# 简谐运动的运动学

> AP 物理 1 · 第7单元：简谐运动与波
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u7-kinematics-of-simple-harmonic-motion/

本模块讲解AP物理1中简谐运动的加速度-位移定义关系、角频率与周期、频率的换算、运动学方程、相位常数，以及简谐运动运动学的图像分析。

**先修:** 非匀变速运动的基础运动学知识; 三角函数的导数; 周期性运动中周期和频率的定义

## 学习目标

- 识别简谐运动的定义条件
- 建立简谐运动中角频率与周期、频率的关系
- 根据给定初始条件写出简谐运动的运动学方程
- 分析简谐运动的位移、速度和加速度图像
- 计算任意简谐运动系统的最大速度和最大加速度

## 什么是简谐运动运动学？

简谐运动（SHM）的运动学研究振动物体的位移、速度和加速度随时间的变化规律，不分析产生运动的力（力的分析在简谐运动动力学中讲解）。

**简谐运动（SHM）** — 一种特殊的周期性运动，其定义为加速度与偏离平衡位置的位移成固定比例关系。

*例:* 理想弹簧振子系统、小角度单摆摆动

我们使用标准符号：$A$表示振幅（偏离平衡位置的最大位移），$\omega$表示角频率，$f$表示频率（每秒周期数），$T$表示周期（每个周期的秒数），$\phi$表示相位常数，$x(t), v(t), a(t)$分别表示$t$时刻的位移、速度和加速度。简谐运动运动学是AP物理1第7单元所有其他简谐运动和波动主题的基础。

## 定义条件与角频率换算

所有周期性运动都在固定周期后重复，但只有简谐运动满足加速度与位移之间的特定比例定义关系。这个关系将简谐运动与其他类型的周期性运动区分开，是所有运动学分析的起点。

$$a(t) = -\omega^2 x(t)$$

负号非常关键：它表明加速度始终指向平衡位置，与偏离平衡位置的位移方向相反。这符合直觉：如果你把弹簧上的物块拉到平衡位置右侧，加速度就会向左拉回中心，反之亦然。

角频率与我们更熟悉的可测量量周期（$T$，每个周期的时间）和频率（$f$，每秒的周期数）通过两个核心关系联系起来：

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

> **tip**
>
> 这个关系是AP考试中最常考察的内容之一，因为它将抽象的角频率与你可以从实验或图像中得到的实际可测量联系起来。

**例题:** 弹簧上的物块做简谐运动。某一时刻，物块偏离平衡位置的位移为$x = +0.15 \text{ m}$，测得其加速度为$a = -13.5 \text{ m/s}^2$。求物块简谐运动的周期？

1. 从简谐运动的定义关系开始：

   $$a = -\omega^2 x$$
2. 消去负号，求解$\omega^2$：

   $$\omega^2 = \frac{-a}{x} = \frac{-(-13.5)}{0.15} = 90 \text{ rad}^2/\text{s}^2$$
3. 取正平方根（角频率始终为正）：

   $$\omega = \sqrt{90} \approx 9.49 \text{ rad/s}$$
4. 建立$\omega$与周期的关系：

   $$T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{6.28}{9.49} \approx 0.66 \text{ s}$$

> **考试提示:** 从定义关系求解$\omega$时，一定要先消去负号。$\omega$始终为正，因此即使位移或加速度为负，你得到的角频率也永远不会是负的。

## 位移、速度和加速度的运动学方程

从加速度-位移的定义关系，我们可以推导出位移、速度和加速度关于时间的函数。位移函数的一般形式（遵循AP约定使用余弦函数表示）为：

$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

$A$是振幅（偏离平衡位置的最大位移，始终为正），$\phi$是相位常数，用于调整方程以匹配振子在$t=0$时刻的初始位移和初始速度。速度是位移对时间的一阶导数，加速度是二阶导数：

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi)$$

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$$

要求解$\phi$，需要同时使用$t=0$时刻的初始位移和初始速度。常见情况：如果振子在$t=0$时位于最大正位移处，则$\phi = 0$。如果振子在$t=0$时位于平衡位置且向正方向运动，则$\phi = -\pi/2$，方程可简化为$x(t) = A \sin(\omega t)$。

**例题:** 一个质量为0.2 kg的物块做简谐运动，振幅为0.4 m，周期为2.0 s。在$t=0$时刻，物块位于$x = 0$ m处，沿x轴正方向运动。写出物块位移关于时间的方程。

1. 首先计算角频率：

   $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad/s}. We know A = 0.4 \text{ m}, so only find $\phi$.$$
2. 应用$t=0$时刻的初始位移条件：

   $$x(0) = A \cos(\phi) = 0 \implies \cos(\phi) = 0, so \phi = +\pi/2 or -\pi/2$$
3. 利用初始速度（$t=0$时为正）确定正确的符号：

   $$v(0) = -A \omega \sin(\phi) > 0 \implies \sin(\phi) < 0 \implies \phi = -\pi/2$$
4. 代回并利用三角恒等式化简：

   $$x(t) = 0.4 \cos\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) = 0.4 \sin(\pi t) \text{ meters}$$

> **考试提示:** 一定要同时验证$t=0$时刻的位移和速度，才能得到相位常数的正确符号。很多学生只匹配初始位移就停止计算，最终得到错误的相位。

## 简谐运动运动学的图像分析

AP物理1经常考察简谐运动的图像推理，要求你关联$x(t)$、$v(t)$和$a(t)$的图像，或从给定图像中提取振幅、周期等性质。关键是理解三个量之间固定的相位差：

- 加速度与位移相位差180°（$\pi$弧度）：当位移为最大正值时，加速度为最大负值，反之亦然。
- 速度与位移相位差90°（$\pi/2$弧度）：当位移为零（平衡位置）时，速度大小最大；当位移最大时，速度为零。

**例题:** 做简谐运动的物体的位移-时间图像中，最大位移为2.0 cm，连续峰值（最大正位移）出现在$t=0$ s和$t=4.0$ s处。计算物体的最大速度和最大加速度。

1. 从图像中提取振幅和周期：

   $$A = 2.0 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}, \quad T = 4.0 \text{ s}$$
2. 计算角频率：

   $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \text{ rad/s}$$
3. 最大速度为$v_{max} = A\omega$（正弦项最大大小为1）：

   $$v_{max} = (0.02 \text{ m})(1.57 \text{ rad/s}) \approx 0.031 \text{ m/s}$$
4. 最大加速度为$a_{max} = A\omega^2$（余弦项最大大小为1）：

   $$a_{max} = (0.02 \text{ m})(1.57^2 \text{ rad}^2/\text{s}^2) \approx 0.049 \text{ m/s}^2$$

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 物体做简谐运动，运动方程为$x(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{2}\right)$，其中$x$单位为米，$t$单位为秒。求$t = 0$时刻物体的速率？

   - 0 m/s
   - $\frac{3\pi}{2}$ m/s
   - $3\pi$ m/s
   - $\frac{9\pi}{4}$ m/s

   *答案:* $\frac{3\pi}{2}$ m/s

   *解析:* 正确。速率是速度的大小。利用$v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$，代入数值得到$v(0) = -\frac{3\pi}{2}$ m/s，因此速率为$\frac{3\pi}{2}$ m/s。其他选项对应学生常见错误。

> **考试提示:** 从位移-时间图像读取周期时，一定要在两个相同点（两个连续峰值，或两个斜率方向相同的连续过零点）之间测量，不能随便取两个过零点。

## 常见错误

- **错误做法:** 关联角频率和周期时，使用$\omega = T/(2\pi)$而非正确的$\omega = 2\pi/T$。
  - 原因: 学生混淆了周期和频率的反比关系，搞不清哪个量放在分子。
  - 正确做法: 始终从$f = 1/T$和$\omega = 2\pi f$出发，代入得到$\omega = 2\pi/T$，开始计算前把这个关系写在试卷顶部。
- **错误做法:** 忘记$v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$中的负号，得到$t=0$时刻错误的速度方向。
  - 原因: 学生记得对余弦求导，但忘记余弦的导数是负正弦。
  - 正确做法: 对$x(t)$求导得到$v(t)$后，在求解相位常数或初始方向之前，一定要检查负号是否正确。
- **错误做法:** 在$x(t)$图像上，把正斜率过零点和负斜率过零点之间的距离算作周期。
  - 原因: 学生看到两个过零点就认为它们间隔一个周期。
  - 正确做法: 在任何简谐运动位移图像上，标记两个连续峰值（或两个斜率符号相同的连续过零点）来测量完整周期。
- **错误做法:** 认为最大加速度出现在速度最大的时候。
  - 原因: 学生将简谐运动运动学与匀变速运动运动学混淆，在匀变速中最大加速度与速度无关。
  - 正确做法: 记住规律：最大位移 = 速度为零 = 最大加速度；零位移 = 最大速度 = 加速度为零，遇到所有图像或计算题都参考这个规律。
- **错误做法:** 将圆周运动中的$v_{max} = \omega r$用于简谐运动，但代入了错误的$r$值。
  - 原因: 学生记得匀速圆周运动中线速度和角速度的关系，但错误地将其应用到简谐运动中。
  - 正确做法: 记住简谐运动中$v_{max} = \omega A$，其中$A$是简谐运动的振幅；如果你忘记了，可以从$x(t)$的导数快速推导出来。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 简谐运动定义条件 | $a = -\omega^2 x$ | 对所有简谐运动都成立，与系统无关 |
| 角频率 → 周期 | $\omega = \frac{2\pi}{T}$ | $\omega$单位rad/s，$T$单位s，始终为正 |
| 角频率 → 频率 | $\omega = 2\pi f$ | $f$单位Hz（周期数每秒） |
| 一般位移函数 | $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ | $A$ = 振幅（始终为正），$\phi$ = 相位常数 |
| 速度函数 | $v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi)$ | 由求导推导得到；负号至关重要 |
| 加速度函数 | $a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi)$ | 可化简为定义式$a = -\omega^2 x$ |
| 最大速度 | $v_{max} = A \omega$ | 发生在$x = 0$（平衡位置处） |
| 最大加速度 | $a_{max} = A \omega^2$ | 发生在$x = \pm A$（最大位移处） |
| 相位关系1 | $a$ 与$x$相位差180° | 当$x$为最大正，$a$为最大负 |
| 相位关系2 | $v$ 与$x$相位差90° | 当$x = 0$时，$v$大小最大 |

## 下一步

本主题为AP物理1第7单元所有简谐运动主题奠定了运动学基础。接下来，你会将简谐运动的运动学定义与动力学联系起来，把角频率与弹簧振子系统的质量、劲度系数，或单摆的摆长、重力加速度等系统性质关联起来。如果不掌握$\omega$、$T$和a-x条件之间的运动学关系，你将无法推导或预测不同系统的简谐运动周期，而这是AP考试中分值很高的自由问答题考点。本主题也为第7单元后续的简谐运动能量、波动运动学和干涉的学习打下基础，因为所有波动运动都依赖简谐运动原理描述单个振动粒子的运动。

- [简谐运动中的能量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u7-energy-in-simple-harmonic-motion/)

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