{E}{B}$
4
代入数值计算速度：
5
$v = \frac{5.0 \times 10^3}{0.10} = 5.0 \times 10^4\ \text{m/s}$
6
确认该结果与粒子的电荷量和质量无关，因此不需要额外信息。

Exam tip:

即使题目给出了粒子的电荷量和质量，也不要将它们代入不偏转速度的计算中。这些参数几乎都是干扰项，用来考查你是否知道q会被消去。

4. AP风格练习题★★★★☆⏱ 3 min

📐 例题

一个带负电粒子沿x轴水平向右运动，进入磁感应方向垂直纸面向里（z负方向）的均匀磁场。求粒子所受合磁场力的方向？

A) 竖直向上（y正方向）
B) 竖直向下（y负方向）
C) 水平向左（x负方向）
D) 水平向右（x正方向）

1
对正电荷应用右手定则：四指沿速度方向（向右），向磁场方向（向里）弯曲四指，大拇指向上，这是正电荷的受力方向。
2
负电荷需要反转方向，最终受力方向为竖直向下。
3
正确答案是选项B。

📐 例题

一束带电粒子包含单次电离的氖-20和氖-22原子（两者电荷量均为 $+ e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ ，质量分别为 $m_{20} = 20 u$ 和 $m_{22} = 22 u$ ，其中 $1 u = 1.66 \times 1 0^{- 27} kg$ ）。该束粒子穿过带有正交场 $E = 8.0 \times 1 0^{4} N/C$ 、 $B = 0.20 T$ 的速度选择器，随后进入第二个磁感应强度为 $0.20 T$ 、垂直于速度方向的均匀磁场。(a) 计算离开速度选择器的不偏转粒子的速度。(b) 计算两种同位素圆周轨道的半径差。(c) 解释为什么磁场不改变粒子的速率。

1
(a) 不偏转粒子的合力为零，因此 $q E = q v B$ ，消去 $q$ 得：
2
$v = \frac{E}{B} = \frac{8.0 \times 10^4}{0.20} = 4.0 \times 10^5\ \text{m/s}$
3
(b) 使用圆周运动半径公式 $r = \frac{m v}{q B}$ ，半径差为：
4
$\Delta r = \frac{v (m_{22} - m_{20})}{qB}$
5
代入 $m_{22} - m_{20} = 2 u = 3.32 \times 1 0^{- 27} kg$ ：
6
$\Delta r = \frac{(4.0 \times 10^5)(3.32 \times 10^{-27})}{(1.6 \times 10^{-19})(0.20)} \approx 4.2\ \text{cm}$
7
(c) 磁场力始终垂直于粒子的瞬时位移。力做功的公式为 $W = F d cos θ$ ，此处 $θ = 9 0^{\circ}$ ，因此 $W = 0$ 。根据功能关系，做功为零意味着动能不变，因此速率保持恒定。

5. 常见陷阱

错误做法:

对负电荷使用右手定则后，没有反转最终的受力方向。

原因:

学生记住了正电荷的规则，却忘记负电荷的电荷量符号会反转叉乘的方向。

正确做法:

方向推导过程旁一定要标注电荷正负，得出最终答案前对负电荷明确反转方向。

错误做法:

圆周运动半径公式中留下 $v^{2}$ ，写成 $r = m v^{2} / (q B)$ 而没有化简为 $r = m v / (q B)$ 。

原因:

学生在令磁场力等于向心力后就停止推导，忘记化简。

正确做法:

列出 $q v B = m v^{2} / r$ 后，代入数值前一定要先在两边消去一个 $v$ 。

错误做法:

计算得到磁场力做功非零，写成 $W = F_{B} d$ 。

原因:

学生记住了功等于力乘以距离，却忘记了磁场力的方向特性。

正确做法:

始终记住磁场力始终垂直于位移，因此磁场力做功永远为零。

错误做法:

计算速度选择器的不偏转速度时带入电荷量，写成 $v = q E / B$ 。

原因:

题目经常给出电荷量来考查这个错误，因此学生会认为必须用到这个参数。

正确做法:

无论是否给出q，令电场力和磁场力相等时一定要消去q。

错误做法:

速度平行于磁场时仍按 $F_{B} = q v B$ 计算，忘记了 $sin θ$ 项。

原因:

大多数AP题目中 $θ = 9 0^{\circ}$ ，因此学生习惯了省略 $sin θ$ 。

正确做法:

计算力之前一定要检查 $v$ 和 $B$ 的夹角，即使看起来多余也要乘以 $sin θ$ 。

6. 速查表

类别	公式	说明
磁场力大小	$F_{B} = ∣ q ∣ v B sin θ$	$θ$ 为 $v$ 与 $B$ 的夹角；若 $v = 0$ 或 $v ∥ B$ 则 $F_{B} = 0$
矢量洛伦兹力	$F_{B} = q v \times B$	方向由右手定则判断；负电荷方向反转
圆周轨道半径（垂直B）	$r = \frac{m v}{∣ q ∣ B}$	由 $F_{B}$ 等于向心力推导得到
圆周运动周期	$T = \frac{2 π m}{∣ q ∣ B}$	与速率 $v$ 和半径 $r$ 无关；是回旋加速器的工作核心
不偏转速度（速度选择器）	$v = \frac{E}{B}$	正交电场和磁场；与 $q$ 和 $m$ 无关
磁场力做功	$W_{B} = 0$	永远成立，因为 $F_{B}$ 垂直于位移

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
运动负电荷的受力方向
2022 · FRQ
质谱仪半径计算

下一步

本考点是AP物理2第5单元所有磁场力相互作用的基础构成，也是考试中所有后续磁学内容的前置知识点。接下来，你将应用单个运动电荷的受力规则推导磁场中载流导线受到的力，载流导线受力就是导线中所有运动载流子所受磁场力的矢量和。如果不掌握这里单个电荷的受力大小和方向规则，你就无法正确求解导线受力和电流环的力矩，这两者都是AP考试的常考内容；同时本考点也为第5单元后续的电磁感应奠定了核心矢量关系的基础。