# 热力学第一定律

> AP 物理 2 · 第2单元：热力学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u2-first-law-of-thermodynamics/

本讲解涵盖热力学第一定律、AP专属符号约定、PV图做功计算，以及常见理想气体过程的应用，供AP物理2备考使用。

**先修:** 理想气体的内能仅与温度有关; [压强-体积图（PV图）的基本解读](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u2-thermodynamic-processes-pv-diagrams/); 等压过程的做功计算

## 学习目标

- 使用AP符号约定表述热力学第一定律
- 计算理想气体过程的内能变化、热量和做功
- 将功理解为PV图路径下的面积
- 将简化的第一定律应用于常见热力学过程
- 避免AP考试中常见的符号和约定错误

## 热力学第一定律的核心定义

热力学第一定律是能量守恒原理在热系统中的应用，明确涵盖两种主要能量传递方式：系统与环境之间的热传递，以及系统对外或外界对系统做的宏观功。该定律是AP物理2考试中所有热力学问题的基础，直接占总分的1-2%，且几乎所有热力学问题都需要用到它。

**热力学第一定律** — 系统内能的变化等于加入系统的净热量减去系统对环境做的净功。

*记法:* \Delta U = Q - W

## AP专属符号约定

一致的符号约定是AP考试中最常见的失分点。美国大学理事会明确要求使用下文的约定，这与部分入门教材的约定不同。

- $\Delta U$：系统内能增加时为正，减少时为负
- $Q$：净热量从环境流入系统时为正，热量流出系统时为负
- $W$：系统对环境做净功时为正，环境对系统做净功时为负

> **warning**
>
> 许多教材使用另一种约定，将$W$定义为外界对系统做的功，因此公式为$\Delta U = Q + W$。这在AP物理2中不被接受；请务必使用AP约定$\Delta U = Q - W$。

**例题:** 装有理想气体的活塞被环境压缩。压缩过程中，外界对气体做功120 J，有40 J热量从气体流出到环境中。气体的内能变化是多少？

1. 按照AP约定分配符号：$W$是气体*对外*做的功。由于气体被压缩，它对环境做负功：
2. $$W = -120 \text{ J}$$
3. Q是加入气体的热量。由于40 J流出，Q为负：
4. $$Q = -40 \text{ J}$$
5. 代入热力学第一定律公式：
6. $$\Delta U = Q - W = (-40 \text{ J}) - (-120 \text{ J}) = 80 \text{ J}$$
7. 气体内能增加了80 J，符合物理直觉：外界对气体做的功大于以热量形式损失的能量，因此内能增加。

> **考试提示:** 代入数值前务必写出每个变量及其符号。AP自由问答题阅卷官会给正确的符号推理给分，且选择题干扰项正是针对错误约定设计的。

## 做功计算与PV图

对于任何准静态（缓慢，平衡）过程（这是AP物理2唯一考察的过程类型），气体对外做的功等于压强-体积（PV）图上过程路径下方的面积。功的通用公式是：

$$W = \int_{V_1}^{V_2} P dV$$

如果体积增大（膨胀，在图上向右移动），功为正。如果体积减小（压缩，向左移动），功为负。对于等压过程，积分简化为$W = P\Delta V$。对于循环过程（PV图上从同一状态开始并结束的闭合回路），净功等于回路包围的面积：顺时针循环净功为正，逆时针循环净功为负。

**例题:** 气体从状态1（$P_1 = 2 \times 10^5 \text{ Pa}, V_1 = 0.01 \text{ m}^3$）沿等压直线变化到状态2（$P_2 = 2 \times 10^5 \text{ Pa}, V_2 = 0.03 \text{ m}^3$），随后在定容下冷却回到状态1，形成一个闭合循环。整个循环中气体对外做的净功是多少？

1. 该循环在PV图上形成一个矩形，包含一个等压膨胀步骤和一个等容（定容）步骤。
2. 对于等容步骤，$\\Delta V = 0$，因此该步骤的做功为：
3. $$W_2 = 0$$
4. 等压膨胀过程的做功按$W_1 = P\//Delta V$计算：
5. $$W_1 = (2 \times 10^5 \text{ Pa})(0.03 \text{ m}^3 - 0.01 \text{ m}^3) = 4000 \text{ J}$$
6. 整个循环的净功是每个步骤做功的和：
7. $$W_{net} = W_1 + W_2 = 4000 \text{ J} + 0 = 4000 \text{ J}$$
8. 结果符合预期，等于循环包围的矩形面积。

> **考试提示:** 对于任何循环过程，立刻记下循环方向就能正确得到功的符号。知道方向后无需重新从头计算符号。

## 常见理想气体过程的简化形式

AP物理2经常考察第一定律在四种标准理想气体过程中的应用，利用理想气体内能仅与温度有关这一性质，每个过程都有一个定义性约束条件，可以简化通用公式。

| 过程 | 定义约束 | 简化第一定律 |
| --- | --- | --- |
| 等容（定容） | $\Delta V = 0$ | $\Delta U = Q$ |
| 等压（定压） | $P = \text{constant}$ | $\Delta U = Q - P\Delta V$ |
| 等温（定温） | $\Delta T = 0 \implies \Delta U = 0$ | $Q = W$ |
| 绝热（无热传递） | $Q = 0$ | $\Delta U = -W$ |

**例题:** 1摩尔单原子理想气体发生绝热膨胀，对外界做功250 J。已知$R = 8.31 \text{ J/(mol·K)}$，求气体的温度变化是多少？

1. 根据定义，绝热过程$Q = 0$，因此我们使用简化的第一定律：
2. $$\Delta U = -W$$
3. 气体对外做功250 J，因此$W = +250 \text{ J}$，代入得：
4. $$\Delta U = -250 \text{ J}$$
5. 对于单原子理想气体，$\\Delta U = n \\frac{3}{2} R \\Delta T$。整理后求解$\//Delta T$：
6. $$\Delta T = \frac{2 \Delta U}{3nR} = \frac{2(-250 \text{ J})}{3(1 \text{ mol})(8.31 \text{ J/(mol·K)})} \approx -20 \text{ K}$$
7. 气体温度下降了20 K，符合绝热膨胀使气体降温的物理预期。

**概念自测**

测试你对上述核心概念的理解：

1. 一个刚性密封容器装有理想气体，环境向容器传入300 J热量。气体的内能变化是多少？

   - $\Delta U = -300 \text{ J}$
   - $\Delta U = 0 \text{ J}$
   - $\Delta U = +150 \text{ J}$
   - $\Delta U = +300 \text{ J}$

   *答案:* $\Delta U = +300 \text{ J}$

   *解析:* 刚性容器意味着体积不变（等容），因此$W = 0$。根据第一定律：$\Delta U = Q - 0 = +300 \text{ J}$。

> **考试提示:** 请记住这些简化形式，但在自由问答题中务必从完整的第一定律$\Delta U = Q - W$推导它们，这样即使记错简化形式也能拿到满分。

## 常见错误

- **错误做法:** 使用教材的替代约定$\Delta U = Q + W$（W为外界对系统做的功）
  - 原因: 许多入门教材使用这个替代约定，导致符号反转，从而失分。
  - 正确做法: 始终在答题开头写下AP约定$\Delta U = Q - W$（W为系统对外做的功）。
- **错误做法:** 无论循环方向如何，都将PV循环的面积取正值
  - 原因: 学生记住了功等于回路面积，但忽略了方向对符号的影响。
  - 正确做法: 计算面积前立刻标注：顺时针循环=净功为正，逆时针循环=净功为负。
- **错误做法:** 对PV图上非等压的曲线过程用$P\Delta V$计算做功
  - 原因: $P\Delta V$仅适用于等压过程，学生过度推广了这个公式。
  - 正确做法: 始终将功计算为过程路径下的面积；只有当整个路径上压强都不变时才使用$P\Delta V$。
- **错误做法:** 题目说明系统放热时仍将Q取正值，只记录了大小
  - 原因: 学生答题匆忙，忘记符号取决于热传递的方向。
  - 正确做法: 代入公式前，明确标注热量流入系统时$Q = +$，热量流出系统时$Q = -$。
- **错误做法:** 忘记任何完整循环过程都满足$\Delta U = 0$，即使路径上温度发生变化
  - 原因: 学生只将$\Delta U = 0$与等温过程关联。
  - 正确做法: 如果过程从同一状态开始并结束，无论路径如何，整个过程的$\Delta U$始终为0。
- **错误做法:** 当过程回到初始压强和体积时，假设内能发生变化
  - 原因: 学生混淆了状态函数（内能）和路径函数（功和热量）。
  - 正确做法: 如果起始和结束状态相同，根据定义$\Delta U = 0$，因为内能是状态函数。

## 速查表

| 类别 | 公式/规则 | AP考试注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 核心第一定律（AP约定） | $\Delta U = Q - W$ | W = 系统对外做功，Q = 加入系统的热量。请务必使用这个约定。 |
| 通用做功（PV图） | W = 过程曲线下的面积 | 膨胀时W为正，压缩时W为负。 |
| 等压做功 | $W = P\Delta V$ | 仅适用于等压（定压）过程。 |
| 等容过程 | $W = 0, \Delta U = Q$ | 定容，所有热量都改变内能。 |
| 理想气体等温过程 | $\Delta U = 0, Q = W$ | 定温，理想气体内能仅与温度有关。 |
| 绝热过程 | $Q = 0, \Delta U = -W$ | 系统与环境之间无热传递。 |
| 循环过程 | $\Delta U = 0, Q_{net} = W_{net}$ | 净功=回路包围面积；顺时针=+W，逆时针=-W。 |
| 理想气体内能变化 | $\Delta U = n c_v \Delta T$ | 单原子$c_v = 3R/2$，双原子$c_v = 5R/2$。 |

## 下一步

掌握热力学第一定律是AP物理2所有后续热力学主题必不可少的前提。接下来，你将应用第一定律的能量平衡分析热机和制冷机的循环过程，计算效率和性能系数，这是一个常见的高分值自由问答题考点。如果不能牢固掌握第一定律的符号约定和功/能计算，你将无法正确解答这些问题。热力学第一定律建立在本单元前面学习的理想气体定律基础上，为理解熵和热力学第二定律（AP物理2热力学的下一个核心主题）提供了能量基础。

- [热力学第二定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u2-second-law-of-thermodynamics/)
- [熵](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u2-entropy/)
- [电力、电场与电势](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u3-overview/)

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