伯努利原理

AP 物理 1· AP 物理 1 CED — 流体与热物理· 14 分钟阅读

1. 伯努利原理的核心概念★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

伯努利原理

$P$ = absolute pressure, $ρ$ = fluid density, $v$ = average flow speed, $g$ = acceleration due to gravity, $h$ = height above reference

定常、不可压缩、无粘性流体流动的基本能量守恒关系，关联了压强、流速和重力高度。

例:

该原理指出，在高度不变的变窄管道中，流速升高时压强会降低。

伯努利原理直接由运动流体系统的机械能守恒推导而来。在AP物理1考试中，该知识点占总分的约1-2%，会出现在选择题和短简答题中。本指南使用的符号符合AP考试的标准规范。

2. 连续性方程（质量守恒）★★☆☆☆⏱ 4 min

在大多数AP问题中应用伯努利原理之前，你首先需要用到连续性方程，它来自不可压缩定常流动的质量守恒。对于封闭管道内的流动，单位时间流入的质量等于流出的质量，因此密度恒定时体积流量也恒定。

📘 定义

连续性方程

$Q$ = volume flow rate, $A$ = cross-sectional area, $v$ = average flow speed

对于定常不可压缩流动，封闭管道内的体积流量沿程保持恒定。

Q = A_1 v_1 = A_2 v_2

对于圆形管道， $A = π d^{2} /4$ ，因此计算面积比时常数项会抵消，得到简化关系 $d_{1}^{2} v_{1} = d_{2}^{2} v_{2}$ ，这能在AP考试中节省大量时间。

📐 例题

一根圆形进水管道直径为6.0 cm，收缩后出口管道直径为2.0 cm。若入口流速为1.0 m/s，求出口流速。

1
写出两点的连续性方程：
2
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
3
代入圆形管道面积公式，常数 $π /4$ 项抵消：
4
$d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$
5
整理公式求解未知出口流速 $v_{2}$ ：
6
$v_2 = v_1 \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$
7
代入已知数值：
8
$v_2 = (1.0 \text{ m/s}) \left(\frac{6.0 \text{ cm}}{2.0 \text{ cm}}\right)^2 = 9.0 \text{ m/s}$

Exam tip:

一定要用常识验证：如果管道变窄，出口流速一定高于入口流速。如果你算出流速更低，说明你把直径比弄反了。

3. 伯努利方程（定量原理）★★★☆☆⏱ 5 min

伯努利方程是伯努利原理的定量表达，代表单位体积流体的机械能守恒。对于有效流动中流线上的任意两点，单位体积的压能、动能和重力势能之和为常数。

P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2

每个项的单位都是压强（Pa，等价于J/m³）。对于高度相同的情况（ $h_{1} = h_{2}$ ），核心概念结论是：流速升高总是对应压强降低，反之亦然。AP物理1要求你记住默认值： $ρ_{water} = 1000$ kg/m³ 和 $P_{a t m} = 1.01 \times 1 0^{5}$ Pa。

📐 例题

上一道例题的管道系统是水平放置的，因此入口和出口高度相同。入口表压为 $2.5 \times 1 0^{5}$ Pa，流体是水，求出口表压。

1
我们已经从连续性方程得到 $v_{1} = 1.0$ m/s， $v_{2} = 9.0$ m/s。因为管道水平， $h_{1} = h_{2}$ ，所以 $ρ g h$ 项抵消。
2
写出表压形式的伯努利方程（大气压抵消）：
3
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
4
整理公式求解 $P_{2}$ ：
5
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
6
代入数值，使用 $ρ_{water} = 1000$ kg/m³：
7
$P_2 = 2.5 \times 10^5 + 0.5(1000)(1^2 - 9^2) = 2.1 \times 10^5 \text{ Pa}$

Exam tip:

使用表压计算时，如果两点都与大气相通，你可以完全忽略大气压，因为它会抵消，简化计算。

4. 托里拆利定律（容器排水的特例）★★★☆☆⏱ 4 min

伯努利原理最常见的AP考点应用就是托里拆利定律，它描述了大型开口容器上小孔的流体出流速度。这里有两个关键近似：1) 容器横截面积远大于小孔面积，因此液面下降速度可忽略（ $v_{surface} \approx 0$ ）；2) 液面和小孔都与大气相通，因此压强相等。

🔬 推导

目标:

从伯努利方程推导托里拆利定律

起点:

带小孔的大型开口容器的完整伯努利方程

1
将参考高度 $h = 0$ 设在小孔处，因此液面高度等于小孔在液面下的深度 $h$ 。我们已知 $P_{surface} = P_{hole} = P_{a t m}$ ，且 $v_{surface} \approx 0$ 。
2
$P_{atm} + 0 + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^2 + 0$
3
两边消去 $P_{a t m}$ 和 $ρ$ ，整理得：
4
$v = \sqrt{2 g h}$

结果:

出流速度等于从高度 $h$ 自由下落物体的速度，符合能量守恒的预期。

📐 例题

一个大型开口容器装水，总高度为6.0 m，在距离容器底部2.0 m处扎了一个小孔，求水从小孔流出的速度。

1
验证托里拆利定律的假设：容器足够大，因此 $v_{surface} \approx 0$ ；两点都通大气，因此压强相等。
2
计算小孔在液面下的深度：
3
$h = 6.0 \text{ m} - 2.0 \text{ m} = 4.0 \text{ m}$
4
代入托里拆利定律：
5
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.8)(4.0)} \approx 8.9 \text{ m/s}$

Exam tip:

在概念类简答题中，一定要写出两个关键近似（液面速度可忽略、大气压相等）才能拿到满分。

5. 常见AP考点应用★★★★☆⏱ 5 min

伯努利原理解释了许多AP物理1常考的实际现象，包括飞机升力，它来自机翼上下的压强差。

📐 例题

飞机机翼上表面流速为260 m/s，下表面流速为220 m/s。空气密度为1.2 kg/m³，机翼总面积为20 m²。假设上下表面高度相同，计算压强差产生的净升力。

1
高度相同时，根据伯努利原理，压强差 $Δ P = P_{bottom} - P_{top}$ 为：
2
$\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_{\text{top}}^2 - v_{\text{bottom}}^2)$
3
代入数值：
4
$\Delta P = 0.5(1.2)(260^2 - 220^2) = 11520 \text{ Pa}$
5
净升力等于压强差乘以机翼面积：
6
$F = \Delta P \times A = 11520 \times 20 = 2.3 \times 10^5 \text{ N}$

✓ 快速检测

测试你对托里拆利定律的理解：

一个大型开口容器装水，液面距离底部高度为7.0 m。小孔距离底部2.0 m，与大气相通，水流出的近似速度是多少？
- 6.3 m/s
- 9.9 m/s
- 11.7 m/s
- 14 m/s
显示答案
9.9 m/s —
正确： $h = 7.0 - 2.0 = 5.0$ m，因此 $v = 2 (9.8) (5) \approx 9.9$ m/s。最常见的错误是使用容器总高度而非小孔在液面下的深度计算。

6. 常见陷阱

错误做法:

在连续性方程中弄反直径/面积比，对于收缩管道错误计算为 $v_{2} = v_{1} (d_{2} / d_{1})^{2}$

原因:

学生忘记面积和流速成反比关系，搞混了哪个面积对应哪个流速。

正确做法:

解完连续性方程后一定要验证结果：如果管道变窄，出口流速一定大于入口流速，如果不对就把比例反过来。

错误做法:

在伯努利方程中一个点用绝对压强，另一个点用表压

原因:

题目经常给出表压，学生忘记所有压强项必须使用相同的参考系。

正确做法:

解题开始时就把所有压强转换为同一类型。对于多个开口的问题，表压计算更简单，因为 $P_{a t m}$ 会自动抵消。

错误做法:

即使管道不是水平的，也直接消去 $ρ g h$ 项

原因:

学生习惯了水平管道问题，忘记检查两点之间的高度差。

正确做法:

消去任何项之前，一定要先明确写出两点的 $ρ g h$ 项，这样你就不会遗漏高度变化。

错误做法:

不管高度差如何，都声称流速越高压强越低

原因:

学生记住了'流速越高=压强越低'的规则，忘记它只适用于两点高度相同的情况。

正确做法:

一定要使用完整的伯努利方程比较压强，考虑高度变化。如果高度下降抵消了动能的增加，压强也可能随流速升高而增大。

错误做法:

当容器远大于小孔时，在托里拆利定律中仍然保留完整的 $v_{surface}^{2}$ 项

原因:

学生忘记大容器液面速度可忽略的连续性近似，导致算出的出流速度错误偏低。

正确做法:

如果容器直径是小孔直径的10倍以上，就可以近似 $v_{surface} = 0$ ，引入的误差小于1%，完全在AP考试的允许范围内。

7. 速查表

类别	公式	说明
连续性方程	$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$	质量守恒；适用于定常不可压缩流动
完整伯努利方程	$P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}$	仅适用于定常、不可压缩、无粘性流动；所有压强使用同一类型
等高伯努利方程	$P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$	流速越高→压强越低；AP考试最常见形式
托里拆利定律	$v = 2 g h$	$h$ = 小孔在液面下的深度；假设容器足够大、通大气
体积流量	$Q = A v$	不可压缩流动中恒定；单位为m³/s
圆形管道流速比	$v_{2} = v_{1} (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2}$	$π$ 抵消，直接使用直径比节省时间
AP标准数值	$ρ_{water} = 1000 kg/m^{3}$ , $P_{a t m} = 1.01 \times 1 0^{5} Pa$	大多数AP问题的默认值
核心概念规则	等高情况下流速越高→压强越低	概念类简答题解释需要写出才能拿满分

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
托里拆利定律出流流速计算
2021 · FRQ
管道压强变化解释

下一步

伯努利原理是AP物理1第8单元流体力学部分的核心结论，它强化了本课程使用守恒定律求解动态问题的核心主题。你在这里练习的能量守恒推理方法，会在后续构成第8单元剩余内容的热物理知识点中再次用到。理解守恒定律如何应用于流体系统，也能帮助你建立对力学和热力学能量问题的直觉，这些问题占AP物理1考试的很大比重。掌握连续性方程和伯努利问题求解方法，能为你学习后续热物理知识点所需的能量推理做好准备。