角动量守恒

AP 物理 1· AP物理1 CED — 转动运动· 14 分钟阅读

1. 什么是角动量守恒？★★☆☆☆⏱ 3 min

角动量（ $L$ ）是线动量的转动类比。角动量守恒定律指出，当且仅当作用在系统上的合外力矩为零时，系统的总角动量保持不变。这是AP物理1考察的三大基本守恒定律之一，约占第6单元转动运动分值的15-20%，而第6单元占AP考试总分的14-18%。

📘 定义

角动量守恒

$L_{ini t ia l} = L_{f ina l}$

当系统受到的合外力矩为零时，系统的总角动量保持不变

例:

旋转的滑冰者将手臂向内收拢时角动量守恒

对于刚体转动系统，角动量由 $L = I ω$ 给出，其中 $I$ 是转动轴的转动惯量， $ω$ 是角速度。对于平动质点，角动量为 $L = m v r_{⊥}$ ，其中 $r_{⊥}$ 是转轴到质点运动轨迹的垂直距离。与能量守恒不同，即使内力做功改变系统的动能，角动量仍然守恒，因此它非常适合解决碰撞和变质量转动问题。

2. 角动量守恒的核心条件★★☆☆☆⏱ 3 min

角动量守恒的判定条件是合外力矩 $τ_{n e t, e x t} = 0$ ，而非合外力为零。这是最容易混淆的规则：许多学生错误地将线动量守恒的条件（合外力为零）套用到角动量上。完全有可能出现合外力不为零但合外力矩为零的情况，此时角动量仍然守恒。

🔬 推导

目标:

从转动牛顿第二定律推导角动量守恒

起点:

转动牛顿第二定律: $τ_{n e t} = \frac{Δ L}{Δ t}$

1
如果合外力矩为零，代入得：
2
$0 = \frac{\Delta L}{\Delta t}$
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这意味着总角动量变化 $Δ L = 0$ ，因此角动量是恒定的。

结果:

对于刚体转动系统，这可以简化为核心守恒方程: $I_{i} ω_{i} = I_{f} ω_{f}$

📐 例题

一名质量为62 kg的滑冰者初始角速度为1.2 rad/s，她绕旋转轴的转动惯量为 $5.0 k g \cdot m^{2}$ 。她将手臂向内收拢，转动惯量减小到 $2.5 k g \cdot m^{2}$ 。冰面的摩擦力矩可忽略，求她新的角速度是多少？

1
1. 将系统定义为滑冰者+地球，旋转轴沿滑冰者的旋转轴线。
2
1. 验证守恒条件：摩擦力矩可忽略，重力和支持力对旋转轴不产生力矩，因此 $τ_{n e t, e x t} = 0$ ，角动量守恒。
3
1. 写出核心守恒方程：
4
$I_i \omega_i = I_f \omega_f$
5
1. 求解最终角速度 $ω_{f}$ ：
6
$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{(5.0 \, kg \cdot m^2)(1.2 \, rad/s)}{2.5 \, kg \cdot m^2} = 2.4 \, rad/s$

Exam tip:

应用角动量守恒前，请始终先检查力矩条件，而非力条件。一个系统可以有非零合外力，但合外力矩仍可以为零。

3. 转动惯量变化时的角动量守恒★★★☆☆⏱ 4 min

当质量沿径向移动（靠近或远离转动轴）时，转动惯量会发生变化，在不增加任何外力矩的情况下改变系统的总 $I$ 。这是AP考试中最常考察的应用，同时出现在选择题和自由解答题中。由于 $L = I ω$ 是恒定的， $I$ 减小会导致 $ω$ 成比例增加（反之亦然）。需要记住的关键点是：在这类问题中动能不守恒，因为使质量径向移动的力会对系统做内功，将质量向内收拢会增加转动动能，让质量向外移动会减小转动动能。

📐 例题

一个25 kg的小孩站在转动惯量为 $1000 k g \cdot m^{2}$ 、半径为2.0 m的旋转木马边缘。当小孩在边缘时，旋转木马初始转速为0.8 rad/s。小孩走到旋转木马中心，转轴摩擦可忽略，求系统最终的角速度是多少？

1
1. 系统 = 小孩 + 旋转木马，转轴在中心。无外力矩作用，因此角动量守恒。
2
1. 计算初始总转动惯量：小孩可视为质点，因此 $I_{c hi l d, i} = m r^{2} = 25 (2.0)^{2} = 100 k g \cdot m^{2}$ 。初始总 $I_{i} = 1000 + 100 = 1100 k g \cdot m^{2}$ 。
3
1. 计算最终总转动惯量：小孩在中心 $r = 0$ ，因此 $I_{c hi l d, f} = 0$ 。最终总 $I_{f} = 1000 + 0 = 1000 k g \cdot m^{2}$ 。
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1. 求解 $ω_{f}$ ：
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$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{(1100)(0.8)}{1000} = 0.88 \, rad/s$

Exam tip:

请始终对系统中每个物体的转动惯量求和，不要只计算运动质量的转动惯量。很容易忘记加上旋转木马这类刚性转动结构本身的转动惯量。

4. 转动碰撞中的角动量守恒★★★★☆⏱ 4 min

转动碰撞（平动物体与带固定转轴的刚体之间的碰撞）是另一种常见的AP题型。在这类问题中，角动量守恒永远是正确的方法，因为固定转轴对转轴不产生力矩，因此即使转轴施加了非零外力，合外力矩仍然为零，而线动量不守恒。对于平动质点撞击并粘在转轴物体上的情况，我们将质点的初始角动量计算为 $L = m v r_{⊥}$ ，其中 $r_{⊥}$ 是转轴到质点运动轨迹的垂直距离。

📐 例题

一根质量1.5 kg、长度1.0 m的均匀细杆一端铰接，初始静止。一颗质量0.05 kg、速度200 m/s的子弹击中细杆的自由端并嵌入其中，求碰撞后细杆的角速度是多少？（细杆绕一端的转动惯量为 $I = \frac{1}{3} M L^{2}$ 。）

1
1. 系统 = 子弹 + 细杆，转轴在铰接处。铰接处的作用力对转轴不产生力矩，因此角动量守恒。
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1. 计算初始总角动量：细杆静止，因此只有子弹贡献角动量：
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$L_i = mvr = (0.05 kg)(200 m/s)(1.0 m) = 10 \, kg \cdot m^2/s$
4
1. 计算最终总转动惯量：
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$I_{rod} = \frac{1}{3}ML^2 = 0.5 \, kg \cdot m^2, \quad I_{bullet} = mr^2 = 0.05 \, kg \cdot m^2$
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总最终 $I_{f} = 0.5 + 0.05 = 0.55 k g \cdot m^{2}$ 。
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1. 求解 $ω_{f}$ ：
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$\omega_f = \frac{L_i}{I_f} = \frac{10}{0.55} \approx 18.2 \, rad/s$

✓ 快速检测

测试你对转动惯量变化时动能变化的理解：

旋转的滑冰者将手臂向内收拢，转动惯量减小为原来的1/3，角动量守恒。以下哪一项正确描述了转动动能的变化？
- A) 转动动能保持不变，因为角动量守恒。
- B) 转动动能减小为原来的1/3，因为转动惯量减小。
- C) 转动动能变为原来的三倍，因为角速度变为原来的三倍。
- D) 转动动能增加为原来的9倍，因为角速度增加为原来的9倍。
显示答案
C —
根据角动量守恒： $I_{i} ω_{i} = I_{f} ω_{f}$ ，因此如果 $I_{f} = I_{i} /3$ ，则 $ω_{f} = 3 ω_{i}$ 。利用 $K E = \frac{L ^{2}}{2 I}$ ，由于 $L$ 恒定， $K E_{f} = 3 K E_{i}$ ，因此C正确。

Exam tip:

对于固定转轴物体的碰撞，永远不要使用线动量守恒。转轴的外力意味着线动量不守恒，但绕转轴的角动量一定守恒。

5. 常见陷阱

错误做法:

对下落的转动杆应用角动量守恒，声称它从水平转到竖直的过程中角动量保持不变。

原因:

学生忘记重力对转轴产生非零力矩，因此合外力矩不为零。

正确做法:

在写出 $L_{i} = L_{f}$ 之前，请始终明确检查你所选转轴的合外力矩是否为零。

错误做法:

忘记计入固定转动结构（例如旋转木马）的转动惯量，只将运动质量的 $I$ 加进总转动惯量。

原因:

学生只关注变化的质量位置，忽略了刚体的恒定贡献。

正确做法:

代入守恒方程前，请始终将总 $I$ 写为系统中所有物体的 $I$ 之和。

错误做法:

假设转动惯量变化或非弹性转动碰撞中动能守恒。

原因:

学生假设所有守恒定律同时适用，忘记了内功或碰撞的能量损失。

正确做法:

只有当题目明确说明碰撞是弹性碰撞，或没有内功做功时，才能应用动能守恒。

错误做法:

对固定转轴物体的碰撞使用线动量守恒。

原因:

学生错误地将线性碰撞的知识套用到转动问题中。

正确做法:

对于任何带固定转轴的碰撞，都使用绕转轴的角动量守恒。

错误做法:

计算平动质点的角动量时使用错误的 $r$ 。

原因:

学生将物体自身的半径与转轴到质点路径的垂直距离混淆。

正确做法:

请始终画出转轴和质点的运动路径，然后测量垂直距离，得到 $L = m v r_{⊥}$ 中正确的 $r$ 。

6. 速查表

类别	公式	注释
守恒条件	$τ_{n e t, e x t} = 0 ⟹ L_{ini t ia l} = L_{f ina l}$	不要求合外力为零或动能守恒
角动量（刚体）	$L = I ω$	$I$ = 绕转动轴的总转动惯量
角动量（质点）	$L = m v r_{⊥}$	$r_{⊥}$ = 转轴到质点路径的垂直距离
转动惯量变化的守恒	$I_{i} ω_{i} = I_{f} ω_{f}$	适用于质量径向移动；动能不守恒
转动惯量（质点）	$I = m r^{2}$	距离转轴 $r$ 处的质点
转动动能	$K E_{r o t} = \frac{L ^{2}}{2 I}$	适用于 $L$ 恒定情况下关联动能与转动惯量
转动惯量（一端铰接的杆）	$I = \frac{1}{3} M L^{2}$	一端铰接的均匀细杆
转动惯量（实心圆盘）	$I = \frac{1}{2} M R^{2}$	绕中心轴转动的均匀实心圆盘

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
滑冰者改变转动惯量
2022 · FRQ
旋转木马的转动碰撞

下一步

掌握角动量守恒是第6单元转动运动剩余内容的关键先修知识，包括多概念问题中的转动动能以及无滑滚动，后者通常将角动量与直线运动概念结合。这个主题也有助于理解AP物理1中贯穿整个考试的守恒定律大主题，该主题占总分的近一半。如果不能正确判断角动量何时守恒、正确应用公式，你会很难应对结合了转动、碰撞和能量的多概念自由解答题，这类题目在AP考试中非常常见。接下来，你可以将这个概念推广到滚动运动和结合转动-平动动力学中。