# 磁场中运动电荷受到的力

> AP 物理 2 · 第5单元：磁学与电磁感应
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u5-force-on-moving-charges-in/

本模块讲解洛伦兹力定律、方向判断的右手定则、均匀磁场中电荷的圆周运动以及速度选择，这些都是AP物理2选择题和自由问答题中频繁考查的核心内容。

**先修:** 矢量叉乘的方向规则; 匀速圆周运动运动学; 点电荷受到的电场力

## 学习目标

- 计算运动电荷所受磁场力的大小和方向
- 分析电荷在磁场中的匀速圆周运动
- 应用速度选择器原理解决问题
- 规避本考点的常见考试错误

## 洛伦兹力定律：大小与方向

当运动电荷穿过外磁场时，磁场会对电荷施加磁场力。与电场力（对静止和运动电荷都有作用）和引力（对亚原子粒子可忽略）不同，磁场力始终垂直于电荷速度矢量和磁场矢量，因此它永远不对运动电荷做功。

**洛伦兹力** — 运动电荷所受磁场力的大小，其中$q$是粒子电荷量，$v$是粒子速率，$B$是磁感应强度大小，$\theta$是$\vec{v}$与$\vec{B}$之间的夹角

*记法:* $F_B = |q| v B \sin\theta$

*例:* 若$v=0$或$\vec{v}$平行/反平行于$\vec{B}$，受力为零；当$\theta=90^\circ$时受力最大

方向判断使用右手定则：右手四指沿$\vec{v}$方向，向$\vec{B}$方向弯曲四指，大拇指指向即为正电荷所受$\vec{F}_B$的方向。负电荷的受力方向与该方向相反。

**例题:** 一个α粒子（电荷量$+3.2 \times 10^{-19}\ \text{C}$）以$3.5 \times 10^4\ \text{m/s}$的速率穿过磁感应强度为$0.75\ \text{T}$的磁场，α粒子速度方向与磁场矢量夹角为45°。求α粒子所受磁场力的大小。

1. 列出所有已知量：
2. $$q = 3.2 \times 10^{-19}\ \text{C}, v=3.5 \times 10^4\ \text{m/s}, B=0.75\ \text{T}, \theta=45^\circ$$
3. 写出磁场力大小公式：
4. $$F_B = |q|vB \sin\theta$$
5. 代入数值，其中$\sin 45^\circ \approx 0.707$：
6. $$F_B = (3.2 \times 10^{-19})(3.5 \times 10^4)(0.75)(0.707)$$
7. 计算得到最终力的大小：
8. $$F_B \approx 5.9 \times 10^{-15}\ \text{N}$$

> **考试提示:** 给出方向前一定要确认电荷的正负。如果题目给出的是电子或其他带负电粒子，一定要明确反转右手定则得到的方向——这是AP选择题中最常见的方向判断错误。

## 均匀磁场中电荷的匀速圆周运动

当带电粒子垂直射入均匀磁场时，磁场力始终垂直于粒子速度，因此它充当向心力，使粒子做匀速圆周运动。这是AP物理2考试中最常考查的题型之一。

**推导:** 推导圆周运动的轨道半径和周期

*起点:* 将最大磁场力（$\theta=90^\circ$）与圆周运动的向心力联立相等

1. 令两力相等：
2. $$|q|vB = \frac{mv^2}{r}$$
3. 两边消去$v$，整理得到$r$的表达式：
4. $$r = \frac{mv}{|q|B}$$
5. 将$r$代入周期定义$T = \frac{2\pi r}{v}$：
6. $$T = \frac{2\pi m}{|q|B}$$

*结论:* 周期$T$与粒子的速率和轨道半径无关，这是回旋加速器的核心工作原理。

**例题:** 一颗中子星表面的磁感应强度为$1.0 \times 10^8\ \text{T}$。一个电子垂直磁场方向运动，速率为$2.1 \times 10^8\ \text{m/s}$（接近光速）。求电子圆周轨道的半径。已知电子质量为$9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$，电荷量为$1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$。

1. 确认速度垂直于$B$，因此$\sin\theta=1$，全部磁场力充当向心力。
2. 使用推导得到的半径公式：
3. $$r = \frac{mv}{|q|B}$$
4. 代入已知数值：
5. $$r = \frac{(9.11 \times 10^{-31})(2.1 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19})(1.0 \times 10^8)}$$
6. 计算得到最终半径：
7. $$r \approx 1.2 \times 10^{-11}\ \text{m}$$

> **考试提示:** 推导半径公式时不要忘记消去$v$。最终$r$的表达式中留下$v^2$是常见的代数错误，会在自由问答题中丢分。

## 正交场中的速度选择

速度选择器是一种常用装置，利用正交（E垂直于B）的电场和磁场，只让特定速度的粒子通过，筛选掉其他粒子，筛选结果与粒子质量和电荷量无关。这是质谱仪的核心原理，用于鉴定未知粒子的质量。

**推导:** 推导不发生偏转粒子的速度

*起点:* 不偏转粒子的合力为零，因此电场力和磁场力大小相等

1. 写出电场力和磁场力的大小：
2. $$F_E = qE, \quad F_B = qvB$$
3. 合力为零，因此令两力相等：
4. $$qE = qvB$$
5. 两边消去电荷量$q$：
6. $$v = \frac{E}{B}$$

*结论:* 只有速度为$v = E/B$的粒子能不偏转通过，该结论对正电荷和负电荷都成立。

**例题:** 一台质谱仪的速度选择器中$E = 5.0 \times 10^3\ \text{N/C}$，$B = 0.10\ \text{T}$。一束未知带电粒子不偏转穿过速度选择器，求这些不偏转粒子的速度。

1. 确认场是正交的，因此任何进入选择器的粒子所受电场力和磁场力方向相反。
2. 令两力相等，消去$q$得到不偏转速度公式：
3. $$v = \frac{E}{B}$$
4. 代入数值计算速度：
5. $$v = \frac{5.0 \times 10^3}{0.10} = 5.0 \times 10^4\ \text{m/s}$$
6. 确认该结果与粒子的电荷量和质量无关，因此不需要额外信息。

> **考试提示:** 即使题目给出了粒子的电荷量和质量，也不要将它们代入不偏转速度的计算中。这些参数几乎都是干扰项，用来考查你是否知道q会被消去。

## AP风格练习题

**例题:** 一个带负电粒子沿x轴水平向右运动，进入磁感应方向垂直纸面向里（z负方向）的均匀磁场。求粒子所受合磁场力的方向？

A) 竖直向上（y正方向）  
B) 竖直向下（y负方向）  
C) 水平向左（x负方向）  
D) 水平向右（x正方向）

1. 对正电荷应用右手定则：四指沿速度方向（向右），向磁场方向（向里）弯曲四指，大拇指向上，这是正电荷的受力方向。
2. 负电荷需要反转方向，最终受力方向为竖直向下。
3. 正确答案是选项B。

**例题:** 一束带电粒子包含单次电离的氖-20和氖-22原子（两者电荷量均为$+e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$，质量分别为$m_{20} = 20\ \text{u}$和$m_{22}=22\ \text{u}$，其中$1\ \text{u} = 1.66 \times 10^{-27}\ \text{kg}$）。该束粒子穿过带有正交场$E = 8.0 \times 10^4\ \text{N/C}$、$B = 0.20\ \text{T}$的速度选择器，随后进入第二个磁感应强度为$0.20\ \text{T}$、垂直于速度方向的均匀磁场。(a) 计算离开速度选择器的不偏转粒子的速度。(b) 计算两种同位素圆周轨道的半径差。(c) 解释为什么磁场不改变粒子的速率。

1. (a) 不偏转粒子的合力为零，因此$qE = qvB$，消去$q$得：
2. $$v = \frac{E}{B} = \frac{8.0 \times 10^4}{0.20} = 4.0 \times 10^5\ \text{m/s}$$
3. (b) 使用圆周运动半径公式$r = \frac{mv}{qB}$，半径差为：
4. $$\Delta r = \frac{v (m_{22} - m_{20})}{qB}$$
5. 代入$m_{22} - m_{20} = 2\ \text{u} = 3.32 \times 10^{-27}\ \text{kg}$：
6. $$\Delta r = \frac{(4.0 \times 10^5)(3.32 \times 10^{-27})}{(1.6 \times 10^{-19})(0.20)} \approx 4.2\ \text{cm}$$
7. (c) 磁场力始终垂直于粒子的瞬时位移。力做功的公式为$W = Fd\cos\theta$，此处$\theta=90^\circ$，因此$W=0$。根据功能关系，做功为零意味着动能不变，因此速率保持恒定。

## 常见错误

- **错误做法:** 对负电荷使用右手定则后，没有反转最终的受力方向。
  - 原因: 学生记住了正电荷的规则，却忘记负电荷的电荷量符号会反转叉乘的方向。
  - 正确做法: 方向推导过程旁一定要标注电荷正负，得出最终答案前对负电荷明确反转方向。
- **错误做法:** 圆周运动半径公式中留下$v^2$，写成$r = mv^2/(qB)$而没有化简为$r = mv/(qB)$。
  - 原因: 学生在令磁场力等于向心力后就停止推导，忘记化简。
  - 正确做法: 列出$qvB = mv^2/r$后，代入数值前一定要先在两边消去一个$v$。
- **错误做法:** 计算得到磁场力做功非零，写成$W = F_B d$。
  - 原因: 学生记住了功等于力乘以距离，却忘记了磁场力的方向特性。
  - 正确做法: 始终记住磁场力始终垂直于位移，因此磁场力做功永远为零。
- **错误做法:** 计算速度选择器的不偏转速度时带入电荷量，写成$v = qE/B$。
  - 原因: 题目经常给出电荷量来考查这个错误，因此学生会认为必须用到这个参数。
  - 正确做法: 无论是否给出q，令电场力和磁场力相等时一定要消去q。
- **错误做法:** 速度平行于磁场时仍按$F_B = qvB$计算，忘记了$\sin\theta$项。
  - 原因: 大多数AP题目中$\theta=90^\circ$，因此学生习惯了省略$\sin\theta$。
  - 正确做法: 计算力之前一定要检查$\vec{v}$和$\vec{B}$的夹角，即使看起来多余也要乘以$\sin\theta$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 磁场力大小 | $F_B = \|q\| v B \sin\theta$ | $\theta$为$\vec{v}$与$\vec{B}$的夹角；若$v=0$或$\vec{v} \parallel \vec{B}$则$F_B=0$ |
| 矢量洛伦兹力 | $\vec{F}_B = q \vec{v} \times \vec{B}$ | 方向由右手定则判断；负电荷方向反转 |
| 圆周轨道半径（垂直B） | $r = \frac{mv}{\|q\|B}$ | 由$F_B$等于向心力推导得到 |
| 圆周运动周期 | $T = \frac{2\pi m}{\|q\|B}$ | 与速率$v$和半径$r$无关；是回旋加速器的工作核心 |
| 不偏转速度（速度选择器） | $v = \frac{E}{B}$ | 正交电场和磁场；与$q$和$m$无关 |
| 磁场力做功 | $W_B = 0$ | 永远成立，因为$\vec{F}_B$垂直于位移 |

## 下一步

本考点是AP物理2第5单元所有磁场力相互作用的基础构成，也是考试中所有后续磁学内容的前置知识点。接下来，你将应用单个运动电荷的受力规则推导磁场中载流导线受到的力，载流导线受力就是导线中所有运动载流子所受磁场力的矢量和。如果不掌握这里单个电荷的受力大小和方向规则，你就无法正确求解导线受力和电流环的力矩，这两者都是AP考试的常考内容；同时本考点也为第5单元后续的电磁感应奠定了核心矢量关系的基础。

- [电磁感应](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u5-electromagnetic-induction/)
- [磁场中载流导线受到的力](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u5-force-on-current-carrying-wire/)
- [电流产生的磁场](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u5-magnetic-fields-due-to-currents/)

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