# 二维碰撞

> AP 物理 1 · 第5单元：动量
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-two-dimensional-collisions/

本模块讲解二维碰撞中垂直分量的动量守恒，包括完全非弹性碰撞、质心运动，以及符合AP物理1考试要求的解题策略。

**先修:** [一维动量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-one-dimensional-momentum/); 矢量分量分解; [弹性碰撞的动能守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-elastic-inelastic-collisions/)

## 学习目标

- 将动量守恒独立应用于二维碰撞的x分量和y分量
- 求解完全非弹性二维碰撞的定量问题
- 预测二维碰撞前后的质心运动
- 识别并避开二维碰撞问题中常见的考试陷阱

## 二维碰撞基础

二维碰撞是指物体在碰撞前后沿相互成角度的方向运动，而非沿同一直线运动的碰撞。这是现实世界中最常见的碰撞类型，从台球碰撞到路口车祸都属于这类碰撞，是你已经学过的一维碰撞概念的延伸。

**二维碰撞** — 至少有一个物体的运动方向不与系统初始运动共线的碰撞，需要通过矢量分量分析求解。

按照惯例，我们几乎总是将x轴与入射物体的运动方向对齐以简化计算，y轴则垂直于该方向。只要碰撞后所有物体的速度矢量不都沿原入射方向，就属于二维碰撞。

> **info**
>
> 该知识点占AP物理1考试总分的14%-18%，会同时出现在选择题和自由作答题部分，通常会与矢量和能量概念结合考查。

## 垂直分量的动量守恒

对于所有（系统不受合外力的）二维碰撞，其核心规律是x方向和y方向的动量分别守恒。由于动量是矢量，总动量的每个分量都独立守恒，因此可以将复杂的二维问题转化为两个你已经会解的一维问题。

$$\sum p_{x,\text{initial}} = \sum p_{x,\text{final}} \\ \sum p_{y,\text{initial}} = \sum p_{y,\text{final}}$$

对于常见情况：碰撞前入射物体（$m_1$）沿+x轴运动，靶物体（$m_2$）初始静止，方程可简化为：

$$m_1 v_{1i} = m_1 v_{1f} \cos\theta_1 + m_2 v_{2f} \cos\theta_2 \\ 0 = m_1 v_{1f} \sin\theta_1 + m_2 v_{2f} \sin\theta_2$$

其中$\theta_1$是$m_1$在x轴上方的偏角，$\theta_2$是$m_2$在x轴下方的偏角，因此它们的正弦项符号相反，使得最终总y方向动量为零。

**例题:** 一颗质量0.16 kg的母球沿+x轴以2.5 m/s运动，撞击静止的质量0.16 kg的8号球。碰撞后，母球以1.5 m/s的速度沿+x轴上方35°方向运动。求碰撞后8号球的速度大小。

1. 建立坐标系：总初始动量为：
2. $$p_{x,i} = m v_{i} = (0.16\ \text{kg})(2.5\ \text{m/s}) = 0.4\ \text{kg·m/s}, \quad p_{y,i} = 0$$
3. 计算母球最终动量的x分量和y分量：
4. $$p_{1x,f} = (0.16)(1.5)\cos(35^\circ) \approx 0.24 \cdot 0.819 \approx 0.197\ \text{kg·m/s} \\ p_{1y,f} = (0.16)(1.5)\sin(35^\circ) \approx 0.24 \cdot 0.574 \approx 0.138\ \text{kg·m/s}$$
5. 应用动量守恒求出8号球的动量分量：
6. $$p_{2x,f} = p_{x,i} - p_{1x,f} = 0.4 - 0.197 = 0.203\ \text{kg·m/s} \\ p_{2y,f} = p_{y,i} - p_{1y,f} = 0 - 0.138 = -0.138\ \text{kg·m/s}$$
7. 计算8号球的总动量和速度大小：
8. $$p_{2f} = \sqrt{(0.203)^2 + (-0.138)^2} \approx 0.245\ \text{kg·m/s} \\ v_{2f} = p_{2f}/m_2 = 0.245 / 0.16 \approx 1.5\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 务必将坐标系与入射物体的初始运动对齐，使一个初始动量分量为零，这样可以减少计算量，降低符号错误。

## 完全非弹性二维碰撞

在完全非弹性碰撞中，两个物体碰撞后粘在一起，因此它们具有相同的最终速度矢量。这会大幅简化动量方程，因为我们只需要求解一个最终速度（两个未知量：速度大小和方向），而不是两个独立的速度。与弹性二维碰撞不同，这里不需要动能守恒就能求解未知量，因为两个动量守恒方程已经足够。

AP考试中最常考查的完全非弹性二维碰撞场景是路口的垂直碰撞：两个运动物体碰撞后粘在一起。对于这种场景，我们只需将一个运动方向设为x轴，另一个设为y轴，然后照常对每个分量应用动量守恒即可。

**例题:** 一辆质量1200 kg的汽车向东以15 m/s行驶，在路口与一辆质量1500 kg向北以10 m/s行驶的汽车碰撞。碰撞后两车锁在一起共同运动。求碰撞后瞬间它们共同速度的大小。

1. 设定坐标系：+x = 东，+y = 北。计算每个方向的总初始动量：
2. $$p_{x,i} = m_A v_A = (1200\ \text{kg})(15\ \text{m/s}) = 18{,}000\ \text{kg·m/s} \\ p_{y,i} = m_B v_B = (1500\ \text{kg})(10\ \text{m/s}) = 15{,}000\ \text{kg·m/s}$$
3. 碰撞后的总质量：$M = 1200 + 1500 = 2700\ \text{kg}$。根据动量守恒，最终总动量等于初始总动量。
4. 根据总动量计算最终速度：
5. $$p_f = \sqrt{p_{x,f}^2 + p_{y,f}^2} = \sqrt{(18000)^2 + (15000)^2} \approx 23{,}430\ \text{kg·m/s} \\ v_f = p_f / M = 23430 / 2700 \approx 8.7\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 如果题目问完全非弹性碰撞中动能是否守恒，答案一定是否定的：动能会因形变、热量和声能损失。

## 二维碰撞中的质心运动

由于系统总动量守恒（无外力作用），系统质心（CM）的速度在碰撞前、碰撞过程中和碰撞后都保持恒定。这是一个非常实用的概念和解题工具，经常在AP物理1选择题中考查。

$$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_{1i} + m_2 \vec{v}_{2i}}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 \vec{v}_{1f} + m_2 \vec{v}_{2f}}{m_1 + m_2}$$

由于碰撞前后总动量不变，$\vec{v}_{cm}$也不会改变。即使两个碰撞物体碰撞后沿不同角度飞出，质心仍然保持碰撞前的速度和方向做直线运动。该结论适用于所有二维碰撞，无论是弹性还是非弹性，只要系统不受外力作用即可。

**例题:** 对于前文描述的1200 kg向东（15 m/s）和1500 kg向北（10 m/s）的碰撞，计算碰撞前质心的速度，并与碰撞后连体车的最终速度比较。

1. 计算碰撞前$\vec{v}_{cm}$的x分量和y分量：
2. $$v_{cm,x} = \frac{m_A v_{A,x} + m_B v_{B,x}}{m_A + m_B} = \frac{(1200)(15) + (1500)(0)}{2700} \approx 6.67\ \text{m/s} \\ v_{cm,y} = \frac{(1200)(0) + (1500)(10)}{2700} \approx 5.56\ \text{m/s}$$
3. 计算碰撞前$v_{cm}$的大小：
4. $$v_{cm} = \sqrt{(6.67)^2 + (5.56)^2} \approx 8.7\ \text{m/s}$$
5. 与前文计算的最终连体速度比较：$v_f = 8.7\ \text{m/s}$，完全吻合。正如动量守恒预测的那样，碰撞不会改变质心的速度。

> **考试提示:** 对于任何询问碰撞后质心轨迹的概念题，只要不受外力，质心就会保持原来的匀速直线运动。

## AP风格概念检测

**概念自测**

检测你对二维碰撞核心概念的理解：

1. 一个质量2 kg的物体沿+x轴以3 m/s运动，与静止的质量1 kg的物体碰撞。碰撞后，2 kg物体以2 m/s沿+x轴上方30°方向运动。求碰撞后1 kg物体动量的x分量是多少？

   - 2.5 kg·m/s
   - 6.0 kg·m/s
   - 4.3 kg·m/s
   - 2.0 kg·m/s

   *答案:* 2.5 kg·m/s

   *解析:* 正确。根据动量守恒：$p_{2x,f} = (2)(3) - (2)(2)\cos(30^\circ) \approx 2.5\ \text{kg·m/s}$

## 常见错误

- **错误做法:** 将总动量作为标量相加（直接对质量乘速度求和），而不是分别对x分量和y分量求和。
  - 原因: 学生习惯了一维碰撞中方向仅用正负号表示，因此忘记了二维中动量是矢量。
  - 正确做法: 始终将所有动量分解为x分量和y分量，分别对分量求和，再合成得到最终动量矢量。
- **错误做法:** 当两个物体向x轴两侧散射时，给两个正弦项都取正号。
  - 原因: 学生认为角度一定都是正的，因此得到的总y动量不为零，但实际上应该为零。
  - 正确做法: 计算前根据坐标系定义符号，给x轴下方的角度明确加上负号。
- **错误做法:** 用动能守恒求解完全非弹性碰撞中的未知速度。
  - 原因: 学生记得弹性碰撞满足动能守恒，因此错误地将其应用到非弹性碰撞中。
  - 正确做法: 对于完全非弹性二维碰撞，只需使用两个动量守恒方程；动能不守恒，因此用动能守恒会得到错误答案。
- **错误做法:** 认为因为单个物体改变方向，所以质心也会改变方向。
  - 原因: 学生混淆了单个物体的运动和系统质心的运动。
  - 正确做法: 如果没有外力作用，始终认为碰撞前、碰撞中、碰撞后的质心速度都是恒定的。
- **错误做法:** 在完全非弹性碰撞中，仅用一个物体的质量去除最终总动量，而不是两个质量之和。
  - 原因: 学生计算仓促，忘记了两个质量粘在一起。
  - 正确做法: 在开始解任何完全非弹性碰撞问题时，先写下总合质量$M = m_1 + m_2$。

## 速查表

| 分类 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| x方向动量守恒 | \sum p_{x,\text{initial}} = \sum p_{x,\text{final}} | 适用于所有不受外力的二维碰撞 |
| y方向动量守恒 | \sum p_{y,\text{initial}} = \sum p_{y,\text{final}} | 适用于所有不受外力的二维碰撞 |
| 入射沿x轴，靶物体静止 | m_1 v_{1i} = m_1 v_{1f} \cos\theta_1 + m_2 v_{2f} \cos\theta_2 \\ 0 = m_1 v_{1f} \sin\theta_1 + m_2 v_{2f} \sin\theta_2 | 物体在x轴两侧时，正弦项符号相反 |
| 完全非弹性碰撞最终速度 | v_f = \frac{\sqrt{(\sum p_{x,i})^2 + (\sum p_{y,i})^2}}{m_1 + m_2} | 仅适用于碰撞后物体粘在一起的情况 |
| 质心速度 | \vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2} | 若无外力作用，所有碰撞中质心速度都恒定 |
| 动能守恒 | \sum KE_{\text{initial}} = \sum KE_{\text{final}} | 仅适用于弹性二维碰撞，不适用于非弹性碰撞 |
| 完全非弹性碰撞动能 | KE_{\text{final}} < KE_{\text{initial}} | 能量因形变、热量和声能损失 |
| 爆炸动能 | KE_{\text{final}} > KE_{\text{initial}} | 内能转化为动能 |

## 下一步

二维碰撞是动量单元的顶点，它将你在整个第5单元学到的矢量技巧和动量守恒应用于最真实的碰撞场景。掌握二维碰撞的分量守恒是理解爆炸抛体的前提，爆炸抛体是AP物理1自由作答题中常见的多概念考点，同时也能培养你后续学习圆周运动、引力和力矩所需的矢量解题能力。学习完本知识点后，你将结合动量守恒和能量守恒求解多概念系统问题，并将动量原理推广到延展物体和转动运动。本知识点巩固了一个核心原理：矢量守恒定律对每个分量独立成立，这个规则适用于物理学的所有领域。

- [转动运动概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-overview/)
- [转动运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-rotational-kinematics/)
- [AP 物理 1 力矩](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-torque/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-two-dimensional-collisions/