AP 物理 1 力矩

AP 物理 1· AP Physics 1 CED — Rotational Motion· 14 分钟阅读

1. 什么是力矩？★☆☆☆☆⏱ 2 min

力矩是平动中力的转动等效量：力产生平动加速度，而力矩使刚体绕固定转轴产生角加速度。它是第6单元转动的核心概念，占AP物理1考试总分的14-18%，会同时出现在选择题和自由问答题中。

和力不同，力矩不仅取决于作用力的大小，还取决于力相对于转轴的作用位置以及力的方向。远离转轴施加的小力，可以和靠近转轴施加的大力产生相同的力矩，这就是杠杆和扳手的核心原理。力矩用希腊字母 $τ$ (tau)表示，有时也被称为力的力矩。

2. 计算力矩：大小和符号★★☆☆☆⏱ 4 min

AP物理1考试中你会用到两种等效的力矩计算公式，标准定义式为：

\tau = r F \sin\theta

其中 $r$ 是转轴到力作用点的直线距离， $F$ 是作用力的大小， $θ$ 是位置矢量 $r$ （从转轴指向力作用点）和力矢量 $F$ 之间的夹角。

使用力臂（力矩臂）概念的等效形式为：

\tau = F d_\perp

其中 $d_{⊥} = r sin θ$ 是转轴到力作用线的垂直距离。这种形式在考试中通常更便于直观解题。

对于定轴转动，AP物理1的标准符号约定为：逆时针（CCW）转动由正力矩产生，顺时针（CW）转动由负力矩产生。如果力的作用线直接穿过转轴，那么 $d_{⊥} = 0$ ，因此无论力的大小是多少，力矩都为零。

📐 例题

一根长3.0 m的均匀杆左端铰接在转轴上。在右端施加一个10 N的力，力的方向与杆成30°角向上，指向左上方。求该力对转轴产生的力矩的大小和符号。

1
识别已知量：
2
$r = 3.0 \, \text{m}, F = 10 \, \text{N}, \theta = 30^\circ$
3
确认转动方向：该力在右端向左上方拉，使杆绕转轴产生逆时针转动，因此根据约定力矩为正。
4
代入力矩公式：
5
$\tau = r F \sin\theta = (3.0 \, \text{m})(10 \, \text{N})(\sin 30^\circ)$
6
计算，已知 $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ ：
7
$\tau = +15 \, \text{N·m}$

Exam tip:

如果你不确定 $θ$ 应该用哪个角，一定要画出力的完整作用线，然后测量转轴到这条线的垂直距离——力臂法在AP考试中永远不会出错。

3. 物体重力产生的力矩★★☆☆☆⏱ 4 min

任意刚体的重量均匀分布在其质量上，但重力对任意转轴的总力矩，等于物体全部重力作用在质心上产生的力矩。这大大简化了解题过程：你只需要找到质心，将重力视为作用在那里的单个点力即可。

对于均匀刚体（密度恒定），质心始终在物体的几何中心。例如，总长度为 $L$ 的均匀梁，其质心在距离任意端点 $L /2$ 处。重力力矩的计算方法和其他力矩相同：

\tau_g = r_{CM} mg \sin\theta

其中 $r_{C M}$ 是转轴到质心的距离， $m$ 是物体的总质量， $g = 9.8 m/s^{2}$ 。

📐 例题

一根长4.0 m的均匀梁质量为12 kg，转轴位于梁左端右侧1.0 m处，梁保持水平。求梁自身重力对转轴产生的力矩。为简化计算取 $g = 10 m/s^{2}$ 。

1
找到均匀梁的质心：质心位于左端右侧2.0 m处，因此 $r_{C M} = 2.0 m - 1.0 m = 1.0 m$ ，在转轴右侧。
2
计算总重力：
3
$F_g = mg = (12 \, \text{kg})(10 \, \text{m/s}^2) = 120 \, \text{N}$
4
梁处于水平，因此 $r_{C M}$ （从转轴向右水平指向质心）和重力（竖直向下）之间的夹角为90°，所以 $sin 9 0^{\circ} = 1$ 。重力向下拉转轴右侧，产生顺时针转动，因此力矩为负。
5
计算最终力矩：
6
$\tau_g = - (1.0 \, \text{m})(120 \, \text{N})(1) = -120 \, \text{N·m}$

Exam tip:

除非转轴恰好位于质心，否则永远不要忘记物体自身重力会产生力矩。这是AP物理1力矩平衡问题中最常被遗漏的项。

4. 转动平衡★★★☆☆⏱ 5 min

牛顿第一定律推广到转动中指出：如果刚体绕转轴的合外力矩为零，那么刚体的角加速度为零。这个条件称为转动平衡。如果物体同时也处于平动平衡（物体所受合外力为零），那么整个系统处于静平衡，即物体完全静止——这是AP考试中最常考察的力矩问题类型。

\sum \tau = 0

也可以写成 $\sum τ_{C C W} = \sum τ_{C W}$ ，即总正逆时针力矩等于总负顺时针力矩。静平衡问题的一个关键解题技巧：对于静平衡系统，任意点绕转轴的合外力矩都是零，因此你可以选择任意点作为计算合外力矩的转轴。将转轴选在未知力的作用位置，可以将该力从力矩方程中消去，让你不用先列力平衡方程就能求解其他未知量。

📐 例题

一个均匀长5.0 m的跷跷板总质量为20 kg，转轴在其中心位置。一个40 kg的孩子坐在转轴左侧2.0 m处，那么一个30 kg的孩子需要坐在转轴右侧多远处才能让跷跷板平衡？使用 $g = 10 m/s^{2}$ 。

1
跷跷板是均匀的，因此其质心在转轴处，说明跷跷板自身重力的力矩为零（ $r = 0$ ），因此我们可以完全忽略它。
2
我们选择转轴在跷跷板中心，因此转轴支持力的力矩也为零。符号约定：左侧孩子（重力向下拉转轴左侧）产生的力矩是逆时针（正），右侧孩子产生的力矩是顺时针（负）。
3
写出转动平衡条件：
4
$\sum \tau = \tau_1 + \tau_2 = 0 \rightarrow r_1 m_1 g - r_2 m_2 g = 0$
5
The $g$ term cancels out, leaving $r_{1} m_{1} = r_{2} m_{2}$ .
6
Solve for $r_{2}$ :
7
$r_2 = \frac{r_1 m_1}{m_2} = \frac{(2.0 \, \text{m})(40 \, \text{kg})}{30 \, \text{kg}} \approx 2.7 \, \text{m}$

Exam tip:

永远将转轴选在未知力的作用位置，将这个变量从力矩方程中消去。这能在自由问答题中节省时间，减少代数错误。

5. 更多AP风格例题★★★☆☆⏱ 5 min

📐 例题

一根均匀长2 m、质量10 kg的梯子靠在光滑墙面上，梯子底端距离墙1 m，转轴在底端。求梯子自身重力对底端转轴产生的力矩大小？使用 $g = 10 m/s^{2}$ 。

Options: A) $0 N \cdotp m$ , B) $25 N \cdotp m$ , C) $50 N \cdotp m$ , D) $100 N \cdotp m$

1
均匀梯子的质心在中点，距离底端转轴沿梯子方向1.0 m。梯子底端距离墙1.0 m，构成一个水平直角边1 m、斜边2 m的直角三角形，因此从中点到底端的水平距离是0.5 m。
2
由于重力竖直向下，重力的垂直力臂正好就是这个水平距离。计算重力：
3
$mg = (10 \, \text{kg})(10 \, \text{m/s}^2) = 100 \, \text{N}$
4
计算力矩大小：
5
$\tau = F d_\perp = (100 \, \text{N})(0.5 \, \text{m}) = 50 \, \text{N·m}$
6
The correct answer is C.

📐 例题

一座均匀长6.0 m的吊桥质量为500 kg，被保持在水平静止状态，吊桥远端连接一根缆绳，缆绳另一端连接在城堡墙上、吊桥转轴正上方6.0 m处。转轴位于吊桥连接城堡墙的一端。

(a) Label all forces acting on the bridge, identifying the point each force acts on. (b) Write the equation for net torque around the pivot of the bridge, and solve for the tension in the cable. Use $g = 10 m/s^{2}$ . (c) Explain why choosing the pivot at the bridge's center of mass would allow you to solve for the horizontal component of the force from the pivot on the bridge, without using force balance.

1
(a) 作用力分别为：1) 吊桥的重力 $m g$ ，竖直向下作用在吊桥中心（距离转轴3.0 m处）。2) 张力 $T$ ，沿缆绳方向从吊桥远端作用到墙上连接点。3) 转轴作用力 $F_{p}$ ，作用在转轴（距离转轴0 m处），同时具有水平和竖直分量。
2
(b) The bridge is 6.0 m long and horizontal, so the cable forms a 45-45-90 right triangle, meaning the angle between the bridge and the cable is 45°. For equilibrium, net torque is zero:
3
$\sum \tau = T(6.0 \, \text{m})\sin 45^\circ - mg(3.0 \, \text{m})\sin 90^\circ = 0$
4
Substitute values and solve:
5
$T * 6 * (\sqrt{2}/2) = 500 * 10 * 3 \rightarrow 3\sqrt{2} T = 15000 \rightarrow T = \frac{5000}{\sqrt{2}} \approx 3500 \, \text{N}$
6
(c) If the pivot is chosen at the center of mass, torque from the bridge's weight is zero (it acts at the new pivot). Only tension and the pivot force produce non-zero torque around the new pivot. The torque from tension is known, so the torque from the horizontal component of the pivot force must balance it, allowing us to solve directly for the horizontal component without force balance.

📐 例题

A mechanic uses a 0.5 m long wrench to loosen a stuck bolt. The mechanic can apply a maximum force of 400 N with their hand. To loosen the bolt, a total torque of 160 N·m is required. What is the minimum angle between the wrench handle and the direction the mechanic is pulling that will allow the mechanic to loosen the bolt?

1
Use the standard torque formula:
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$\tau = r F \sin\theta$
3
Rearrange to solve for $sin θ$ :
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$\sin\theta = \frac{\tau}{rF} = \frac{160 \, \text{N·m}}{(0.5 \, \text{m})(400 \, \text{N})} = 0.8$
5
Take the inverse sine to find the angle:
6
$\theta = \arcsin(0.8) \approx 53^\circ$
7
The mechanic must pull at an angle of at least 53° between the wrench handle and the direction of pull to produce enough torque to loosen the bolt.

6. 常见陷阱

错误做法:

当给定角度是力和杆之间的夹角时，使用 $cos θ$ 而不是 $sin θ$ 代入力矩公式

原因:

学生靠背背诵混了三角项，没有核对公式定义

正确做法:

Always draw the line of action of the force, then calculate the perpendicular lever arm $d_{⊥}$ directly to confirm your trigonometry

错误做法:

当转轴不在质心时，忘记包含物体自身重力的力矩

原因:

Students focus on external applied forces and ignore the weight of the object itself

正确做法:

After listing all external torques, always add a line for torque from the object's weight acting at its center of mass before writing the net torque equation

错误做法:

Switching sign conventions mid-problem, calling some clockwise torques positive and others negative based on which side of the pivot they sit

原因:

Students do not set the convention at the start of the problem

正确做法:

Explicitly set "counterclockwise = positive, clockwise = negative" at the top of your work for every torque problem, and check every torque against this rule

错误做法:

Using the total length of the object for $r$ , instead of the distance from the pivot to the force application point

原因:

Students default to the only distance given in the problem, which is often the total object length

正确做法:

Always label $r$ on your diagram for every force, measuring directly from the pivot to the point the force is applied

错误做法:

Including torque from the pivot's normal force in the equation when the pivot is chosen at that point

原因:

Students forget that torque depends on distance from the pivot

正确做法:

Any force acting at your chosen pivot has $r = 0$ , so its torque is zero and can be omitted from the calculation

7. 速查表

类别	公式	注释
一般力矩	$τ = r F sin θ$	$r$ = 转轴到力作用点的距离， $θ$ = 角度 between $r$ and $F$
力矩（力臂形式）	$τ = F d_{⊥}$	$d_{⊥} = r sin θ$ = perpendicular distance from pivot to force line of action
重力力矩	$τ_{g} = r_{C M} m g sin θ$	Total weight acts at the object's center of mass
转动平衡	$\sum τ = 0$	Applies to any rigid body with zero angular acceleration
标准AP符号约定	逆时针 = +, 顺时针 = -	Be consistent in every problem; reverse is acceptable if you stay consistent
静平衡	$\sum τ = 0$ , $\sum F_{x} = 0$ , $\sum F_{y} = 0$	All three conditions hold for non-moving rigid bodies
转轴处力矩	$τ = 0$	Any force acting through your chosen pivot has zero torque

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
铰接均匀梁的力矩问题
2022 · FRQ
静平衡力矩问题

下一步

力矩是整个转动领域的基础概念，因此掌握它是学习第6单元所有后续主题的前提。接下来，你将用力矩推导和应用转动版牛顿第二定律，它将合外力矩和角加速度、转动惯量联系起来。如果没有扎实掌握正确计算合外力矩的方法，你将无法解决涉及转动滑轮、滚动轮子或转动系统的多概念问题。力矩也和角动量相关，合外力矩等于角动量的变化率，就像合外力等于线动量的变化率一样。在AP考试中，力矩几乎总是和这些概念结合出现在多分值自由问答题中。