简谐运动的运动学

AP 物理 1· AP Physics 1 CED — 简谐运动与波· 14 分钟阅读

1. 什么是简谐运动运动学？★★☆☆☆⏱ 3 min

简谐运动（SHM）的运动学研究振动物体的位移、速度和加速度随时间的变化规律，不分析产生运动的力（力的分析在简谐运动动力学中讲解）。

📘 定义

简谐运动（SHM）

一种特殊的周期性运动，其定义为加速度与偏离平衡位置的位移成固定比例关系。

例:

理想弹簧振子系统、小角度单摆摆动

我们使用标准符号： $A$ 表示振幅（偏离平衡位置的最大位移）， $ω$ 表示角频率， $f$ 表示频率（每秒周期数）， $T$ 表示周期（每个周期的秒数）， $ϕ$ 表示相位常数， $x (t), v (t), a (t)$ 分别表示 $t$ 时刻的位移、速度和加速度。简谐运动运动学是AP物理1第7单元所有其他简谐运动和波动主题的基础。

2. 定义条件与角频率换算★★☆☆☆⏱ 3 min

所有周期性运动都在固定周期后重复，但只有简谐运动满足加速度与位移之间的特定比例定义关系。这个关系将简谐运动与其他类型的周期性运动区分开，是所有运动学分析的起点。

a(t) = -\omega^2 x(t)

负号非常关键：它表明加速度始终指向平衡位置，与偏离平衡位置的位移方向相反。这符合直觉：如果你把弹簧上的物块拉到平衡位置右侧，加速度就会向左拉回中心，反之亦然。

角频率与我们更熟悉的可测量量周期（ $T$ ，每个周期的时间）和频率（ $f$ ，每秒的周期数）通过两个核心关系联系起来：

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

📐 例题

弹簧上的物块做简谐运动。某一时刻，物块偏离平衡位置的位移为 $x = + 0.15 m$ ，测得其加速度为 $a = - 13.5 m/s^{2}$ 。求物块简谐运动的周期？

1
从简谐运动的定义关系开始：
$a = -\omega^2 x$
2
消去负号，求解 $ω^{2}$ ：
$\omega^2 = \frac{-a}{x} = \frac{-(-13.5)}{0.15} = 90 \text{ rad}^2/\text{s}^2$
3
取正平方根（角频率始终为正）：
$\omega = \sqrt{90} \approx 9.49 \text{ rad/s}$
4
建立 $ω$ 与周期的关系：
$T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{6.28}{9.49} \approx 0.66 \text{ s}$

Exam tip:

从定义关系求解 $ω$ 时，一定要先消去负号。 $ω$ 始终为正，因此即使位移或加速度为负，你得到的角频率也永远不会是负的。

3. 位移、速度和加速度的运动学方程★★★☆☆⏱ 4 min

从加速度-位移的定义关系，我们可以推导出位移、速度和加速度关于时间的函数。位移函数的一般形式（遵循AP约定使用余弦函数表示）为：

x(t) = A \cos(\omega t + \phi)

$A$ 是振幅（偏离平衡位置的最大位移，始终为正）， $ϕ$ 是相位常数，用于调整方程以匹配振子在 $t = 0$ 时刻的初始位移和初始速度。速度是位移对时间的一阶导数，加速度是二阶导数：

v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi)

a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)

要求解 $ϕ$ ，需要同时使用 $t = 0$ 时刻的初始位移和初始速度。常见情况：如果振子在 $t = 0$ 时位于最大正位移处，则 $ϕ = 0$ 。如果振子在 $t = 0$ 时位于平衡位置且向正方向运动，则 $ϕ = - π /2$ ，方程可简化为 $x (t) = A sin (ω t)$ 。

📐 例题

一个质量为0.2 kg的物块做简谐运动，振幅为0.4 m，周期为2.0 s。在 $t = 0$ 时刻，物块位于 $x = 0$ m处，沿x轴正方向运动。写出物块位移关于时间的方程。

1
首先计算角频率：
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad/s}. We know A = 0.4 \text{ m}, so only find $\phi$.$
2
应用 $t = 0$ 时刻的初始位移条件：
$x(0) = A \cos(\phi) = 0 \implies \cos(\phi) = 0, so \phi = +\pi/2 or -\pi/2$
3
利用初始速度（ $t = 0$ 时为正）确定正确的符号：
$v(0) = -A \omega \sin(\phi) > 0 \implies \sin(\phi) < 0 \implies \phi = -\pi/2$
4
代回并利用三角恒等式化简：
$x(t) = 0.4 \cos\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) = 0.4 \sin(\pi t) \text{ meters}$

Exam tip:

一定要同时验证 $t = 0$ 时刻的位移和速度，才能得到相位常数的正确符号。很多学生只匹配初始位移就停止计算，最终得到错误的相位。

4. 简谐运动运动学的图像分析★★★☆☆⏱ 4 min

AP物理1经常考察简谐运动的图像推理，要求你关联 $x (t)$ 、 $v (t)$ 和 $a (t)$ 的图像，或从给定图像中提取振幅、周期等性质。关键是理解三个量之间固定的相位差：

加速度与位移相位差180°（ $π$ 弧度）：当位移为最大正值时，加速度为最大负值，反之亦然。
速度与位移相位差90°（ $π /2$ 弧度）：当位移为零（平衡位置）时，速度大小最大；当位移最大时，速度为零。

📐 例题

做简谐运动的物体的位移-时间图像中，最大位移为2.0 cm，连续峰值（最大正位移）出现在 $t = 0$ s和 $t = 4.0$ s处。计算物体的最大速度和最大加速度。

1
从图像中提取振幅和周期：
$A = 2.0 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}, \quad T = 4.0 \text{ s}$
2
计算角频率：
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \text{ rad/s}$
3
最大速度为 $v_{ma x} = A ω$ （正弦项最大大小为1）：
$v_{max} = (0.02 \text{ m})(1.57 \text{ rad/s}) \approx 0.031 \text{ m/s}$
4
最大加速度为 $a_{ma x} = A ω^{2}$ （余弦项最大大小为1）：
$a_{max} = (0.02 \text{ m})(1.57^2 \text{ rad}^2/\text{s}^2) \approx 0.049 \text{ m/s}^2$

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

物体做简谐运动，运动方程为 $x (t) = 3 cos (\frac{π}{2} t + \frac{π}{2})$ ，其中 $x$ 单位为米， $t$ 单位为秒。求 $t = 0$ 时刻物体的速率？
- 0 m/s
- $\frac{3 π}{2}$ m/s
- $3 π$ m/s
- $\frac{9 π}{4}$ m/s
显示答案
1 —
正确。速率是速度的大小。利用 $v (t) = - A ω sin (ω t + ϕ)$ ，代入数值得到 $v (0) = - \frac{3 π}{2}$ m/s，因此速率为 $\frac{3 π}{2}$ m/s。其他选项对应学生常见错误。

Exam tip:

从位移-时间图像读取周期时，一定要在两个相同点（两个连续峰值，或两个斜率方向相同的连续过零点）之间测量，不能随便取两个过零点。

5. 常见陷阱

错误做法:

关联角频率和周期时，使用 $ω = T / (2 π)$ 而非正确的 $ω = 2 π / T$ 。

原因:

学生混淆了周期和频率的反比关系，搞不清哪个量放在分子。

正确做法:

始终从 $f = 1/ T$ 和 $ω = 2 π f$ 出发，代入得到 $ω = 2 π / T$ ，开始计算前把这个关系写在试卷顶部。

错误做法:

忘记 $v (t) = - A ω sin (ω t + ϕ)$ 中的负号，得到 $t = 0$ 时刻错误的速度方向。

原因:

学生记得对余弦求导，但忘记余弦的导数是负正弦。

正确做法:

对 $x (t)$ 求导得到 $v (t)$ 后，在求解相位常数或初始方向之前，一定要检查负号是否正确。

错误做法:

在 $x (t)$ 图像上，把正斜率过零点和负斜率过零点之间的距离算作周期。

原因:

学生看到两个过零点就认为它们间隔一个周期。

正确做法:

在任何简谐运动位移图像上，标记两个连续峰值（或两个斜率符号相同的连续过零点）来测量完整周期。

错误做法:

认为最大加速度出现在速度最大的时候。

原因:

学生将简谐运动运动学与匀变速运动运动学混淆，在匀变速中最大加速度与速度无关。

正确做法:

记住规律：最大位移 = 速度为零 = 最大加速度；零位移 = 最大速度 = 加速度为零，遇到所有图像或计算题都参考这个规律。

错误做法:

将圆周运动中的 $v_{ma x} = ω r$ 用于简谐运动，但代入了错误的 $r$ 值。

原因:

学生记得匀速圆周运动中线速度和角速度的关系，但错误地将其应用到简谐运动中。

正确做法:

记住简谐运动中 $v_{ma x} = ω A$ ，其中 $A$ 是简谐运动的振幅；如果你忘记了，可以从 $x (t)$ 的导数快速推导出来。

6. 速查表

类别	公式	备注
简谐运动定义条件	$a = - ω^{2} x$	对所有简谐运动都成立，与系统无关
角频率 → 周期	$ω = \frac{2 π}{T}$	$ω$ 单位rad/s， $T$ 单位s，始终为正
角频率 → 频率	$ω = 2 π f$	$f$ 单位Hz（周期数每秒）
一般位移函数	$x (t) = A cos (ω t + ϕ)$	$A$ = 振幅（始终为正）， $ϕ$ = 相位常数
速度函数	$v (t) = - A ω sin (ω t + ϕ)$	由求导推导得到；负号至关重要
加速度函数	$a (t) = - A ω^{2} cos (ω t + ϕ)$	可化简为定义式 $a = - ω^{2} x$
最大速度	$v_{ma x} = A ω$	发生在 $x = 0$ （平衡位置处）
最大加速度	$a_{ma x} = A ω^{2}$	发生在 $x = \pm A$ （最大位移处）
相位关系1	$a$ 与 $x$ 相位差180°	当 $x$ 为最大正， $a$ 为最大负
相位关系2	$v$ 与 $x$ 相位差90°	当 $x = 0$ 时， $v$ 大小最大

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
从简谐运动的a-x测量结果求周期
2022 · FRQ
根据初始条件写出简谐运动的位移方程

下一步

本主题为AP物理1第7单元所有简谐运动主题奠定了运动学基础。接下来，你会将简谐运动的运动学定义与动力学联系起来，把角频率与弹簧振子系统的质量、劲度系数，或单摆的摆长、重力加速度等系统性质关联起来。如果不掌握 $ω$ 、 $T$ 和a-x条件之间的运动学关系，你将无法推导或预测不同系统的简谐运动周期，而这是AP考试中分值很高的自由问答题考点。本主题也为第7单元后续的简谐运动能量、波动运动学和干涉的学习打下基础，因为所有波动运动都依赖简谐运动原理描述单个振动粒子的运动。

→简谐运动中的能量