滚动运动

AP 物理 1· 12 分钟阅读

1. 纯滚动条件★★☆☆☆⏱ 3 min

纯滚动描述理想运动状态：圆形物体在表面上运动时，接触点不会发生滑动。物体与地面接触的底部点相对于表面瞬时静止，因此接触点处不存在动摩擦力。

📘 定义

纯滚动条件

$v_{c m} = R ω$

无滑动运动中，质心平动速度等于物体半径与角速度的乘积。

🔬 推导

目标:

证明纯滚动速度关系

起点:

接触点相对于地面的总速度为零

1
接触点总速度 = 质心平动速度 + 接触点处的切向转动速度
2
相对运动为零的条件： $v_{c m} - R ω = 0$ （底部点的切向速度与平动运动方向相反）
3
整理后得到标准纯滚动关系 $v_{c m} = R ω$

结果:

该关系仅在接触面处无滑动时成立。

📐 例题

半径为0.2m的实心圆盘无滑动滚动，质心速度为3m/s，求其角速度。

1
从纯滚动条件出发： $v_{c m} = R ω$
2
整理求解角速度： $ω = \frac{v _{c m}}{R}$
3
$\omega = \frac{3 \text{ m/s}}{0.2 \text{ m}} = 15 \text{ rad/s}$

Exam tip:

AP考题几乎都会明确标注「无滑动滚动」，提示你可以使用 $v_{c m} = R ω$ 关系。

2. 滚动物体的总动能★★★☆☆⏱ 4 min

滚动物体拥有两种独立形式的动能：由整体质心运动产生的平动动能，以及绕自身质心旋转产生的转动动能。

K_{total} = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2

📐 例题

质量为2kg的实心球体（转动惯量 $I = \frac{2}{5} M R^{2}$ ）半径0.1m，以5m/s的速度无滑动滚动，求其总动能。

1
首先计算平动动能： $K_{t r an s} = \frac{1}{2} M v_{c m}^{2} = 0.5 * 2 * 5^{2} = 25$ J
2
利用纯滚动关系得到 $ω = 5/0.1 = 50$ rad/s，再计算转动动能： $K_{r o t} = 0.5 * (0.4 * 2 * 0. 1^{2}) * 5 0^{2} = 10$ J
3
将两个分量相加： $K_{t o t a l} = 25 + 10 = 35$ J

✓ 快速检测

确认你可以区分滚动物体的动能分量：

实心球体的总滚动动能中，转动动能占比为多少？
- 1/5
- 2/7
- 1/2
- 2/5
显示答案
2/7 —
比值 $I / (M R^{2}) = 2/5$ ，因此转动动能占总动能的2/7。

3. 沿斜面滚动★★★★☆⏱ 4 min

🚫 计算器禁用

沿斜面纯滚动时，由于接触点位移为零，静摩擦力不做净功，因此机械能完全守恒。斜面顶端的重力势能会全部转化为斜面底端的总动能。

🔬 推导

目标:

求高度为h的斜面底端滚动物体的末速度

起点:

顶端重力势能 = 底端总动能

1
$Mgh = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
2
代入 $ω = v_{c m} / R$ ，提取公因子 $\frac{1}{2} M v_{c m}^{2}$
3
$Mgh = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 \left(1 + \frac{I}{MR^2}\right)$

结果:

质量和半径会被约去，因此末速度 $v = \frac{2 g h}{1 + I / ( M R ^{2} )}$ 仅由物体的形状决定。

📐 例题

对比实心球体和空心圆环沿高度3m的斜面无滑动滚动的末速度。

1
对于实心球体： $I / (M R^{2}) = 2/5$ ，因此 $v_{s p h er e} = 2 * 9.8 * 3/ (1 + 0.4) \approx 6.48$ m/s
2
对于空心圆环： $I / (M R^{2}) = 1$ ，因此 $v_{h oo p} = 2 * 9.8 * 3/2 \approx 5.42$ m/s
3
实心球体先到达底端，因为它的能量中分配给转动动能的部分更少。

4. 静摩擦力与滑动★★★★☆⏱ 3 min

静摩擦力提供力矩，让滚动物体沿斜面加速时获得转动。如果可用的最大静摩擦力过小，物体就会发生滑动，纯滚动条件不再成立。

📘 定义

滑动运动

当静摩擦力提供的力矩不足以维持 $a_{c m} = R α$ 时发生，接触点相对于表面发生滑动。

📐 例题

计算实心球体沿30°斜面无滑动滚动所需的最小静摩擦系数。

1
应用牛顿第二定律平动形式： $M g sin θ - f_{s} = M a_{c m}$
2
应用牛顿第二定律转动形式： $f_{s} R = I α$ ，代入 $I = 2/5 M R^{2}$ 和 $a_{c m} = R α$
3
求解得到 $f_{s} = \frac{2}{7} M g sin θ$ ，令 $f_{s} \leq μ_{s} M g cos θ$ ，因此 $μ_{s} \geq \frac{2}{7} tan 3 0^{\circ} \approx 0.165$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算滚动物体总能量时忘记加入转动动能

原因:

学生错误地将滚动视为纯平动运动，导致高估末速度

正确做法:

对于无滑动滚动，务必将动能拆分为独立的平动和转动分量。

错误做法:

对滑动的物体应用 $v_{c m} = R ω$ 关系

原因:

该关系仅在接触点相对运动为零时成立

正确做法:

仅当题目明确说明无滑动滚动时，才可以使用 $v_{c m} = R ω$ 。

错误做法:

在纯滚动过程中计入非零的静摩擦力做功项

原因:

静摩擦力作用点的瞬时位移为零，因此不做净功

正确做法:

直接应用机械能守恒，静摩擦力不需要额外的做功项。

错误做法:

假设所有质量相同的物体沿斜面滚动的速度都相同

原因:

末速度仅由转动惯量比值 $I / (M R^{2})$ 决定，质量和半径会完全约去

正确做法:

通过对比 $I / (M R^{2})$ 因子排序速度，对于形状相同的物体忽略质量和半径的影响。

错误做法:

将滚动摩擦等同于滑动动摩擦

原因:

滚动摩擦是由表面形变产生的微小耗散力，与滑动摩擦不同

正确做法:

除非题目明确提及，否则AP物理1考题几乎都会忽略滚动摩擦。

6. 速查表

物理量	纯滚动公式	考试提示
速度关系	$v_{c m} = R ω$	仅对无滑动运动成立
总动能	$K_{t o t a l} = \frac{1}{2} M v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2}$	平动分量与转动分量之和
高度h对应的末速度	$v = \frac{2 g h}{1 + I / ( M R ^{2} )}$	质量和半径会被约去
斜面最小静摩擦系数	$μ_{s} \geq \frac{t a n θ}{1 + M R ^{2} / I}$	防止加速过程中发生滑动

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · FRQ 2
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2021 · MCQ 12
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2019 · FRQ 3
受外力矩作用的滚动圆盘

下一步

掌握滚动运动是你在AP物理1考试中解决更复杂转动问题的关键基础，包括平动转动结合系统、滚动碰撞的角动量守恒，以及转动平衡场景。你在这里学到的无滑动条件会频繁出现在跨单元的FRQ和复合选择题中，比如将滚动运动学与功和能、引力知识点结合。完成本模块后，你需要练习混合题型，完成滚动物体速度排序、总动能计算、无滑动最小摩擦系数求解的训练，在考前巩固知识点。