# 角动量守恒

> AP 物理 1 · 第6单元：转动运动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-conservation-of-angular-momentum/

本讲义讲解角动量守恒的合外力矩条件、转动惯量变化的应用以及转动碰撞，配有符合AP大纲的例题和针对AP物理1第6单元的解题策略。

**先修:** [力矩与转动牛顿第二定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-torque/); 刚体和质点的转动惯量计算; 基础转动运动学

## 学习目标

- 判断角动量守恒何时适用于一个系统
- 解决转动惯量变化相关的问题
- 解决固定转轴的转动碰撞问题
- 区分角动量守恒与其他守恒定律

## 什么是角动量守恒？

角动量（$L$）是线动量的转动类比。角动量守恒定律指出，当且仅当作用在系统上的合外力矩为零时，系统的总角动量保持不变。这是AP物理1考察的三大基本守恒定律之一，约占第6单元转动运动分值的15-20%，而第6单元占AP考试总分的14-18%。

**角动量守恒** — 当系统受到的合外力矩为零时，系统的总角动量保持不变

*记法:* $L_{initial} = L_{final}$

*例:* 旋转的滑冰者将手臂向内收拢时角动量守恒

对于刚体转动系统，角动量由$L = I\omega$给出，其中$I$是转动轴的转动惯量，$\omega$是角速度。对于平动质点，角动量为$L = mvr_\perp$，其中$r_\perp$是转轴到质点运动轨迹的垂直距离。与能量守恒不同，即使内力做功改变系统的动能，角动量仍然守恒，因此它非常适合解决碰撞和变质量转动问题。

## 角动量守恒的核心条件

角动量守恒的判定条件是**合外力矩$\tau_{net,ext} = 0$**，而非合外力为零。这是最容易混淆的规则：许多学生错误地将线动量守恒的条件（合外力为零）套用到角动量上。完全有可能出现合外力不为零但合外力矩为零的情况，此时角动量仍然守恒。

**推导:** 从转动牛顿第二定律推导角动量守恒

*起点:* 转动牛顿第二定律: $\tau_{net} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$

1. 如果合外力矩为零，代入得：
2. $$0 = \frac{\Delta L}{\Delta t}$$
3. 这意味着总角动量变化$\Delta L = 0$，因此角动量是恒定的。

*结论:* 对于刚体转动系统，这可以简化为核心守恒方程: $I_i \omega_i = I_f \omega_f$

**例题:** 一名质量为62 kg的滑冰者初始角速度为1.2 rad/s，她绕旋转轴的转动惯量为$5.0 \, kg \cdot m^2$。她将手臂向内收拢，转动惯量减小到$2.5 \, kg \cdot m^2$。冰面的摩擦力矩可忽略，求她新的角速度是多少？

1. 1. 将系统定义为滑冰者+地球，旋转轴沿滑冰者的旋转轴线。
2. 2. 验证守恒条件：摩擦力矩可忽略，重力和支持力对旋转轴不产生力矩，因此$\tau_{net,ext} = 0$，角动量守恒。
3. 3. 写出核心守恒方程：
4. $$I_i \omega_i = I_f \omega_f$$
5. 4. 求解最终角速度$\omega_f$：
6. $$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{(5.0 \, kg \cdot m^2)(1.2 \, rad/s)}{2.5 \, kg \cdot m^2} = 2.4 \, rad/s$$

> **考试提示:** 应用角动量守恒前，请始终先检查力矩条件，而非力条件。一个系统可以有非零合外力，但合外力矩仍可以为零。

## 转动惯量变化时的角动量守恒

当质量沿径向移动（靠近或远离转动轴）时，转动惯量会发生变化，在不增加任何外力矩的情况下改变系统的总$I$。这是AP考试中最常考察的应用，同时出现在选择题和自由解答题中。由于$L = I\omega$是恒定的，$I$减小会导致$\omega$成比例增加（反之亦然）。需要记住的关键点是：在这类问题中动能*不*守恒，因为使质量径向移动的力会对系统做内功，将质量向内收拢会增加转动动能，让质量向外移动会减小转动动能。

> **note**
>
> 当转动惯量变化时，动能不会自动守恒。在假设能量守恒前，请始终检查是否存在内功。

**例题:** 一个25 kg的小孩站在转动惯量为$1000 \, kg \cdot m^2$、半径为2.0 m的旋转木马边缘。当小孩在边缘时，旋转木马初始转速为0.8 rad/s。小孩走到旋转木马中心，转轴摩擦可忽略，求系统最终的角速度是多少？

1. 1. 系统 = 小孩 + 旋转木马，转轴在中心。无外力矩作用，因此角动量守恒。
2. 2. 计算初始总转动惯量：小孩可视为质点，因此$I_{child,i} = mr^2 = 25(2.0)^2 = 100 \, kg \cdot m^2$。初始总$I_i = 1000 + 100 = 1100 \, kg \cdot m^2$。
3. 3. 计算最终总转动惯量：小孩在中心$r=0$，因此$I_{child,f} = 0$。最终总$I_f = 1000 + 0 = 1000 \, kg \cdot m^2$。
4. 4. 求解$\omega_f$：
5. $$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{(1100)(0.8)}{1000} = 0.88 \, rad/s$$

> **考试提示:** 请始终对系统中每个物体的转动惯量求和，不要只计算运动质量的转动惯量。很容易忘记加上旋转木马这类刚性转动结构本身的转动惯量。

## 转动碰撞中的角动量守恒

转动碰撞（平动物体与带固定转轴的刚体之间的碰撞）是另一种常见的AP题型。在这类问题中，角动量守恒永远是正确的方法，因为固定转轴对转轴不产生力矩，因此即使转轴施加了非零外力，合外力矩仍然为零，而线动量*不*守恒。对于平动质点撞击并粘在转轴物体上的情况，我们将质点的初始角动量计算为$L = mvr_\perp$，其中$r_\perp$是转轴到质点运动轨迹的垂直距离。

**例题:** 一根质量1.5 kg、长度1.0 m的均匀细杆一端铰接，初始静止。一颗质量0.05 kg、速度200 m/s的子弹击中细杆的自由端并嵌入其中，求碰撞后细杆的角速度是多少？（细杆绕一端的转动惯量为$I = \frac{1}{3}ML^2$。）

1. 1. 系统 = 子弹 + 细杆，转轴在铰接处。铰接处的作用力对转轴不产生力矩，因此角动量守恒。
2. 2. 计算初始总角动量：细杆静止，因此只有子弹贡献角动量：
3. $$L_i = mvr = (0.05 kg)(200 m/s)(1.0 m) = 10 \, kg \cdot m^2/s$$
4. 3. 计算最终总转动惯量：
5. $$I_{rod} = \frac{1}{3}ML^2 = 0.5 \, kg \cdot m^2, \quad I_{bullet} = mr^2 = 0.05 \, kg \cdot m^2$$
6. 总最终$I_f = 0.5 + 0.05 = 0.55 \, kg \cdot m^2$。
7. 4. 求解$\omega_f$：
8. $$\omega_f = \frac{L_i}{I_f} = \frac{10}{0.55} \approx 18.2 \, rad/s$$

**概念自测**

测试你对转动惯量变化时动能变化的理解：

1. 旋转的滑冰者将手臂向内收拢，转动惯量减小为原来的1/3，角动量守恒。以下哪一项正确描述了转动动能的变化？

   - A) 转动动能保持不变，因为角动量守恒。
   - B) 转动动能减小为原来的1/3，因为转动惯量减小。
   - C) 转动动能变为原来的三倍，因为角速度变为原来的三倍。
   - D) 转动动能增加为原来的9倍，因为角速度增加为原来的9倍。

   *解析:* 根据角动量守恒：$I_i \omega_i = I_f \omega_f$，因此如果$I_f = I_i/3$，则$\omega_f = 3\omega_i$。利用$KE = \frac{L^2}{2I}$，由于$L$恒定，$KE_f = 3 KE_i$，因此C正确。

> **考试提示:** 对于固定转轴物体的碰撞，永远不要使用线动量守恒。转轴的外力意味着线动量不守恒，但绕转轴的角动量一定守恒。

## 常见错误

- **错误做法:** 对下落的转动杆应用角动量守恒，声称它从水平转到竖直的过程中角动量保持不变。
  - 原因: 学生忘记重力对转轴产生非零力矩，因此合外力矩不为零。
  - 正确做法: 在写出$L_i = L_f$之前，请始终明确检查你所选转轴的合外力矩是否为零。
- **错误做法:** 忘记计入固定转动结构（例如旋转木马）的转动惯量，只将运动质量的$I$加进总转动惯量。
  - 原因: 学生只关注变化的质量位置，忽略了刚体的恒定贡献。
  - 正确做法: 代入守恒方程前，请始终将总$I$写为系统中所有物体的$I$之和。
- **错误做法:** 假设转动惯量变化或非弹性转动碰撞中动能守恒。
  - 原因: 学生假设所有守恒定律同时适用，忘记了内功或碰撞的能量损失。
  - 正确做法: 只有当题目明确说明碰撞是弹性碰撞，或没有内功做功时，才能应用动能守恒。
- **错误做法:** 对固定转轴物体的碰撞使用线动量守恒。
  - 原因: 学生错误地将线性碰撞的知识套用到转动问题中。
  - 正确做法: 对于任何带固定转轴的碰撞，都使用绕转轴的角动量守恒。
- **错误做法:** 计算平动质点的角动量时使用错误的$r$。
  - 原因: 学生将物体自身的半径与转轴到质点路径的垂直距离混淆。
  - 正确做法: 请始终画出转轴和质点的运动路径，然后测量垂直距离，得到$L = mvr_\perp$中正确的$r$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 守恒条件 | $\tau_{net,ext} = 0 \implies L_{initial} = L_{final}$ | 不要求合外力为零或动能守恒 |
| 角动量（刚体） | $L = I \omega$ | $I$ = 绕转动轴的总转动惯量 |
| 角动量（质点） | $L = mvr_\perp$ | $r_\perp$ = 转轴到质点路径的垂直距离 |
| 转动惯量变化的守恒 | $I_i \omega_i = I_f \omega_f$ | 适用于质量径向移动；动能不守恒 |
| 转动惯量（质点） | $I = mr^2$ | 距离转轴$r$处的质点 |
| 转动动能 | $KE_{rot} = \frac{L^2}{2I}$ | 适用于$L$恒定情况下关联动能与转动惯量 |
| 转动惯量（一端铰接的杆） | $I = \frac{1}{3}ML^2$ | 一端铰接的均匀细杆 |
| 转动惯量（实心圆盘） | $I = \frac{1}{2}MR^2$ | 绕中心轴转动的均匀实心圆盘 |

## 下一步

掌握角动量守恒是第6单元转动运动剩余内容的关键先修知识，包括多概念问题中的转动动能以及无滑滚动，后者通常将角动量与直线运动概念结合。这个主题也有助于理解AP物理1中贯穿整个考试的守恒定律大主题，该主题占总分的近一半。如果不能正确判断角动量何时守恒、正确应用公式，你会很难应对结合了转动、碰撞和能量的多概念自由解答题，这类题目在AP考试中非常常见。接下来，你可以将这个概念推广到滚动运动和结合转动-平动动力学中。

- [简谐运动与波概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u7-overview/)
- [简谐运动的运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u7-kinematics-of-simple-harmonic-motion/)
- [简谐运动中的能量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u7-energy-in-simple-harmonic-motion/)

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