# 转动动能

> AP 物理 1 · AP 物理 1 2024-2026 课程大纲
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-rotational-kinetic-energy/

本模块涵盖转动动能的定义、从质点运动出发的推导、滚动物体的总动能计算，以及AP物理1考试相关的能量守恒应用。

**先修:** [平动动能与功能定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-work-energy-power/); [转动惯量与角速度基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-moment-of-inertia/)

## 学习目标

- 区分刚体的平动动能和转动动能
- 从质点动能原理推导转动动能公式
- 计算做无滑滚动的物体的总动能
- 将机械能守恒定律应用于同时包含平动和转动的系统

## 转动动能的定义与推导

任何刚体都可以建模为大量质点的集合，当刚体转动时，每个质点都以不同的切向速度运动。转动刚体的总动能是所有这些质点各自平动动能的总和。

**推导:** 推导转动动能公式

*起点:* 刚体内所有质点的动能之和

1. 对于转轴距离为$r_i$的质点$m_i$，其切向速度满足$v_i = r_i \omega$
2. $$K_{total} = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \sum \frac{1}{2} m_i (r_i \omega)^2$$
3. 将所有刚体质点共有的常量$\frac{1}{2}\omega^2$提出来
4. $$K_{total} = \frac{1}{2} \omega^2 \sum m_i r_i^2$$
5. 求和项$\sum m_i r_i^2$就是转动惯量$I$的定义

*结论:* 转动动能的表达式为$K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$

**转动动能** — 刚体绕固定轴或质心转动所储存的动能

*记法:* $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$

*例:* 一个$I = 2 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$的实心圆盘以3 rad/s的角速度转动时，其转动动能为$K_r = 9 \text{ J}$

**例题:** 计算一根长2 m、质量0.5 kg的细杆绕其中心以4 rad/s转动时的转动动能。细杆绕中心的转动惯量为$I = \frac{1}{12}ML^2$。

1. 首先计算细杆的转动惯量
2. $$I = \frac{1}{12} \times 0.5 \text{ kg} \times (2 \text{ m})^2 = \frac{1}{12} \times 0.5 \times 4 = 0.167 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$$
3. 将转动惯量和角速度代入转动动能公式
4. $$K_r = \frac{1}{2} \times 0.167 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \times (4 \text{ rad/s})^2 = 0.5 \times 0.167 \times 16 = 1.33 \text{ J}$$

## 滚动运动的总动能

对于在表面上滚动的物体，其运动是质心平动与绕质心转动的组合。总动能是这两个独立分量的和。

$$K_{total} = K_{translational} + K_{rotational} = \frac{1}{2} M v_{cm}^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2$$

> **info**
>
> 对于无滑滚动，无滑条件$v_{cm} = R \omega$（其中R为物体半径）可以让你将总动能完全用$v_{cm}$或者完全用$\omega$表示，从而简化计算。

**例题:** 一个质量3 kg、半径0.2 m的实心球体以2 m/s的质心速度做无滑滚动，计算其总动能。球体的转动惯量为$I_{sphere} = \frac{2}{5}MR^2$。

1. 首先利用无滑条件求出角速度
2. $$\omega = \frac{v_{cm}}{R} = \frac{2 \text{ m/s}}{0.2 \text{ m}} = 10 \text{ rad/s}$$
3. 计算平动动能
4. $$K_t = \frac{1}{2} M v_{cm}^2 = 0.5 \times 3 \text{ kg} \times (2 \text{ m/s})^2 = 6 \text{ J}$$
5. 计算转动惯量和转动动能
6. $$I = \frac{2}{5} \times 3 \text{ kg} \times (0.2 \text{ m})^2 = 0.048 \text{ kg} \cdot \text{m}^2, \quad K_r = 0.5 \times 0.048 \times 10^2 = 2.4 \text{ J}$$
7. 将两个分量相加得到总动能
8. $$K_{total} = 6 \text{ J} + 2.4 \text{ J} = 8.4 \text{ J}$$

## 转动系统的能量守恒

机械能守恒定律对转动系统的适用方式和平动系统完全一致，只要你在总能量求和中加入转动动能项即可。无滑滚动中的静摩擦力做功为零，因此它不会从系统中消耗机械能。

**考试命令词**

AP物理1考试的转动能量问题会使用特定的指令术语：

- **Calculate** — 你必须完整写出将数值代入转动动能公式的过程，不能只给出最终结果

- **Derive** — 你必须从能量守恒的陈述出发推导，不能直接使用记忆的末速度捷径公式

- **Explain** — 你必须明确引用转动惯量的差异，来解释不同形状物体的末速度不同的原因

**例题:** 一个质量为M、半径为R的实心圆柱体从静止开始沿高3 m的斜面做无滑滚动，利用能量守恒求它到达斜面底部时的速度。圆柱体的转动惯量为$I_{cylinder} = \frac{1}{2}MR^2$。

1. 写出初始和末态的总机械能，初始动能为零
2. $$E_{initial} = U_g = Mgh, \quad E_{final} = K_t + K_r = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$
3. 代入$I = \frac{1}{2}MR^2$和无滑条件$\omega = v/R$
4. $$E_{final} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}MR^2) \times (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2 = \frac{3}{4}Mv^2$$
5. 令初始能量和末态能量相等，将M从等式两边消去
6. $$Mgh = \frac{3}{4}Mv^2 \implies v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$$
7. 代入g = 9.8 m/s²和h = 3 m
8. $$v = \sqrt{\frac{4 \times 9.8 \times 3}{3}} = \sqrt{39.2} \approx 6.26 \text{ m/s}$$

**概念自测**

测试你对能量守恒规则的理解：

1. 以下哪个物体以相同的质心速度做无滑滚动时总动能最大？

   - 质量为M的实心球体
   - 质量为M的空心球体
   - 质量为M的实心圆柱体
   - 所有物体总动能相等

   *解析:* 空心球体的转动惯量最大，因此在相同速度下它以转动动能形式储存的能量更多。

## 常见错误

- **错误做法:** 仅使用$K = \frac{1}{2}mv^2$计算滚动刚体的总动能
  - 原因: 这忽略了物体绕质心的转动运动，对于某些形状，转动动能可以占总动能的50%以上
  - 正确做法: 对于滚动物体，必须同时求和平动分量$\frac{1}{2}mv_{cm}^2$和转动分量$\frac{1}{2}I\omega^2$
- **错误做法:** 对存在滑动的物体使用$v_{cm} = R\omega$
  - 原因: 无滑条件仅在静摩擦力阻止接触点处物体与表面的相对运动时成立
  - 正确做法: 只有当题目明确说明是无滑滚动时，才可以使用$v_{cm} = R\omega$
- **错误做法:** 在转动动能公式中使用总质量m代替转动惯量I
  - 原因: 转动惯量取决于质量相对于转轴的分布，而不只是物体的总质量
  - 正确做法: 使用对应物体形状和给定转轴的标准转动惯量公式
- **错误做法:** 在无滑滚动的能量计算中计入静摩擦力做的功
  - 原因: 滚动物体与表面的瞬时接触点位移为零，因此静摩擦力做的净功为零
  - 正确做法: 如果没有其他非保守力做功，将无滑滚动系统视为保守系统
- **错误做法:** 当题目为简化计算明确指定g = 10 m/s²时，仍使用g = 9.8 m/s²
  - 原因: AP物理1题目经常使用g = 10来降低计算量，使用错误数值会导致失分
  - 正确做法: 始终使用题目提示中明确给出的重力加速度数值

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 适用条件 |
| --- | --- | --- |
| 平动动能 | $K_t = \frac{1}{2} M v_{cm}^2$ | 任意刚体的质心运动 |
| 转动动能 | $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ | 绕固定轴或质心的转动 |
| 滚动总动能 | $K_{total} = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ | 平动与转动的复合运动 |
| 无滑关系 | $v_{cm} = R \omega$ | 无滑滚动，R为物体半径 |
| 重力势能 | $U_g = mgh$ | 均匀重力场，h为质心高度 |

## 下一步

掌握转动动能是攻克AP物理1全部转动运动考题的关键，从选择题的陷阱题到结合能量、受力和力矩的多步FRQ大题都离不开它。该概念也是理解角动量守恒的基础，而角动量守恒是AP物理1考试中权重最高的考点之一。完成本模块后，你将能够解决结合直线和转动运动的复杂问题，无需使用繁琐的转动运动学方程，在考试中节省宝贵时间。请将这些规则应用于斜面问题、带悬挂重物的滑轮系统以及转动碰撞场景，巩固你的掌握程度。

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