# 角动量

> AP 物理 1 · 第6单元：转动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-angular-momentum/

本模块讲解AP物理1的核心角动量概念：质点和刚体的角动量定义、角动量守恒定律、角冲量-动量定理，以及碰撞和转动惯量变化系统的解题方法。

**先修:** [转动运动学和转动惯量计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-rotational-kinematics/); [线动量及其守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-conservation-of-linear-momentum/); [力矩和转动牛顿第二定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-torque-rotational-equilibrium/)

## 学习目标

- 定义质点和延伸刚体的角动量
- 应用角动量守恒定律解决问题
- 对存在外力矩的系统应用角冲量-动量定理
- 解决涉及转动碰撞和转动惯量变化的AP风格习题

## 什么是角动量？

角动量是线动量的转动对应量，是一个矢量，用于量化物体或物体系统拥有的总转动运动量。在AP物理1考试中，角动量占总分的约4-6%，会同时出现在选择题和自由作答题中。

**角动量** — 与线动量对应的转动矢量，当系统合外力矩为零时守恒，用于分析转动运动、碰撞和转动惯量变化的系统。

*例:* 正在旋转的花样滑冰运动员拥有非零角动量，当她收拢手臂时角动量的分布会发生变化。

> **info**
>
> 与能量（可因非保守力做功损耗）或线动量（仅当合外力为零时守恒）不同，角动量在合外力矩为零时守恒，因此它可用于解决其他方法无法求解的问题。

## 角动量的计算

角动量始终是相对于特定转动轴定义的，其大小完全取决于你选择的转动轴。对于质点，角动量由位置矢量 $\vec{r}$（从转动轴指向质点）和线动量 $m\vec{v}$ 的叉乘定义：

$$vec{L} = vec{r} times mvec{v}$$

其大小可简化为：

$$L = rmv\sin\theta$$

其中 $\theta$ 是 $\vec{r}$ 和 $\vec{v}$ 之间的夹角。$r\sin\theta$ 项是转动轴到质点速度方向所在直线的垂直距离。对于做圆周运动的质点，$\theta = 90^\circ$ 因此 $\sin\theta = 1$，可得 $L = mvr = I\omega$。对于绕固定轴转动的延伸刚体，公式可简化为：

$$L = I\omega$$

角动量方向由右手定则确定：将手指沿转动方向弯曲，拇指指向就是角动量矢量的方向。在AP物理1考试中，你只需要记录符号（逆时针为正，顺时针为负），不需要处理完整的三维分量。

**例题:** 一个质量为2.0 kg的质点以3.0 m/s的速度做直线运动，其运动轨迹距离O点固定转轴的垂直距离为1.5 m。求该质点对O点的角动量大小。

1. 使用质点角动量公式开始计算，其中 $r\sin\theta$ 是转轴到质点运动轨迹的垂直距离：
2. $$L = (r\sin\theta)mv$$
3. 题目直接给出垂直距离为1.5 m，因此无论质点在运动轨迹上的哪个位置，都有 $r\sin\theta = 1.5$ m。
4. 代入数值求解 $L$：
5. $$L = (1.5\ \text{m})(2.0\ \text{kg})(3.0\ \text{m/s}) = 9.0\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$
6. 确认垂直距离对应 $\sin\theta = 1$，因此不需要修正。

> **考试提示:** 计算角动量前一定要先确定转动轴。如果改变转动轴，$L$ 的值也会改变，因此一定要使用题目指定的转动轴，避免出错。

## 角动量守恒定律

角动量守恒定律指出：当且仅当作用在系统上的合外力矩为零（$\tau_{net,ext} = 0$）时，系统的总角动量保持不变。从数学上可写为：

$$L_{initial} = L_{final} \\ I_i\omega_i = I_f\omega_f$$

内力矩（系统内部物体之间的力矩）会因牛顿第三定律相互抵消，因此它们不会改变系统的总角动量。这使得角动量守恒非常适合解决旋转系统转动惯量变化的问题，或动能不守恒的旋转物体之间的非弹性碰撞问题。

请注意，即使线动量不守恒，角动量也可以守恒：如果转轴施加的外力不产生力矩（因为力作用在 $r=0$ 处），那么线动量不守恒，但角动量守恒。

**例题:** 一个质量100 kg的旋转木马可视为半径2.0 m的实心圆盘，初始以0.5 rad/s的角速度逆时针旋转。一个质量50 kg的人从静止走到旋转木马的边缘，他相对于旋转木马转轴的初始角动量为零。求人走上旋转木马后，旋转木马的最终角速度是多少？

1. 检查守恒条件：轴上唯一的外力作用在 $r=0$ 处，因此合外力矩为零，角动量守恒适用。
2. 计算初始角动量，初始角动量仅来自旋转木马。实心圆盘的转动惯量是 $I_{disk} = \frac{1}{2}MR^2$：
3. $$I_i = 0.5(100\ \text{kg})(2.0\ \text{m})^2 = 200\ \text{kg·m}^2 \\ L_i = I_i\omega_i = 200(0.5) = 100\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$
4. 计算最终转动惯量，加上可视为边缘质点的人的转动惯量：
5. $$I_f = I_{disk} + mR^2 = 200 + (50)(2.0)^2 = 400\ \text{kg·m}^2$$
6. 令 $L_i = L_f$ 求解 $\omega_f$：
7. $$\omega_f = \frac{100}{400} = 0.25\ \text{rad/s counterclockwise$$

> **考试提示:** 当计算给旋转物体添加质量后的最终转动惯量时，一定要在最终总和中包含原物体的转动惯量。学生经常只添加新质量的转动惯量，从而得到错误结果。

## 角冲量-动量定理

当合外力矩作用在系统上时，角动量不守恒，我们使用角冲量-动量定理将角动量的变化与施加的力矩联系起来。角冲量是线冲量的转动对应量，对于恒定合外力矩定义为：

$$J_\theta = \tau_{net} \Delta t$$

该定理指出：角动量的变化等于施加给系统的合角冲量：

$$\Delta L = L_f - L_i = \tau_{net} \Delta t$$

该定理用于解决以下问题：用摩擦力使旋转物体停止、用恒定力矩使旋转物体加速，以及求在一定时间内产生给定转动变化所需的力矩。

**例题:** 一个旋转车轮的初始角动量为40 kg·m²/s。轴上施加了大小为8 N·m的恒定摩擦力矩，使车轮停止转动。车轮停下来需要多长时间？

1. 写出角冲量-动量定理：
2. $$\Delta L = \tau_{net} \Delta t$$
3. 将初始转动方向定义为正，因此阻碍转动的摩擦力矩为负。最终角动量为0，因此：
4. $$\Delta L = L_f - L_i = 0 - 40 = -40\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$
5. 整理公式求解 $\Delta t$：
6. $$\Delta t = \frac{\Delta L}{\tau_{net}} = \frac{-40}{-8} = 5\ \text{s}$$
7. 验证单位：N·m = kg·m²/s²，因此 (kg·m²/s) / (kg·m²/s²) = s，与时间的预期单位一致。

> **考试提示:** 如果你在求解 $\Delta t$ 时得到负时间，几乎可以肯定你弄错了力矩的符号。一定要给阻碍转动的力矩分配相反的符号。

## AP风格概念检测

**概念自测**

用这些原创AP风格习题测试你的理解：

1. 一位花样滑冰运动员张开手臂，以2 rad/s的角速度旋转，总转动惯量为4 kg·m²。她收拢手臂，转动惯量减小到1 kg·m²。她的转动动能变化了多少倍？

   - 减小为原来的1/4
   - 保持不变
   - 增大为原来的2倍
   - 增大为原来的4倍

   *答案:* 增大为原来的4倍

   *解析:* 运动员不受合外力矩，因此角动量守恒：由 $I_i\omega_i = I_f\omega_f$ 得 $\omega_f = 8$ rad/s。初始动能 $K_i = 8$ J，最终动能 $K_f = 32$ J，因此动能增大为原来的4倍。额外的能量来自运动员收拢手臂时做的功。

## 常见错误

- **错误做法:** 无论速度方向如何，都将质点角动量计算为 $L = mvr$，其中 $r$ 是转轴到质点的直线距离。
  - 原因: 学生记住了圆周运动的特殊情况，忘记了所有其他情况都需要 $\sin\theta$ 项。
  - 正确做法: 始终使用 $L = (r\sin\theta)mv$，其中 $r\sin\theta$ 是转轴到质点速度矢量的垂直距离。
- **错误做法:** 对存在合外力矩的系统应用角动量守恒定律。
  - 原因: 学生将角动量守恒与一般守恒定律混淆，不检查条件就直接使用。
  - 正确做法: 写下 $L_i = L_f$ 之前，一定要检查系统的合外力矩是否为零。如果不为零，改用角冲量-动量定理。
- **错误做法:** 计算转动惯量时，将旋转物体边缘的小质量当成实心圆盘处理。
  - 原因: 学生混淆了不同形状的转动惯量公式。
  - 正确做法: 对于位于转轴外固定距离处的任何小质量，无论质量本身的形状如何，都使用 $I = mr^2$。
- **错误做法:** 用动能守恒求解物体粘在一起的完全非弹性转动碰撞问题。
  - 原因: 学生将碰撞问题与弹性碰撞联系起来，默认能量守恒。
  - 正确做法: 动能仅在弹性转动碰撞中守恒。对于非弹性碰撞，仅使用角动量守恒（如果适用，再加上线动量守恒）。
- **错误做法:** 对多个物体组成的系统求和角动量时，忘记角动量的方向很重要。
  - 原因: 学生将角动量当成标量，无论转动方向如何直接相加大小。
  - 正确做法: 给顺时针和逆时针转动分配相反的符号，然后相加带符号的值得到总角动量。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 角动量（质点） | $L = rmv\sin\theta$ | $\theta$ = 位置矢量 $\vec{r}$（来自转轴）与速度 $\vec{v}$ 的夹角 |
| 角动量（刚体） | $L = I\omega$ | 适用于绕固定轴转动的刚体 |
| 角冲量 | $J_\theta = \tau_{net} \Delta t$ | 适用于恒定合外力矩 |
| 角冲量-动量定理 | $\Delta L = \tau_{net} \Delta t$ | 合外力矩非零时使用 |
| 角动量守恒定律 | $I_i \omega_i = I_f \omega_f$ | 仅当合外力矩 = 0 时适用 |
| 转动动能 | $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ | 即使 $L$ 守恒，非弹性碰撞中也不守恒 |
| 转动惯量（质点） | $I = mr^2$ | 适用于距离转轴 $r$ 处的小质量 |
| 转动惯量（实心圆盘） | $I = \frac{1}{2}MR^2$ | 适用于绕中心轴转动的实心圆盘/圆柱 |
| 转动惯量（中心轴的杆） | $I = \frac{1}{12}ML^2$ | 适用于绕质心转动的均匀杆 |

## 下一步

掌握角动量是AP物理1转动模块最后一个核心概念，它能让你做好准备解决结合转动和平动的混合系统问题，这类问题是AP考试中常见的高分值题目。接下来，你将把角动量和守恒定律应用到无滑动滚动问题中，无滑动滚动结合了车轮的转动和质心的平动。如果不理解角动量如何随力矩变化，以及变化系统的角动量守恒，你将无法分析转动-平动混合运动，也无法解决涉及旋转物体的复杂碰撞问题。角动量还能加深你对守恒定律的理解，守恒定律是贯穿整个AP物理1的统一主题。

- [转动运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-rotational-kinematics/)
- [角动量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-conservation-of-angular-momentum/)
- [简谐运动与波概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u7-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-angular-momentum/