# 简谐运动中的能量

> AP 物理 1 · AP 物理 1 CED 第7单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u7-energy-in-simple-harmonic-motion/

本模块讲解无阻尼简谐运动（SHM）中的能量守恒、能量图像、参数相关性，以及弹簧振子和单摆系统的能量相关计算，该内容在AP物理1考试中频繁出现。

**先修:** [封闭系统的机械能守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-conservation-of-mechanical-energy/); 胡克定律与弹性势能; 简谐运动的基本动力学

## 学习目标

- 将机械能守恒应用于无阻尼简谐运动系统
- 解读简谐运动（SHM）的能量-位置图像
- 计算弹簧振子和单摆简谐运动系统的速率和振幅
- 分析系统参数变化对总能量和最大速率的影响

## 简谐运动中能量的核心原理

简谐运动的能量分析连接了AP物理1的两个核心单元，占考试总分约2%，会同时在选择题和自由作答题部分考查。对于无阻尼简谐运动，不存在摩擦力或其他非保守力做功，因此总机械能始终守恒。

能量在动能（与振动质量的运动相关）和势能（弹簧振子系统为弹性势能，单摆为重力势能）之间持续转化，势能与偏离平衡位置的位移相关。

**简谐运动中的能量分布** — 对于任何无阻尼简谐运动系统，总机械能恒定：在最大位移处（振幅$A$，速度为0）所有能量都是势能，在平衡位置处（位移为0，速率最大）所有能量都是动能。

*例:* 弹簧振子系统在$x = \pm A$处全部为弹性势能，在$x = 0$处全部为动能。

## 简谐运动计算中的能量守恒

所有无阻尼简谐运动的核心关系是：

$$E_{total} = KE + PE = \text{constant}$$

我们在最大位移处计算总能量，此处$KE = 0$，因此$E_{total} = PE_{max}$。对于水平弹簧振子系统，弹性势能为$PE_s = \frac{1}{2}kx^2$，因此在$x = A$处：

$$E_{total} = \frac{1}{2}kA^2$$

对于任意位移$x$，完整的能量平衡式为：

$$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$$

消去$\frac{1}{2}$因子，整理后可得到任意$x$处的速率$v$：

$$v = \sqrt{\frac{k}{m}(A^2 - x^2)}$$

对于小振幅单摆，我们将平衡位置（最低点）的$PE$设为0。遵循相同的能量守恒逻辑，最大偏角$\theta_{max}$处的总能量为$E_{total} = mgL(1-\cos\theta_{max})$。

**例题:** 一个质量为0.2 kg的物体连接在劲度系数$k = 10$ N/m的弹簧上，在无摩擦的水平表面做振幅$A = 0.3$ m的简谐运动。当物体距离平衡位置的位移为$x = 0.2$ m时，它的速率是多少？

1. 从能量守恒出发：振幅处的总能量等于位移$x$处动能与势能之和：

   $$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$$
2. 消去所有项中共同的因子$\frac{1}{2}$以简化计算：

   $$kA^2 = mv^2 + kx^2$$
3. 整理方程，分离出$v^2$：

   $$v^2 = \frac{k(A^2 - x^2)}{m}$$
4. 代入已知数值：

   $$v^2 = \frac{10\left[(0.3)^2 - (0.2)^2\right]}{0.2} = \frac{10(0.05)}{0.2} = 2.5 \implies v = \sqrt{2.5} \approx 1.6 \text{ m/s}$$

> **考试提示:** 求解简谐运动能量问题时，始终将平衡位置的势能设为0，这样可以简化计算，避免额外偏移项导致的符号错误。

## 简谐运动的能量图像

AP物理1经常考查简谐运动能量图像的解读。对于弹簧振子系统，$PE(x) = \frac{1}{2}kx^2$，$KE(x) = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$。两者都是位置的二次函数，因此它们的能量-位置图像是抛物线，不是三角函数曲线。

势能$PE(x)$是开口向上的抛物线，在$x=0$（平衡位置）处取得最小值$PE = 0$，在$x = \pm A$处取得最大值。动能$KE(x)$是开口向下的抛物线，在$x=0$处取得最大值，在$x = \pm A$处$KE=0$。无阻尼运动的总能量恒定，因此总能量图像是一条水平直线。

**例题:** 对于在$x=-A$和$x=+A$之间振动的无阻尼水平弹簧振子系统，求$KE(x)$和$PE(x)$曲线交点的位移$x$。

1. 在交点处，动能等于势能：$KE = PE
2. 代入能量表达式：

   $$\frac{1}{2}k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}kx^2$$
3. 消去两边的公共项（$\frac{1}{2}$和$k$）：

   $$A^2 - x^2 = x^2$$
4. 整理方程求解$x$：

   $$A^2 = 2x^2 \implies x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.71A$$

两条曲线有两个交点，分别位于平衡位置两侧，距离平衡位置约为振幅的71%。

> **考试提示:** 不要混淆图像形状：能量对位置的图像中，动能和势能都是抛物线；能量对时间的图像中，它们是正弦/余弦的平方曲线，每个完整周期振荡两次。

## 简谐运动能量的参数相关性

AP考试的常见问题是：改变系统参数（振幅、质量、劲度系数、摆长）会如何改变总能量或最大速率。

对于弹簧振子系统，总能量$E_{total} = \frac{1}{2}kA^2$，因此$E_{total}$仅取决于$k$和$A$，与质量$m$无关。振幅固定时改变质量不会改变总能量，但会改变最大速率：因为$E_{total} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$，可得$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$，因此即使总能量恒定，增大质量也会减小$v_{max}$。

对于小振幅单摆，总能量$E_{total} = mgL(1-\cos\theta_{max})$，因此增大质量、振幅角或摆长都会增加总能量。AP物理1仅考查轻阻尼简谐运动，在这种情况下摩擦力做非保守功，因此总能量和振幅会随时间减小。

**例题:** 一个水平弹簧振子系统的振幅为$A$。学生将原来0.5 kg的物体换为2.0 kg的物体，并将弹簧拉伸到相同的振幅$A$。与原系统相比，物体的最大速率变化了多少倍？

1. 系统的总能量不变，因为$E_{total} = \frac{1}{2}kA^2$，且$k$和$A$都保持不变：$E_{new} = E_{old}$
2. 最大速率出现在平衡位置，此处所有能量都是动能：

   $$E = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \implies v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$$
3. 计算新最大速率与原最大速率的比值：

   $$\frac{v_{new}}{v_{old}} = \sqrt{\frac{2E/m_{new}}{2E/m_{old}}} = \sqrt{\frac{m_{old}}{m_{new}}} = \sqrt{\frac{0.5}{2.0}} = \frac{1}{2}$$

最大速率变为原来的$\frac{1}{2}$，即减小为原来的二分之一。

**概念自测**

通过这道AP风格的选择题测试你对简谐运动能量关系的理解：

1. 一个单摆做小振幅简谐运动，摆动范围为$\theta = -\theta_{max}$到$\theta = +\theta_{max}$。我们将平衡位置（$\theta = 0$）的重力势能设为零。以下哪一项正确描述了小振幅情况下单摆动能关于$\theta$的函数关系？

   - 动能与$\theta^2$成正比，在$\theta = \pm\theta_{max}$处动能最大
   - 动能与$(\theta_{max}^2 - \theta^2)$成正比，在$\theta = 0$处动能最大
   - 动能与$(\theta_{max} - \theta)$成正比，在$\theta = 0$处动能最大
   - 动能与$\cos\theta$成正比，在$\theta = \pm\theta_{max}$处动能最大

   *答案:* 动能与$(\theta_{max}^2 - \theta^2)$成正比，在$\theta = 0$处动能最大

   *解析:* 对于小角度，$1-\cos\theta \approx \frac{\theta^2}{2}$，因此$PE \approx \frac{mgL}{2}\theta^2$，可得$KE = E_{total} - PE = \frac{mgL}{2}(\theta_{max}^2 - \theta^2)$，在$\theta=0$时动能最大。

> **考试提示:** 回答参数变化问题时，一定要区分总能量和最大速率：振幅固定的弹簧振子简谐运动中，总能量与质量无关，但最大速率与质量有关。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为振幅固定时，增大弹簧振子的质量会增加振动总能量。
  - 原因: 学生将总能量与周期混淆：周期随质量增大而增大，因此他们错误地认为能量也会增大。
  - 正确做法: 记住$E_{total} = \frac{1}{2}kA^2$，总能量仅取决于$k$和$A$，因此在$A$和$k$固定时，能量不随质量改变。
- **错误做法:** 认为负位移$x$对应的势能为负。
  - 原因: 学生忘记势能与位移的平方成正比，因此大小相等的正负位移对应的势能相同。
  - 正确做法: 计算简谐运动势能时，位移总是取平方，因此任何$x$对应的势能都非负。
- **错误做法:** 将能量对位置的图像画成正弦/余弦曲线。
  - 原因: 学生记得位置和速度是时间的三角函数，因此错误地认为能量关于位置也是三角函数。
  - 正确做法: 能量对位置的图像中，势能和动能是抛物线；能量对时间的图像中，它们是正弦/余弦的平方曲线，每个周期振荡两次。
- **错误做法:** 为竖直弹簧振子系统额外添加重力势能项，导致总能量计算错误。
  - 原因: 学生认为重力会改变能量方程，但忘记平衡位置的偏移已经吸收了重力项。
  - 正确做法: 对于竖直弹簧振子简谐运动，只要从新的平衡位置开始测量$x$，能量方程就和水平弹簧振子完全相同。
- **错误做法:** 记住了$v_{max} = A\omega$，在系统发生变化（如碰撞改变质量）后仍错误使用该公式。
  - 原因: 学生依赖记忆的公式而非从能量推导，导致振幅计算错误。
  - 正确做法: 系统发生变化时，始终从守恒定律重新推导总能量和$v_{max}$，不要依赖预先推导得到的关系。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 无阻尼简谐运动的能量守恒 | $E_{total} = KE + PE = \text{constant}$ | 仅适用于无外力非保守力做功的情况 |
| 弹簧振子简谐运动总能量 | $E_{total} = \frac{1}{2}kA^2$ | x从平衡位置开始测量；振幅A固定时，质量不影响总能量$E_{total}$ |
| 任意位移的能量平衡 | $\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$ | 消去$\frac{1}{2}$简化，求解任意x处的v |
| 弹簧振子简谐运动最大速率 | $v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$ | 出现在x=0（平衡位置），由能量守恒推导得到 |
| 小角度单摆总能量 | $E_{total} = mgL(1-\cos\theta_{max})$ | 平衡位置势能PE=0；最大偏角处所有能量都是势能 |
| 单摆简谐运动最大速率 | $v_{max} = \sqrt{2gL(1-\cos\theta_{max})}$ | 质量被消去，因此最大速率与质量无关 |
| 弹簧振子势能对位置 | $PE(x) = \frac{1}{2}kx^2$ | 开口向上抛物线，最大值在$x=\pm A$ |
| 弹簧振子动能对位置 | $KE(x) = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$ | 开口向下抛物线，最大值在x=0 |
| 总能量对位置 | $E_{total}(x) = \frac{1}{2}kA^2$ | 水平直线，对所有x都是恒定值 |

## 下一步

本主题将之前的功和能单元与简谐运动单元连接起来，为第7单元所有剩余内容奠定了关键基础。掌握简谐运动中的能量后，你接下来将学习机械波的性质，包括行波的能量传输，这直接依赖于你在这里学到的相同能量守恒原理。如果不掌握简谐运动的能量分析，你会很难解决涉及波强度和波能量传输的问题，也无法理解振动能量和波动行为之间的关键联系。本主题还巩固了AP物理1所有单元（从转动动力学到直流电路）都考查的能量守恒技能。

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