角动量

AP 物理 1· AP 物理 1 CED — 转动· 14 分钟阅读

1. 什么是角动量？★★☆☆☆⏱ 3 min

角动量是线动量的转动对应量，是一个矢量，用于量化物体或物体系统拥有的总转动运动量。在AP物理1考试中，角动量占总分的约4-6%，会同时出现在选择题和自由作答题中。

📘 定义

角动量

与线动量对应的转动矢量，当系统合外力矩为零时守恒，用于分析转动运动、碰撞和转动惯量变化的系统。

例:

正在旋转的花样滑冰运动员拥有非零角动量，当她收拢手臂时角动量的分布会发生变化。

2. 角动量的计算★★★☆☆⏱ 4 min

角动量始终是相对于特定转动轴定义的，其大小完全取决于你选择的转动轴。对于质点，角动量由位置矢量 $r$ （从转动轴指向质点）和线动量 $m v$ 的叉乘定义：

vec{L} = vec{r} times mvec{v}

其大小可简化为：

L = rmv\sin\theta

其中 $θ$ 是 $r$ 和 $v$ 之间的夹角。 $r sin θ$ 项是转动轴到质点速度方向所在直线的垂直距离。对于做圆周运动的质点， $θ = 9 0^{\circ}$ 因此 $sin θ = 1$ ，可得 $L = m v r = I ω$ 。对于绕固定轴转动的延伸刚体，公式可简化为：

L = I\omega

角动量方向由右手定则确定：将手指沿转动方向弯曲，拇指指向就是角动量矢量的方向。在AP物理1考试中，你只需要记录符号（逆时针为正，顺时针为负），不需要处理完整的三维分量。

📐 例题

一个质量为2.0 kg的质点以3.0 m/s的速度做直线运动，其运动轨迹距离O点固定转轴的垂直距离为1.5 m。求该质点对O点的角动量大小。

1
使用质点角动量公式开始计算，其中 $r sin θ$ 是转轴到质点运动轨迹的垂直距离：
2
$L = (r\sin\theta)mv$
3
题目直接给出垂直距离为1.5 m，因此无论质点在运动轨迹上的哪个位置，都有 $r sin θ = 1.5$ m。
4
代入数值求解 $L$ ：
5
$L = (1.5\ \text{m})(2.0\ \text{kg})(3.0\ \text{m/s}) = 9.0\ \text{kg·m}^2/\text{s}$
6
确认垂直距离对应 $sin θ = 1$ ，因此不需要修正。

Exam tip:

计算角动量前一定要先确定转动轴。如果改变转动轴， $L$ 的值也会改变，因此一定要使用题目指定的转动轴，避免出错。

3. 角动量守恒定律★★★☆☆⏱ 4 min

角动量守恒定律指出：当且仅当作用在系统上的合外力矩为零（ $τ_{n e t, e x t} = 0$ ）时，系统的总角动量保持不变。从数学上可写为：

L_{initial} = L_{final} \\ I_i\omega_i = I_f\omega_f

内力矩（系统内部物体之间的力矩）会因牛顿第三定律相互抵消，因此它们不会改变系统的总角动量。这使得角动量守恒非常适合解决旋转系统转动惯量变化的问题，或动能不守恒的旋转物体之间的非弹性碰撞问题。

请注意，即使线动量不守恒，角动量也可以守恒：如果转轴施加的外力不产生力矩（因为力作用在 $r = 0$ 处），那么线动量不守恒，但角动量守恒。

📐 例题

一个质量100 kg的旋转木马可视为半径2.0 m的实心圆盘，初始以0.5 rad/s的角速度逆时针旋转。一个质量50 kg的人从静止走到旋转木马的边缘，他相对于旋转木马转轴的初始角动量为零。求人走上旋转木马后，旋转木马的最终角速度是多少？

1
检查守恒条件：轴上唯一的外力作用在 $r = 0$ 处，因此合外力矩为零，角动量守恒适用。
2
计算初始角动量，初始角动量仅来自旋转木马。实心圆盘的转动惯量是 $I_{d i s k} = \frac{1}{2} M R^{2}$ ：
3
$I_i = 0.5(100\ \text{kg})(2.0\ \text{m})^2 = 200\ \text{kg·m}^2 \\ L_i = I_i\omega_i = 200(0.5) = 100\ \text{kg·m}^2/\text{s}$
4
计算最终转动惯量，加上可视为边缘质点的人的转动惯量：
5
$I_f = I_{disk} + mR^2 = 200 + (50)(2.0)^2 = 400\ \text{kg·m}^2$
6
令 $L_{i} = L_{f}$ 求解 $ω_{f}$ ：
7
$\omega_f = \frac{100}{400} = 0.25\ \text{rad/s counterclockwise$

Exam tip:

当计算给旋转物体添加质量后的最终转动惯量时，一定要在最终总和中包含原物体的转动惯量。学生经常只添加新质量的转动惯量，从而得到错误结果。

4. 角冲量-动量定理★★★☆☆⏱ 3 min

当合外力矩作用在系统上时，角动量不守恒，我们使用角冲量-动量定理将角动量的变化与施加的力矩联系起来。角冲量是线冲量的转动对应量，对于恒定合外力矩定义为：

J_\theta = \tau_{net} \Delta t

该定理指出：角动量的变化等于施加给系统的合角冲量：

\Delta L = L_f - L_i = \tau_{net} \Delta t

该定理用于解决以下问题：用摩擦力使旋转物体停止、用恒定力矩使旋转物体加速，以及求在一定时间内产生给定转动变化所需的力矩。

📐 例题

一个旋转车轮的初始角动量为40 kg·m²/s。轴上施加了大小为8 N·m的恒定摩擦力矩，使车轮停止转动。车轮停下来需要多长时间？

1
写出角冲量-动量定理：
2
$\Delta L = \tau_{net} \Delta t$
3
将初始转动方向定义为正，因此阻碍转动的摩擦力矩为负。最终角动量为0，因此：
4
$\Delta L = L_f - L_i = 0 - 40 = -40\ \text{kg·m}^2/\text{s}$
5
整理公式求解 $Δ t$ ：
6
$\Delta t = \frac{\Delta L}{\tau_{net}} = \frac{-40}{-8} = 5\ \text{s}$
7
验证单位：N·m = kg·m²/s²，因此 (kg·m²/s) / (kg·m²/s²) = s，与时间的预期单位一致。

Exam tip:

如果你在求解 $Δ t$ 时得到负时间，几乎可以肯定你弄错了力矩的符号。一定要给阻碍转动的力矩分配相反的符号。

5. AP风格概念检测★★★★☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

用这些原创AP风格习题测试你的理解：

一位花样滑冰运动员张开手臂，以2 rad/s的角速度旋转，总转动惯量为4 kg·m²。她收拢手臂，转动惯量减小到1 kg·m²。她的转动动能变化了多少倍？
- 减小为原来的1/4
- 保持不变
- 增大为原来的2倍
- 增大为原来的4倍
显示答案
3 —
运动员不受合外力矩，因此角动量守恒：由 $I_{i} ω_{i} = I_{f} ω_{f}$ 得 $ω_{f} = 8$ rad/s。初始动能 $K_{i} = 8$ J，最终动能 $K_{f} = 32$ J，因此动能增大为原来的4倍。额外的能量来自运动员收拢手臂时做的功。

6. 常见陷阱

错误做法:

无论速度方向如何，都将质点角动量计算为 $L = m v r$ ，其中 $r$ 是转轴到质点的直线距离。

原因:

学生记住了圆周运动的特殊情况，忘记了所有其他情况都需要 $sin θ$ 项。

正确做法:

始终使用 $L = (r sin θ) m v$ ，其中 $r sin θ$ 是转轴到质点速度矢量的垂直距离。

错误做法:

对存在合外力矩的系统应用角动量守恒定律。

原因:

学生将角动量守恒与一般守恒定律混淆，不检查条件就直接使用。

正确做法:

写下 $L_{i} = L_{f}$ 之前，一定要检查系统的合外力矩是否为零。如果不为零，改用角冲量-动量定理。

错误做法:

计算转动惯量时，将旋转物体边缘的小质量当成实心圆盘处理。

原因:

学生混淆了不同形状的转动惯量公式。

正确做法:

对于位于转轴外固定距离处的任何小质量，无论质量本身的形状如何，都使用 $I = m r^{2}$ 。

错误做法:

用动能守恒求解物体粘在一起的完全非弹性转动碰撞问题。

原因:

学生将碰撞问题与弹性碰撞联系起来，默认能量守恒。

正确做法:

动能仅在弹性转动碰撞中守恒。对于非弹性碰撞，仅使用角动量守恒（如果适用，再加上线动量守恒）。

错误做法:

对多个物体组成的系统求和角动量时，忘记角动量的方向很重要。

原因:

学生将角动量当成标量，无论转动方向如何直接相加大小。

正确做法:

给顺时针和逆时针转动分配相反的符号，然后相加带符号的值得到总角动量。

7. 速查表

类别	公式	说明
角动量（质点）	$L = r m v sin θ$	$θ$ = 位置矢量 $r$ （来自转轴）与速度 $v$ 的夹角
角动量（刚体）	$L = I ω$	适用于绕固定轴转动的刚体
角冲量	$J_{θ} = τ_{n e t} Δ t$	适用于恒定合外力矩
角冲量-动量定理	$Δ L = τ_{n e t} Δ t$	合外力矩非零时使用
角动量守恒定律	$I_{i} ω_{i} = I_{f} ω_{f}$	仅当合外力矩 = 0 时适用
转动动能	$K = \frac{1}{2} I ω^{2}$	即使 $L$ 守恒，非弹性碰撞中也不守恒
转动惯量（质点）	$I = m r^{2}$	适用于距离转轴 $r$ 处的小质量
转动惯量（实心圆盘）	$I = \frac{1}{2} M R^{2}$	适用于绕中心轴转动的实心圆盘/圆柱
转动惯量（中心轴的杆）	$I = \frac{1}{12} M L^{2}$	适用于绕质心转动的均匀杆

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
旋转旋转木马的角动量守恒
2022 · 1
使涡轮停止的角冲量

下一步

掌握角动量是AP物理1转动模块最后一个核心概念，它能让你做好准备解决结合转动和平动的混合系统问题，这类问题是AP考试中常见的高分值题目。接下来，你将把角动量和守恒定律应用到无滑动滚动问题中，无滑动滚动结合了车轮的转动和质心的平动。如果不理解角动量如何随力矩变化，以及变化系统的角动量守恒，你将无法分析转动-平动混合运动，也无法解决涉及旋转物体的复杂碰撞问题。角动量还能加深你对守恒定律的理解，守恒定律是贯穿整个AP物理1的统一主题。