伯努利原理

AP物理1· AP物理1课程与考试说明 — 流体· 14 分钟阅读

1. 伯努利原理的核心概念★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

伯努利原理

$P$ = absolute pressure, $ρ$ = fluid density, $v$ = average flow speed, $g$ = acceleration due to gravity, $h$ = height above reference

适用于定常、不可压缩、无黏滞流体流动的基础能量守恒关系，关联了压强、流速和重力高度三个物理量。

例:

Predicts lower pressure when fluid flow speed increases at constant height in a narrowing pipe.

伯努利原理直接由应用于运动流体系统的机械能守恒推导而来。在AP物理1考试中，该知识点占总分值的约1-2%，会出现在选择题和简短自由作答题中。本指南使用的符号完全符合AP考试的标准规范。

2. 连续性方程（质量守恒）★★☆☆☆⏱ 4 min

在大多数AP考题中应用伯努利原理之前，你首先需要用到连续性方程，它来源于不可压缩定常流动的质量守恒。对于封闭管道内的流动，单位时间内流入的质量等于流出的质量，因此在密度恒定的前提下，体积流量是恒定的。

📘 定义

连续性方程

$Q$ = volume flow rate, $A$ = cross-sectional area, $v$ = average flow speed

对于不可压缩定常流动，封闭管道内任意位置的体积流量恒定。

Q = A_1 v_1 = A_2 v_2

对于圆形管道， $A = π d^{2} /4$ ，因此在取面积比值时常数项会抵消，得到简化关系 $d_{1}^{2} v_{1} = d_{2}^{2} v_{2}$ ，这能在AP考试中大幅节省解题时间。

📐 例题

一根直径为6.0 cm的圆形进水管收窄为直径2.0 cm的出水管。若入口流速为1.0 m/s，求出口流速是多少？

1
写出两个位置对应的连续性方程：
2
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
3
代入圆形管道的面积公式，常数 $π /4$ 项相互抵消：
4
$d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$
5
整理方程求解未知的出口流速 $v_{2}$ ：
6
$v_2 = v_1 \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$
7
代入已知数值：
8
$v_2 = (1.0 \text{ m/s}) \left(\frac{6.0 \text{ cm}}{2.0 \text{ cm}}\right)^2 = 9.0 \text{ m/s}$

Exam tip:

始终验证直觉判断：如果管道变窄，出口流速必然高于入口流速。如果计算得到的流速更低，说明你把直径的比例关系搞反了。

3. 伯努利方程（原理的定量表达）★★★☆☆⏱ 5 min

伯努利方程是该原理的定量表达式，代表单位体积流体的机械能守恒。对于符合条件的流动中同一流线上的任意两点，单位体积的压强能、动能和重力势能之和为恒定值。

P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2

每一项的单位都是压强（Pa，等价于J/m³）。当两点高度相同（ $h_{1} = h_{2}$ ）时，核心概念结论是流速升高必然对应压强降低，反之亦然。AP物理1要求你牢记默认常量数值： $ρ_{water} = 1000$ kg/m³ 和 $P_{a t m} = 1.01 \times 1 0^{5}$ Pa。

📐 例题

上一个例题中的管道系统水平放置，因此入口和出口处于同一高度。已知入口表压为 $2.5 \times 1 0^{5}$ Pa，管内流体为水，求出口表压是多少？

1
我们已经通过连续性方程得到 $v_{1} = 1.0$ m/s， $v_{2} = 9.0$ m/s。由于管道水平放置， $h_{1} = h_{2}$ ，因此 $ρ g h$ 项相互抵消。
2
写出表压形式的伯努利方程（大气压已抵消）：
3
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
4
整理方程求解 $P_{2}$ ：
5
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
6
代入数值，取 $ρ_{water} = 1000$ kg/m³：
7
$P_2 = 2.5 \times 10^5 + 0.5(1000)(1^2 - 9^2) = 2.1 \times 10^5 \text{ Pa}$

Exam tip:

当使用表压计算时，如果两个点都与大气连通，你可以完全忽略大气压，因为它会被抵消，简化计算过程。

4. 托里拆利定律（容器排水的特殊情况）★★★☆☆⏱ 4 min

伯努利原理在AP考试中最常见的应用之一是托里拆利定律，它描述了流体从大型开口水箱的小孔流出的速度。这里适用两个关键近似：1）水箱的横截面积远大于小孔的面积，因此液面处的流速可以忽略不计（ $v_{surface} \approx 0$ ），2）液面和小孔都与大气连通，因此二者的压强相等。

🔬 推导

目标:

从伯努利方程推导托里拆利定律

起点:

适用于带小孔的大型开口水箱的完整伯努利方程

1
将小孔处设为参考高度 $h = 0$ ，因此液面高度等于小孔在液面下方的深度 $h$ 。我们已知 $P_{surface} = P_{hole} = P_{a t m}$ 且 $v_{surface} \approx 0$ 。
2
$P_{atm} + 0 + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^2 + 0$
3
从等式两侧消去 $P_{a t m}$ 和 $ρ$ 并整理：
4
$v = \sqrt{2 g h}$

结果:

流出速度等于从高度 $h$ 处自由下落的物体的速度，与能量守恒的预期结果一致。

📐 例题

一个大型开口水箱装满水，总高度为6.0 m。在距离水箱底部2.0 m的位置扎有一个小孔。求水从小孔流出的速度是多少？

1
确认托里拆利定律的适用假设：水箱足够大因此 $v_{surface} \approx 0$ ，两个位置都与大气连通因此压强相等。
2
计算小孔在液面下方的深度：
3
$h = 6.0 \text{ m} - 2.0 \text{ m} = 4.0 \text{ m}$
4
代入托里拆利定律：
5
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.8)(4.0)} \approx 8.9 \text{ m/s}$

Exam tip:

在概念类自由作答题中，必须明确写出两个核心近似条件（液面流速可忽略、两处压强均为大气压）才能拿到全部分数。

5. AP考试常见应用★★★★☆⏱ 5 min

伯努利原理可以解释AP物理1中常考的诸多常见现实现象，包括飞机升力，它由机翼上下表面的压强差产生。

📐 例题

飞机机翼上表面的气流速度为260 m/s，下表面的气流速度为220 m/s。空气密度为1.2 kg/m³，机翼总面积为20 m²。假设机翼上下表面处于同一高度，计算由压强差产生的净升力。

1
对于同一高度的情况，伯努利原理给出压强差 $Δ P = P_{bottom} - P_{top}$ ：
2
$\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_{\text{top}}^2 - v_{\text{bottom}}^2)$
3
代入数值：
4
$\Delta P = 0.5(1.2)(260^2 - 220^2) = 11520 \text{ Pa}$
5
净升力等于压强差乘以机翼面积：
6
$F = \Delta P \times A = 11520 \times 20 = 2.3 \times 10^5 \text{ N}$

✓ 快速检测

测试你对托里拆利定律的理解：

A large open tank is filled with water to a height of 7.0 m above the base. A small hole is 2.0 m above the base, open to the atmosphere. What is the approximate exit speed of water?
- 6.3 m/s
- 9.9 m/s
- 11.7 m/s
- 14 m/s
显示答案
9.9 m/s —
Correct: $h = 7.0 - 2.0 = 5.0$ m, so $v = 2 (9.8) (5) \approx 9.9$ m/s. The most common error uses total tank height instead of depth below the surface.

6. 常见陷阱

错误做法:

Flipping the diameter/area ratio in continuity, calculating $v_{2} = v_{1} (d_{2} / d_{1})^{2}$ for a narrowing pipe

原因:

Students forget the inverse relationship between area and speed, mixing up which area corresponds to which speed.

正确做法:

Always check your result after solving continuity: if the pipe narrows, output speed must be larger than input. Flip the ratio if it is not.

错误做法:

Using absolute pressure for one point and gauge pressure for another in Bernoulli's equation

原因:

Problems often give gauge pressure, and students forget all pressure terms must use the same reference frame.

正确做法:

Convert all pressures to the same type at the start of the problem. Gauge pressure is simpler for problems with multiple open ends, as $P_{a t m}$ cancels automatically.

错误做法:

Automatically canceling $ρ g h$ terms even when the pipe is not horizontal

原因:

Students get used to horizontal pipe problems and forget to check for height differences between points.

正确做法:

Always explicitly write the $ρ g h$ term for both points before canceling any terms, so you do not miss height changes.

错误做法:

Claiming higher speed always causes lower pressure, regardless of height differences

原因:

Students memorize the 'higher speed = lower pressure' rule and forget it only applies when points are at the same height.

正确做法:

Always use the full Bernoulli equation to compare pressures, accounting for height changes. Pressure can increase with speed if a height drop offsets the kinetic energy increase.

错误做法:

Retaining the full $v_{surface}^{2}$ term for Torricelli's Law when the tank is much larger than the hole

原因:

Students forget the continuity approximation that surface speed is negligible for large tanks, leading to incorrectly low exit speed.

正确做法:

If the tank diameter is more than 10 times the hole diameter, approximate $v_{surface} = 0$ , which introduces <1% error, well within AP exam tolerance.

7. 速查表

Category	Formula	Notes
Continuity Equation	$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$	Conservation of mass; for steady incompressible flow
Full Bernoulli's Equation	$P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}$	Only for steady, incompressible, non-viscous flow; use same pressure type
Bernoulli (Same Height)	$P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$	Higher flow speed → lower pressure; most common AP form
Torricelli's Law	$v = 2 g h$	$h$ = depth of hole below surface; assumes large tank, open to atmosphere
Volume Flow Rate	$Q = A v$	Constant for incompressible flow; units = m³/s
Circular Pipe Speed Ratio	$v_{2} = v_{1} (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2}$	$π$ cancels, use diameter ratio directly to save time
Standard AP Values	$ρ_{water} = 1000 kg/m^{3}$ , $P_{a t m} = 1.01 \times 1 0^{5} Pa$	Default values for most AP problems
Core Conceptual Rule	Higher flow speed at same height = lower pressure	Required for full credit on conceptual FRQ explanations

下一步

Bernoulli's principle is the capstone of Unit 8 (Fluids) and of AP Physics 1's mechanics-and-fluids content, reinforcing the core course theme of using conservation laws to solve dynamic problems. It completes the fluids unit — the same energy-based reasoning underpins the mechanics topics tested throughout the exam. (Thermal physics is covered next in AP Physics 2, not AP Physics 1.)