# 伯努利原理

> AP 物理 1 · 第8单元：流体与热物理
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u8-bernoulli-s-principle/

本模块内容包括：连续性方程、伯努利原理及其定量的能量形式、求解未知压强、流速和高度变化的问题，以及常见的AP风格应用，包括容器排水的托里拆利定律。

**先修:** 封闭力学系统的质量守恒与能量守恒; 流体基本性质：压强、密度和不可压缩性; 动态流体的体积流量概念

## 学习目标

- 从能量守恒的角度阐述伯努利原理
- 应用连续性方程求解未知的流体流速
- 利用伯努利方程求解涉及压强、流速和高度变化的问题
- 应用托里拆利定律求解容器排水问题
- 解释伯努利原理常见的AP风格实际应用

## 伯努利原理的核心概念

**伯努利原理** — 定常、不可压缩、无粘性流体流动的基本能量守恒关系，关联了压强、流速和重力高度。

*记法:* $P$ = absolute pressure, $\rho$ = fluid density, $v$ = average flow speed, $g$ = acceleration due to gravity, $h$ = height above reference

*例:* 该原理指出，在高度不变的变窄管道中，流速升高时压强会降低。

伯努利原理直接由运动流体系统的机械能守恒推导而来。在AP物理1考试中，该知识点占总分的约1-2%，会出现在选择题和短简答题中。本指南使用的符号符合AP考试的标准规范。

## 连续性方程（质量守恒）

在大多数AP问题中应用伯努利原理之前，你首先需要用到连续性方程，它来自不可压缩定常流动的质量守恒。对于封闭管道内的流动，单位时间流入的质量等于流出的质量，因此密度恒定时体积流量也恒定。

**连续性方程** — 对于定常不可压缩流动，封闭管道内的体积流量沿程保持恒定。

*记法:* $Q$ = volume flow rate, $A$ = cross-sectional area, $v$ = average flow speed

$$Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$$

对于圆形管道，$A = \pi d^2/4$，因此计算面积比时常数项会抵消，得到简化关系 $d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$，这能在AP考试中节省大量时间。

**例题:** 一根圆形进水管道直径为6.0 cm，收缩后出口管道直径为2.0 cm。若入口流速为1.0 m/s，求出口流速。

1. 写出两点的连续性方程：
2. $$A_1 v_1 = A_2 v_2$$
3. 代入圆形管道面积公式，常数$\pi/4$项抵消：
4. $$d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$$
5. 整理公式求解未知出口流速$v_2$：
6. $$v_2 = v_1 \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$$
7. 代入已知数值：
8. $$v_2 = (1.0 \text{ m/s}) \left(\frac{6.0 \text{ cm}}{2.0 \text{ cm}}\right)^2 = 9.0 \text{ m/s}$$

> **考试提示:** 一定要用常识验证：如果管道变窄，出口流速一定高于入口流速。如果你算出流速更低，说明你把直径比弄反了。

## 伯努利方程（定量原理）

伯努利方程是伯努利原理的定量表达，代表单位体积流体的机械能守恒。对于有效流动中流线上的任意两点，单位体积的压能、动能和重力势能之和为常数。

$$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$$

每个项的单位都是压强（Pa，等价于J/m³）。对于高度相同的情况（$h_1 = h_2$），核心概念结论是：流速升高总是对应压强降低，反之亦然。AP物理1要求你记住默认值：$\rho_{\text{water}} = 1000$ kg/m³ 和 $P_{atm} = 1.01 \times 10^5$ Pa。

**例题:** 上一道例题的管道系统是水平放置的，因此入口和出口高度相同。入口表压为$2.5 \times 10^5$ Pa，流体是水，求出口表压。

1. 我们已经从连续性方程得到$v_1 = 1.0$ m/s，$v_2 = 9.0$ m/s。因为管道水平，$h_1 = h_2$，所以$\rho g h$项抵消。
2. 写出表压形式的伯努利方程（大气压抵消）：
3. $$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$$
4. 整理公式求解$P_2$：
5. $$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$$
6. 代入数值，使用$\rho_{\text{water}} = 1000$ kg/m³：
7. $$P_2 = 2.5 \times 10^5 + 0.5(1000)(1^2 - 9^2) = 2.1 \times 10^5 \text{ Pa}$$

> **考试提示:** 使用表压计算时，如果两点都与大气相通，你可以完全忽略大气压，因为它会抵消，简化计算。

## 托里拆利定律（容器排水的特例）

伯努利原理最常见的AP考点应用就是托里拆利定律，它描述了大型开口容器上小孔的流体出流速度。这里有两个关键近似：1) 容器横截面积远大于小孔面积，因此液面下降速度可忽略（$v_{\text{surface}} \approx 0$）；2) 液面和小孔都与大气相通，因此压强相等。

**推导:** 从伯努利方程推导托里拆利定律

*起点:* 带小孔的大型开口容器的完整伯努利方程

1. 将参考高度$h=0$设在小孔处，因此液面高度等于小孔在液面下的深度$h$。我们已知$P_{\text{surface}} = P_{\text{hole}} = P_{atm}$，且$v_{\text{surface}} \approx 0$。
2. $$P_{atm} + 0 + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^2 + 0$$
3. 两边消去$P_{atm}$和$\rho$，整理得：
4. $$v = \sqrt{2 g h}$$

*结论:* 出流速度等于从高度$h$自由下落物体的速度，符合能量守恒的预期。

**例题:** 一个大型开口容器装水，总高度为6.0 m，在距离容器底部2.0 m处扎了一个小孔，求水从小孔流出的速度。

1. 验证托里拆利定律的假设：容器足够大，因此$v_{\text{surface}} \approx 0$；两点都通大气，因此压强相等。
2. 计算小孔在液面下的深度：
3. $$h = 6.0 \text{ m} - 2.0 \text{ m} = 4.0 \text{ m}$$
4. 代入托里拆利定律：
5. $$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.8)(4.0)} \approx 8.9 \text{ m/s}$$

> **考试提示:** 在概念类简答题中，一定要写出两个关键近似（液面速度可忽略、大气压相等）才能拿到满分。

## 常见AP考点应用

伯努利原理解释了许多AP物理1常考的实际现象，包括飞机升力，它来自机翼上下的压强差。

**例题:** 飞机机翼上表面流速为260 m/s，下表面流速为220 m/s。空气密度为1.2 kg/m³，机翼总面积为20 m²。假设上下表面高度相同，计算压强差产生的净升力。

1. 高度相同时，根据伯努利原理，压强差$\Delta P = P_{\text{bottom}} - P_{\text{top}}$为：
2. $$\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_{\text{top}}^2 - v_{\text{bottom}}^2)$$
3. 代入数值：
4. $$\Delta P = 0.5(1.2)(260^2 - 220^2) = 11520 \text{ Pa}$$
5. 净升力等于压强差乘以机翼面积：
6. $$F = \Delta P \times A = 11520 \times 20 = 2.3 \times 10^5 \text{ N}$$

**概念自测**

测试你对托里拆利定律的理解：

1. 一个大型开口容器装水，液面距离底部高度为7.0 m。小孔距离底部2.0 m，与大气相通，水流出的近似速度是多少？

   - 6.3 m/s
   - 9.9 m/s
   - 11.7 m/s
   - 14 m/s

   *解析:* 正确：$h = 7.0 - 2.0 = 5.0$ m，因此$v = \sqrt{2(9.8)(5)} \approx 9.9$ m/s。最常见的错误是使用容器总高度而非小孔在液面下的深度计算。

## 常见错误

- **错误做法:** 在连续性方程中弄反直径/面积比，对于收缩管道错误计算为$v_2 = v_1 (d_2/d_1)^2$
  - 原因: 学生忘记面积和流速成反比关系，搞混了哪个面积对应哪个流速。
  - 正确做法: 解完连续性方程后一定要验证结果：如果管道变窄，出口流速一定大于入口流速，如果不对就把比例反过来。
- **错误做法:** 在伯努利方程中一个点用绝对压强，另一个点用表压
  - 原因: 题目经常给出表压，学生忘记所有压强项必须使用相同的参考系。
  - 正确做法: 解题开始时就把所有压强转换为同一类型。对于多个开口的问题，表压计算更简单，因为$P_{atm}$会自动抵消。
- **错误做法:** 即使管道不是水平的，也直接消去$\rho g h$项
  - 原因: 学生习惯了水平管道问题，忘记检查两点之间的高度差。
  - 正确做法: 消去任何项之前，一定要先明确写出两点的$\rho g h$项，这样你就不会遗漏高度变化。
- **错误做法:** 不管高度差如何，都声称流速越高压强越低
  - 原因: 学生记住了'流速越高=压强越低'的规则，忘记它只适用于两点高度相同的情况。
  - 正确做法: 一定要使用完整的伯努利方程比较压强，考虑高度变化。如果高度下降抵消了动能的增加，压强也可能随流速升高而增大。
- **错误做法:** 当容器远大于小孔时，在托里拆利定律中仍然保留完整的$v_{\text{surface}}^2$项
  - 原因: 学生忘记大容器液面速度可忽略的连续性近似，导致算出的出流速度错误偏低。
  - 正确做法: 如果容器直径是小孔直径的10倍以上，就可以近似$v_{\text{surface}} = 0$，引入的误差小于1%，完全在AP考试的允许范围内。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 连续性方程 | $A_1 v_1 = A_2 v_2$ | 质量守恒；适用于定常不可压缩流动 |
| 完整伯努利方程 | $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$ | 仅适用于定常、不可压缩、无粘性流动；所有压强使用同一类型 |
| 等高伯努利方程 | $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$ | 流速越高→压强越低；AP考试最常见形式 |
| 托里拆利定律 | $v = \sqrt{2 g h}$ | $h$ = 小孔在液面下的深度；假设容器足够大、通大气 |
| 体积流量 | $Q = A v$ | 不可压缩流动中恒定；单位为m³/s |
| 圆形管道流速比 | $v_2 = v_1 \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$ | $\pi$抵消，直接使用直径比节省时间 |
| AP标准数值 | $\rho_{\text{water}} = 1000 \text{ kg/m}^3$, $P_{atm} = 1.01 \times 10^5 \text{ Pa}$ | 大多数AP问题的默认值 |
| 核心概念规则 | 等高情况下流速越高→压强越低 | 概念类简答题解释需要写出才能拿满分 |

## 下一步

伯努利原理是AP物理1第8单元流体力学部分的核心结论，它强化了本课程使用守恒定律求解动态问题的核心主题。你在这里练习的能量守恒推理方法，会在后续构成第8单元剩余内容的热物理知识点中再次用到。理解守恒定律如何应用于流体系统，也能帮助你建立对力学和热力学能量问题的直觉，这些问题占AP物理1考试的很大比重。掌握连续性方程和伯努利问题求解方法，能为你学习后续热物理知识点所需的能量推理做好准备。

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