流体连续性方程

AP 物理 1· AP Physics 1 CED — Fluids and Thermal Physics· 14 分钟阅读

1. 核心概念：定义与推导★★☆☆☆⏱ 4 min

流体连续性方程是质量守恒定律应用于不可压缩流体在管道、血管或河道等导管中定常流动的结论。在AP物理1中，我们只考虑定常流动，即任意固定点的流体流速和密度不随时间变化。

📘 定义

流体连续性方程（不可压缩流动）

$A_{1}, A_{2}$ = cross-sectional areas; $v_{1}, v_{2}$ = average flow speeds; $Q$ = volume flow rate

对于不可压缩定常流动，管道中不会有质量累积，因此体积流量保持恒定。由此得到横截面积和流速之间的核心反比关系。

例:

当管道收窄时，由于横截面积减小，流速会增大。

🔬 推导

目标:

从质量守恒推导连续性方程

起点:

定常流动、不可压缩流体（密度 $ρ$ 恒定）的质量守恒

1
在管道的两个横截面1和2之间定义一个控制体。在时间 $Δ t$ 内，流入的流体移动距离为 $v_{1} Δ t$ ，因此流入的体积为：
2
$V_1 = A_1 v_1 \Delta t$
3
流入的质量为 $m_{1} = ρ V_{1}$ 。同理，流出横截面2的质量为：
4
$m_2 = \rho A_2 v_2 \Delta t$
5
对于定常流动，流入质量等于流出质量，因此：
6
$\rho A_1 v_1 \Delta t = \rho A_2 v_2 \Delta t$
7
从两边消去常数项 $ρ$ 和 $Δ t$ 。

结果:

AP物理1的核心连续性方程为：

📐 例题

一根水平管道半径从0.12 m收窄到0.06 m。如果宽段的水流流速是1.0 m/s，窄段的流速是多少？

1
整理连续性方程得到 $v_{2}$ ，圆的面积公式为 $A = π r^{2}$ ：
2
$v_2 = v_1 \frac{A_1}{A_2} = v_1 \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}$
3
消去 $π$ 并代入数值：
4
$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{(0.12\ \text{m})^2}{(0.06\ \text{m})^2} = 4$
5
计算最终流速：
6
$v_2 = 1.0\ \text{m/s} \times 4 = 4.0\ \text{m/s}$

2. 体积流量计算★★☆☆☆⏱ 4 min

体积流量 $Q$ 的定义是单位时间内通过某一点的流体体积，国际单位为立方米每秒（ $m^{3} / s$ ）。对于不可压缩流动，即使横截面积变化， $Q = A v$ 沿任意流径都保持恒定。该物理量可用于计算一段时间内输送的总体积，或在已知总流量时求未知流速。

考试中你需要用到的常见单位换算：1立方米 = 1000升。将升每分钟转换为 $m^{3} / s$ ，只需除以60000。计算面积和流量前，一定要检查所有长度单位都已转换为米。

📐 例题

厨房水龙头15秒能装满一个12升的锅，供水管内径为1.8 cm，求供水管内水的平均流速是多少？

1
将所有量转换为国际单位：12 L = 0.012 m $^{3}$ ，时间 = 15 s，直径 = 1.8 cm = 0.018 m，因此半径 $r = 0.009$ m。
2
计算体积流量 $Q$ ：
3
$Q = \frac{\text{Total Volume}}{\text{Time}} = \frac{0.012\ \text{m}^3}{15\ \text{s}} = 8.0 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$
4
计算管道的横截面积：
5
$A = \pi r^2 = \pi (0.009\ \text{m})^2 \approx 2.54 \times 10^{-4}\ \text{m}^2$
6
整理 $Q = A v$ 求解流速 $v$ ：
7
$v = \frac{Q}{A} = \frac{8.0 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}{2.54 \times 10^{-4}\ \text{m}^2} \approx 3.1\ \text{m/s}$

3. 非圆形截面与分支流动★★★☆☆⏱ 3 min

连续性原理适用于任何流道，不只是圆形管道。对于任意形状， $A$ 始终是垂直于流动方向的横截面积。例如，矩形明渠河道的横截面积等于宽度乘以平均深度。

对于分流流动（即一根主管道分成多个较小分支），核心规则是：流入系统的总体积流量等于所有分支流出的体积流量之和。两点关系式 $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ 仅适用于单条无分支流径。

📐 例题

一根横截面积为 $9.0 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ 的主管道，水的流速为1.2 m/s，输送到房屋后分成三根相同的分支管道。如果每个分支的流速为1.8 m/s，求每个分支的横截面积是多少？

1
对于三根相同的分支，总体积流量守恒可得 $Q_{main} = 3 Q_{branch}$ ，因此 $Q_{branch} = \frac{Q _{main}}{3}$ 。
2
计算 $Q_{main}$ ：
3
$Q_{\text{main}} = A_{\text{main}} v_{\text{main}} = (9.0 \times 10^{-4}\ \text{m}^2)(1.2\ \text{m/s}) = 1.08 \times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$
4
Find $Q_{branch}$ :
5
$Q_{\text{branch}} = \frac{1.08 \times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}}{3} = 3.6 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$
6
整理公式求解 $A_{branch}$ ：
7
$A_{\text{branch}} = \frac{Q_{\text{branch}}}{v_{\text{branch}}} = \frac{3.6 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}{1.8\ \text{m/s}} = 2.0 \times 10^{-4}\ \text{m}^2$

4. AP风格概念检查★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这些AP风格题目测试你的理解：

圆形浇花软管在喷嘴处从直径3 cm收窄到1.5 cm，喷嘴处流速与软管主段流速的比值是多少？
- 1:2
- 2:1
- 4:1
- 1:4
显示答案
4:1 —
面积与直径的平方成正比，因此 $\frac{v _{2}}{v _{1}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = 2^{2} = 4$ ，所以比值为4:1。最常见的错误是忘记平方关系。
一条山地河平均宽15 m、深2.0 m，平均流速为1.2 m/s。河流流过仅宽3.0 m、深1.5 m的狭窄峡谷，求峡谷中的平均流速是多少？
显示答案
8.0 m/s —
开阔段横截面积为 $15 \times 2 = 30 m^{2}$ ，峡谷面积为 $3 \times 1.5 = 4.5 m^{2}$ 。因此 $v_{2} = 1.2 \times \frac{30}{4.5} = 8.0 m/s$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算流速比时，直接使用直径而不是面积，或是忘记对直径取平方

原因:

学生混淆管道的线性尺寸和面积，面积是和线性尺寸的平方成正比的

正确做法:

对圆形管道代入数值前，一定要先明确写出 $\frac{A _{1}}{A _{2}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2}$

错误做法:

当主管道分成两个分支时，用 $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ 关联主管道和单个分支

原因:

学生记住了两点式连续性方程，却忘记它仅适用于单条无分支流径

正确做法:

对于任何分支系统，都要写出总流入等于所有流出之和，将每个分支的 $Q$ 相加

错误做法:

计算面积时保留厘米作为长度单位，导致流速结果偏差10000倍

原因:

题目为了方便经常用厘米给出管道直径，学生因此跳过单位换算

正确做法:

在题目中圈出所有长度单位，开始计算前将所有长度转换为米

错误做法:

假设流量 $Q$ 恒定时，管道直径翻倍会使流速翻倍

原因:

学生混淆了线性正比关系和面积正比关系

正确做法:

记住流速与直径的平方成反比，因此流量恒定时，直径翻倍会使流速变为原来的四分之一

错误做法:

对可压缩流动使用简化连续性方程，假设 $Q$ 恒定

原因:

学生忘记简化方程仅在密度恒定时成立

正确做法:

在AP物理1中，所有考查连续性的流体都是不可压缩的，因此除非题目明确说明密度变化，否则都可以使用简化形式

6. 速查表

类别	公式	说明
核心连续性方程	$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$	定常、不可压缩无分支流动
体积流量	$Q = A v$	单位： $m^{3} / s$ ；不可压缩流动中恒定
分支流动	$Q_{in} = \sum Q_{out}$	总流入等于所有流出之和
圆形面积	$A = π r^{2} = \frac{π d ^{2}}{4}$	面积与线性尺寸的平方成正比
流速-直径比例关系	$v \propto \frac{1}{d ^{2}}$	流量 $Q$ 恒定时的平方反比关系
一段时间内的总体积	$V_{total} = Qt$	计算时间 $t$ 内输送的总流体体积
非圆形截面（河道）	$A = 宽度 \times 深度$	明渠的矩形横截面

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · AP Physics 1
流速比例选择题
2021 · AP Physics 1
结合伯努利方程的自由作答题

下一步

流体连续性方程是伯努利方程的基础前提，伯努利方程将流动流体中的流速、流体压强和重力势能联系起来。几乎所有AP物理1流体部分的自由作答题都会结合连续性方程和伯努利方程，因此如果你不能正确应用连续性方程求出不同位置的流速，就无法完整解答这些题目。除流体外，连续性的核心思想（定常流动中物理量守恒）还会出现在AP物理1的其他知识点中，包括电路中的电荷守恒。接下来，你将使用连续性方程得到的流速求解流动流体中的压强变化。

→伯努利原理