简谐运动中的能量

AP 物理1· AP 物理1 课程与考试说明 — 振动· 14 分钟阅读

1. 简谐运动能量的核心原理★★☆☆☆⏱ 3 min

简谐运动的能量分析串联了AP物理1的两个核心单元，约占考试总分的2%，在选择题和自由作答题中均有出现。对于无阻尼简谐运动，不存在摩擦力或非保守力做功，总机械能始终守恒。

能量在动能（与振子的运动相关）和势能（弹簧振子系统为弹性势能，摆为重力势能）之间不断相互转化，势能与偏离平衡位置的位移相关。

📘 定义

简谐运动的能量分布

对于任意无阻尼简谐运动系统，总机械能恒定：在最大位移处（振幅 $A$ ，速度为0）所有能量均为势能，在平衡位置处（位移为0，速度最大）所有能量均为动能。

例:

A mass-spring system has all elastic potential energy at $x = \pm A$ , and all kinetic energy at $x = 0$ .

2. 简谐运动能量守恒的相关计算★★☆☆☆⏱ 4 min

所有无阻尼简谐运动的核心关系为：

E_{total} = KE + PE = \text{constant}

我们可以通过最大位移处的状态计算总能量，此处 $K E = 0$ ，因此 $E_{t o t a l} = P E_{ma x}$ 。对于水平弹簧振子系统，弹性势能为 $P E_{s} = \frac{1}{2} k x^{2}$ ，因此在 $x = A$ 处：

E_{total} = \frac{1}{2}kA^2

对于任意位移 $x$ ，完整的能量平衡关系为：

\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2

消去 $\frac{1}{2}$ 公因子并整理，即可得到任意 $x$ 处的速度 $v$ ：

v = \sqrt{\frac{k}{m}(A^2 - x^2)}

对于小振幅单摆，将平衡位置（最低点）设为 $P E = 0$ 。在最大摆角 $θ_{ma x}$ 处总能量为 $E_{t o t a l} = m g L (1 - cos θ_{ma x})$ ，遵循相同的能量守恒逻辑。

📐 例题

一个质量为0.2 kg的物体连接在劲度系数 $k = 10$ N/m的弹簧上，在无摩擦的水平面上以振幅 $A = 0.3$ m做简谐运动。当物体的位移为 $x = 0.2$ m（相对于平衡位置）时，它的速度是多少？

1
从能量守恒出发：振幅处的总能量等于位移 $x$ 处的动能与势能之和：
$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
2
消去所有项中的公因子 $\frac{1}{2}$ 以简化计算：
$kA^2 = mv^2 + kx^2$
3
整理后将 $v^{2}$ 单独放在等式一侧：
$v^2 = \frac{k(A^2 - x^2)}{m}$
4
代入给定的数值：
$v^2 = \frac{10\left[(0.3)^2 - (0.2)^2\right]}{0.2} = \frac{10(0.05)}{0.2} = 2.5 \implies v = \sqrt{2.5} \approx 1.6 \text{ m/s}$

Exam tip:

在求解简谐运动能量问题时，始终将平衡位置设为 $P E = 0$ 的位置，以简化计算并避免额外偏移项带来的符号错误。

3. 简谐运动的能量图像★★★☆☆⏱ 3 min

AP物理1经常考察简谐运动能量图像的解读。对于弹簧振子系统， $P E (x) = \frac{1}{2} k x^{2}$ ， $K E (x) = \frac{1}{2} k (A^{2} - x^{2})$ 。二者都是位置的二次函数，因此能量-位置图像是抛物线，而非三角函数曲线。

势能 $P E (x)$ 是开口向上的抛物线，在 $x = 0$ （平衡位置）处取最小值 $P E = 0$ ，在 $x = \pm A$ 处取势能最大值。动能 $K E (x)$ 是开口向下的抛物线，在 $x = 0$ 处取动能最大值，在 $x = \pm A$ 处 $K E = 0$ 。总能量是一条水平直线，因为无阻尼运动的总能量恒定。

📐 例题

对于在 $x = - A$ 和 $x = + A$ 之间振荡的无阻尼水平弹簧振子系统，求 $K E (x)$ 曲线和 $P E (x)$ 曲线交点对应的位移 $x$ 。

1
在交点处，动能等于势能：$KE = PE
2
代入能量表达式：
$\frac{1}{2}k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}kx^2$
3
消去两侧的公因子（ $\frac{1}{2}$ 和 $k$ ）：
$A^2 - x^2 = x^2$
4
整理后求解 $x$ ：
$A^2 = 2x^2 \implies x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.71A$

两条曲线在两个点相交，分别位于平衡位置两侧约71%振幅的位置。

Exam tip:

不要混淆图像形状：能量-位置图像中动能和势能均为抛物线，能量-时间图像中二者为正弦/余弦平方曲线，在一个完整周期内会振荡两次。

4. 简谐运动能量的参数依赖关系★★★☆☆⏱ 4 min

AP考试中常见的一类问题是：改变系统参数（振幅、质量、弹簧劲度系数、摆长）会如何改变总能量或最大速度。

对于弹簧振子系统，总能量 $E_{t o t a l} = \frac{1}{2} k A^{2}$ ，因此 $E_{t o t a l}$ 仅由劲度系数 $k$ 和振幅 $A$ 决定，与质量 $m$ 无关。在振幅固定的情况下改变质量不会改变总能量，但会改变最大速率：由于 $E_{t o t a l} = \frac{1}{2} m v_{ma x}^{2}$ ，可得 $v_{ma x} = A \frac{k}{m}$ ，因此即使总能量保持不变，增大质量也会使 $v_{ma x}$ 减小。

对于小振幅单摆，总能量 $E_{t o t a l} = m g L (1 - cos θ_{ma x})$ ，因此增大质量、振幅角或摆长都会使总能量增加。对于弱阻尼简谐运动（即AP物理1考纲中唯一涉及的阻尼情形），摩擦力做非保守功，因此总能量和振幅会随时间逐渐减小。

📐 例题

一个水平弹簧振子系统以振幅 $A$ 做简谐振动。某学生将质量为0.5 kg的物块替换为2.0 kg的物块，并将弹簧拉伸至相同的振幅 $A$ 。与原系统相比，物块的最大速率变为原来的多少倍？

1
系统的总能量保持不变，因为 $E_{t o t a l} = \frac{1}{2} k A^{2}$ ，且 $k$ 和 $A$ 均为定值： $E_{n e w} = E_{o l d}$
2
最大速率出现在平衡位置，此时系统所有能量均为动能：
$E = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \implies v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$
3
取新系统与原系统的最大速率的比值：
$\frac{v_{new}}{v_{old}} = \sqrt{\frac{2E/m_{new}}{2E/m_{old}}} = \sqrt{\frac{m_{old}}{m_{new}}} = \sqrt{\frac{0.5}{2.0}} = \frac{1}{2}$

最大速率减小为原来的 $\frac{1}{2}$ 。

✓ 快速检测

请通过以下一道AP风格的选择题测试你对简谐运动能量关系的理解：

A simple pendulum oscillates with small amplitude between $θ = - θ_{ma x}$ and $θ = + θ_{ma x}$ . Gravitational potential energy is set to zero at the equilibrium position ( $θ = 0$ ). Which of the following correctly describes the kinetic energy of the pendulum as a function of $θ$ for small amplitudes?
- KE is proportional to $θ^{2}$ , with maximum KE at $θ = \pm θ_{ma x}$
- KE is proportional to $(θ_{ma x}^{2} - θ^{2})$ , with maximum KE at $θ = 0$
- KE is proportional to $(θ_{ma x} - θ)$ , with maximum KE at $θ = 0$
- KE is proportional to $cos θ$ , with maximum KE at $θ = \pm θ_{ma x}$
显示答案
1 —
For small angles, $1 - cos θ \approx \frac{θ ^{2}}{2}$ , so $P E \approx \frac{m g L}{2} θ^{2}$ , so $K E = E_{t o t a l} - P E = \frac{m g L}{2} (θ_{ma x}^{2} - θ^{2})$ , which is maximum when $θ = 0$ .

Exam tip:

在回答参数变化类问题时，务必区分总能量和最大速度：对于振幅固定的弹簧振子简谐运动，总能量与质量无关，但最大速度与质量有关。

5. 常见陷阱

错误做法:

Claims increasing mass of a mass-spring system (fixed amplitude) increases total oscillation energy.

原因:

Students confuse total energy with period: period increases with mass, so they incorrectly assume energy also increases.

正确做法:

Remember $E_{t o t a l} = \frac{1}{2} k A^{2}$ , which depends only on $k$ and $A$ , so energy stays the same regardless of mass at fixed $A$ and $k$ .

错误做法:

Gets a negative potential energy for negative displacement $x$ .

原因:

Students forget PE depends on displacement squared, so negative positions have the same PE as equal-magnitude positive positions.

正确做法:

Always square displacement when calculating PE for SHM, so PE is always non-negative for any $x$ .

错误做法:

Draws sine/cosine curves for energy vs position graphs.

原因:

Students remember position and velocity are trigonometric functions of time, so incorrectly assume energy is also trigonometric in position.

正确做法:

For energy vs position, PE and KE are parabolas; for energy vs time, they are squared sine/cosine curves that oscillate twice per period.

错误做法:

Adds an extra gravitational PE term for vertical mass-spring systems, leading to incorrect total energy.

原因:

Students think gravity changes the energy equation, but forget that shifting the equilibrium position absorbs the gravitational term.

正确做法:

For vertical mass-spring SHM, measure $x$ from the new equilibrium position, and the energy equation is identical to horizontal SHM.

错误做法:

Memorizes $v_{ma x} = A ω$ and uses it incorrectly after a system change like a collision that changes mass.

原因:

Students rely on memorized formulas instead of deriving from energy, leading to wrong amplitude calculations.

正确做法:

Always re-derive total energy and $v_{ma x}$ from conservation rules when the system changes, rather than relying on pre-derived relationships.

6. 速查表

Category	Formula	Notes
Conservation of Energy (Undamped SHM)	$E_{t o t a l} = K E + P E = constant$	Applies only when no non-conservative work done
Total Energy (Mass-Spring SHM)	$E_{t o t a l} = \frac{1}{2} k A^{2}$	x measured from equilibrium; mass does not affect $E_{t o t a l}$ at fixed A
Energy Balance (Any Displacement)	$\frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$	Cancel $\frac{1}{2}$ to simplify, solve for v at any x
Maximum Speed (Mass-Spring SHM)	$v_{ma x} = A \frac{k}{m}$	Occurs at x=0 (equilibrium), derived from energy conservation
Total Energy (Small-Angle Pendulum)	$E_{t o t a l} = m g L (1 - cos θ_{ma x})$	PE=0 set at equilibrium; all energy is PE at max angle
Maximum Speed (Pendulum SHM)	$v_{ma x} = 2 g L (1 - cos θ_{ma x})$	Mass cancels out, so maximum speed is independent of mass
PE vs Position (Mass-Spring)	$P E (x) = \frac{1}{2} k x^{2}$	Upward-opening parabola, maximum at $x = \pm A$
KE vs Position (Mass-Spring)	$K E (x) = \frac{1}{2} k (A^{2} - x^{2})$	Downward-opening parabola, maximum at x=0
Total Energy vs Position	$E_{t o t a l} (x) = \frac{1}{2} k A^{2}$	Horizontal straight line, constant for all x

下一步

This topic connects the earlier work-and-energy unit to simple harmonic motion, and completes Unit 7 (Oscillations). The energy-conservation reasoning you practiced here reinforces skills tested across the course, from work-energy to rotational motion. Next you move on to the final unit, Unit 8: Fluids.