# 转动惯量与转动牛顿第二定律

> AP 物理 1 · AP 物理 1 CED 第6单元：转动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-rotational-inertia-and-rotational-newton/

这是AP物理1的核心考点，内容包括转动惯量的定义、计算、平行轴定理，以及定轴转动的转动牛顿第二定律，占考试总分的12-18%。

**先修:** 线运动牛顿第二定律与合外力分析; 绕固定转轴的力矩计算; 转动运动学

## 学习目标

- 将转动惯量定义为质量的转动类比量
- 计算离散系统和常见连续刚体的转动惯量
- 应用平行轴定理求偏移轴的转动惯量
- 运用转动牛顿第二定律解决定轴转动动力学问题
- 分析有质量滑轮-物块这类连接系统

## 转动惯量的核心定义

转动惯量（也称为惯性矩，符号$I$）是线运动中质量的转动对应量。它定量描述刚体绕给定转轴抵抗角加速度的能力，就像惯性质量描述对线加速度的抵抗能力一样。与质量不同，转动惯量不是物体的固有属性——它同时取决于物体的质量分布和转轴的位置，这是AP物理1考试中所有转动力学问题的基础。

**转动惯量** — 衡量刚体绕固定转轴抵抗角加速度的物理量。

*记法:* $I$

## 转动惯量的计算

对于绕定轴转动的任意质点系，转动惯量从基本原理定义为每个质点质量乘以其到转轴垂直距离平方的和：

$$I = \sum m_i r_i^2$$

对于连续刚体（如实心圆盘或细杆），这个求和会变成积分，但AP物理1只要求你记住均匀对称物体绕质心轴转动惯量的常见结果：细圆环（$MR^2$）、实心圆盘（$\frac{1}{2}MR^2$）、实心球（$\frac{2}{5}MR^2$）、绕中心转动的细杆（$\frac{1}{12}ML^2$）。

一个核心结论：转动惯量与到转轴距离的平方成正比，因此离转轴越远的质量，对抵抗角加速度的贡献远大于离转轴近的质量。

**例题:** 三个质量均为0.5 kg的质点固定在一根无质量刚性杆上：一个在$x = -2$ m处，一个在$x = 0$ m处，一个在$x = 3$ m处。系统绕$x = 0$处转轴的转动惯量是多少？

1. 确定每个质点的质量及其到转轴的垂直距离

   $$m_1 = 0.5 \text{ kg}, r_1 = 2 \text{ m}; m_2 = 0.5 \text{ kg}, r_2 = 0 \text{ m}; m_3 = 0.5 \text{ kg}, r_3 = 3 \text{ m}$$
2. 代入离散系统转动惯量公式

   $$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2$$
3. 计算最终结果

   $$I = (0.5)(2^2) + (0.5)(0^2) + (0.5)(3^2) = 2 + 0 + 4.5 = 6.5 \text{ kg·m}^2$$
4. 确认单位正确：转动惯量的单位始终是质量×长度平方。

> **考试提示:** AP物理1绝不会要求你通过积分求陌生连续物体的转动惯量。如果题目需要非标准形状的转动惯量，题干一定会直接给出。

## 平行轴定理

如果你已知物体绕质心轴的转动惯量，就可以用平行轴定理轻松计算任意平行轴的转动惯量，不需要从头重新计算：

$$I = I_{cm} + Md^2$$

其中$I_{cm}$是绕质心轴的转动惯量，$M$是物体总质量，$d$是两根平行轴之间的垂直距离。这个定理在AP题目中特别有用，比如求杆端点或圆盘边缘转轴的转动惯量这类问题。

**例题:** 一个均匀实心圆盘质量为4 kg，半径0.5 m。求绕圆盘边缘与中心轴平行的切线轴的转动惯量是多少？

1. 回忆实心圆盘绕质心轴的转动惯量

   $$I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$$
2. 两轴之间的垂直距离等于圆盘半径

   $$d = R = 0.5 \text{ m}$$
3. 应用平行轴定理

   $$I = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$$
4. 代入数值得到最终结果

   $$I = \frac{3}{2}(4)(0.5)^2 = 1.5 \text{ kg·m}^2$$

> **考试提示:** 你不能用平行轴定理在两个非质心轴之间转换，毫无例外，必须始终从质心轴转动惯量推导目标轴的转动惯量。

## 转动牛顿第二定律

转动牛顿第二定律是线运动牛顿第二定律（$F_{net} = ma$）在定轴转动中的直接对应。它指出：绕定轴的合外力矩等于该轴对应的转动惯量与产生的角加速度的乘积：

$$\tau_{net} = I \alpha$$

这是所有转动力学问题的核心控制方程。对于连接系统（如挂在有质量滑轮上的物块），你可以对平动物体应用线运动牛顿第二定律，对转动物体应用转动牛顿第二定律，通过无滑动关系$a = R\alpha$联系线加速度和角加速度。

**例题:** 一个质量为2 kg的物块挂在无质量绳上，绳子缠绕在质量1 kg、半径0.1 m的实心圆盘滑轮上。滑轮绕通过中心的固定无摩擦转轴转动。系统从静止释放后，滑轮的角加速度是多少？

1. 绘制受力图：物块受向下的重力$mg$和向上的拉力$T$；对于滑轮，只有拉力产生非零力矩（重力和转轴作用力都作用在中心，因此力矩为零）。
2. 对物块应用线运动牛顿第二定律（向下为正方向）

   $$mg - T = ma$$
3. 对滑轮应用转动牛顿第二定律

   $$\tau_{net} = TR = I\alpha, \quad I = \frac{1}{2}MR^2$$
4. 代入无滑动关系得到的$\alpha = a/R$并化简

   $$TR = \frac{1}{2}MR^2 \left(\frac{a}{R}\right) = \frac{1}{2}MRa \implies T = \frac{1}{2}Ma$$
5. 求解物块的线加速度

   $$mg - \frac{1}{2}Ma = ma \implies a = \frac{mg}{m + M/2} = 7.84 \text{ m/s}^2$$
6. 求解滑轮的角加速度

   $$\alpha = \frac{a}{R} = \frac{7.84}{0.1} = 78.4 \text{ rad/s}^2$$

**概念自测**

测试你对质量分布如何影响转动惯量的理解：

1. 两个均匀球体总质量和外半径都相同。A是质量均匀分布的实心球，B的大部分质量集中在外表面附近。哪个说法正确比较了两球绕质心轴的转动惯量？

   - $I_A > I_B$, 因为离转轴更近的质量会产生更大的转动惯量
   - $I_A = I_B$, 因为它们总质量和半径都相同
   - $I_B > I_A$, 因为离转轴更远的质量会产生更大的转动惯量
   - $I_B > I_A$, 因为相同质量和半径下，空心物体的转动惯量总是小于实心物体

   *答案:* $I_B > I_A$, 因为离转轴更远的质量会产生更大的转动惯量

   *解析:* 转动惯量与$r^2$成正比，因此更大半径处的质量越多，总转动惯量就越大，因此选项C是正确答案。

> **考试提示:** 合外力矩和转动惯量必须始终绕同一转轴计算。转轴不匹配是AP转动力学问题中最常见的错误之一。

## 常见错误

- **错误做法:** 对实心圆盘使用$I = MR^2$，或对细圆环使用$\frac{1}{2}MR^2$
  - 原因: 学生混淆常见转动惯量公式的系数，因为两者形式都是$MR^2$乘以系数
  - 正确做法: 记住每种常见形状的正确系数，开始解题时再次核对公式
- **错误做法:** 从非质心轴出发应用平行轴定理
  - 原因: 学生记错了定理要求起始轴必须通过质心
  - 正确做法: 计算新平行轴的转动惯量$I$时，始终从质心轴转动惯量出发
- **错误做法:** 当滑轮有质量时，假设拉力等于悬挂物块的重力
  - 原因: 学生把无质量滑轮的$T = mg$假设错误带到了有质量滑轮系统中
  - 正确做法: 始终对悬挂物块单独列牛顿第二定律方程求解拉力
- **错误做法:** 对离散系统写出$I = \sum m_i r_i$而非$I = \sum m_i r_i^2$
  - 原因: 学生混淆了质心位置公式和转动惯量公式
  - 正确做法: 列计算式时，始终明确写出$r_i$的指数2
- **错误做法:** 求解物块-滑轮系统加速度时，直接把转动惯量和质量相加
  - 原因: 学生用了错误的捷径，忘记转动惯量和质量单位不同，不能直接相加
  - 正确做法: 始终分别列出线运动和转动的方程，然后逐步消元求解

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 离散系统转动惯量 | $I = \sum m_i r_i^2$ | $r_i$ = 到转轴的垂直距离 |
| 细圆环（中心轴） | $I = MR^2$ | 所有质量都在距离转轴$R$处 |
| 实心圆盘（中心轴） | $I = \frac{1}{2}MR^2$ | 均匀质量分布 |
| 细杆（端点轴） | $I = \frac{1}{3}ML^2$ | 由平行轴定理推导得到 |
| 平行轴定理 | $I = I_{cm} + Md^2$ | 仅适用于从质心轴出发的平行轴 |
| 转动牛顿第二定律 | $\tau_{net} = I \alpha$ | $\tau_{net}$和$I$绕同一转轴 |
| 切向加速度/角加速度 | $a_t = R\alpha$ | 无滑动定轴转动 |

## 下一步

本专题是第6单元后续所有转动力学内容必不可少的基础。接下来你会将转动牛顿第二定律应用到无滑动滚动运动中，即物体在表面运动时同时结合转动和平动。如果不掌握转动惯量的计算和合外力矩与角加速度的关系，你就无法正确求解滚动运动问题，而这类问题经常出现在AP物理1的FRQ部分。本专题也是转动动能和角动量的基础，这两个核心概念占第6单元考试分值的很大比例。

- [角动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-angular-momentum/)
- [角动量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-conservation-of-angular-momentum/)
- [简谐运动与波概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u7-overview/)

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