# 一维碰撞

> AP 物理 1 · 第5单元：动量
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-one-dimensional-collisions/

本模块讲解封闭一维碰撞系统的动量守恒、弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞的分类，未知速度求解，以及AP物理1考试常见问题中的动能变化计算。

**先修:** [封闭系统的线动量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-conservation-of-linear-momentum/); 动能的定义与计算; 一维速度矢量的符号约定

## 学习目标

- 将动量守恒应用于一维碰撞系统
- 根据动能变化对碰撞进行分类
- 求解所有一维碰撞类型中的未知末速度
- 计算非弹性碰撞和完全非弹性碰撞的动能损失

## 一维碰撞基础

一维（1D）碰撞是持续时间短、作用力大的相互作用，碰撞前、碰撞过程中和碰撞后的所有运动都沿同一条直线发生。在AP考试中，它们通常被称为'正碰'。

**一维碰撞** — 物体之间的短持续时间相互作用，所有运动都被限制在同一条直线上；碰撞过程中外力可忽略不计

*记法:* 1D collision

*例:* 一辆小车在直线轨道上正滑向另一辆静止的小车

由于碰撞持续时间非常短，碰撞过程中重力、摩擦力等外力可以忽略不计。这意味着，无论碰撞类型如何，碰撞物体组成的封闭系统的总动量始终守恒。本内容占第5单元（动量）的很大一部分，而第5单元占你AP物理1总分的14–18%。

## 动量守恒与碰撞分类

所有一维碰撞的核心原理是封闭孤立系统的动量守恒：如果没有合外力作用，碰撞前总动量等于碰撞后总动量。对于两个物体，通式为：

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$$

Where $m_1, m_2$ are object masses, $v_{1i}, v_{2i}$ are initial velocities, and $v_{1f}, v_{2f}$ are final velocities. Signs are critical: velocity is negative if it points opposite your chosen positive direction. Collisions are classified by their change in total kinetic energy:

1. **弹性碰撞**：动量和动能都守恒；没有能量因发热、发声或形变损失。
2. **非弹性碰撞**：动量守恒，但部分动能转化为其他形式损失。现实世界中大多数碰撞都属于这类。
3. **完全非弹性碰撞**：非弹性碰撞的特殊情况，碰撞后物体粘在一起，共享相同的末速度 $v_f$。对于这种情况，动量方程简化为：

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2) v_f$$

**例题:** 一个质量为2 kg的木块在无摩擦轨道上以3 m/s的速度向右滑动，撞上静止的1 kg木块。碰撞后两个木块粘在一起，求它们的末速度？

1. 选定向右为正方向，列出已知量：

   $$v_{1i} = 3 \text{ m/s}, v_{2i} = 0 \text{ m/s}, m_1 = 2 \text{ kg}, m_2 = 1 \text{ kg}$$
2. 判断这是完全非弹性碰撞，因此两个物体具有相同的末速度 $v_f$。
3. 将数值代入简化后的动量守恒方程：

   $$(2)(3) + (1)(0) = (2 + 1) v_f$$
4. 化简并求解 $v_f$：

   $$6 = 3v_f \implies v_f = 2 \text{ m/s}$$
5. 结果为正，说明结合后的木块向右运动。

> **考试提示:** 即使题目没有要求，也一定要在开始解答任何一维碰撞问题时明确定义你的正方向。这可以避免会被AP阅卷老师扣分的严重符号错误。

## 一维弹性碰撞

对于一维弹性碰撞，我们有两个独立的守恒方程：一个动量守恒，一个动能守恒。与其解一个一次方程加一个二次方程的方程组（考试中这样做很慢还容易出错），我们可以将两个定律结合得到速度之间的简单线性关系。这个关系就是相对速度法则：

$$v_{1i} - v_{2i} = v_{2f} - v_{1f}$$

这意味着碰撞前的接近相对速度等于碰撞后的分离相对速度。这个法则仅适用于一维弹性碰撞，可以将解题时间缩短一半以上。

**例题:** 一个1 kg的球以4 m/s向右运动，与一个以2 m/s向左运动的3 kg球发生一维弹性正碰，求两球碰撞后的末速度？

1. 定义向右为正方向，列出已知量：

   $$v_{1i} = +4 \text{ m/s}, v_{2i} = -2 \text{ m/s}, m_1 = 1 \text{ kg}, m_2 = 3 \text{ kg}$$
2. 写出动量守恒方程：

   $$(1)(4) + (3)(-2) = v_{1f} + 3v_{2f} \implies -2 = v_{1f} + 3v_{2f}$$
3. 写出弹性碰撞的相对速度法则：

   $$4 - (-2) = v_{2f} - v_{1f} \implies 6 = v_{2f} - v_{1f}$$
4. 将两个方程相加消去 $v_{1f}$：

   $$4 = 4v_{2f} \implies v_{2f} = 1 \text{ m/s}$$
5. 回代求解 $v_{1f}$：

   $$v_{1f} = v_{2f} - 6 = -5 \text{ m/s}$$
6. 最终结果：1 kg的球以5 m/s向左运动，3 kg的球以1 m/s向右运动。

> **考试提示:** 如果你忘记了相对速度法则，考试中你总可以从两个守恒定律推导出来。记住它可以在多问题目上节省大量时间。

## 碰撞中的动能变化

AP物理1经常要求你计算或解释一维碰撞过程中总动能的变化。虽然孤立系统的动量总是守恒，但动能变化 $\Delta KE = KE_{\text{total, }f} - KE_{\text{total, }i}$ 定义了碰撞类型：

- $\Delta KE = 0$: 弹性碰撞，无动能损失
- $\Delta KE < 0$: 非弹性碰撞，动能转化为其他形式损失（两个自由物体碰撞中动能不可能增加）
- 最大动能损失总是发生在完全非弹性碰撞中，因为物体粘在一起，在满足动量守恒的情况下，末总动能最小

损失的动能转化为热量、声音、物体形变的功，或储存为内势能。要对碰撞分类，即使物体碰撞后分开，你也必须始终明确计算 $\Delta KE$。

**例题:** 对于之前例子中的完全非弹性碰撞（2 kg木块以3 m/s撞击静止的1 kg木块，碰撞后粘在一起），损失了多少动能？损失的动能占初始动能的百分比是多少？

1. 计算初始总动能：

   $$KE_i = \frac{1}{2}m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2i}^2 = 0.5(2)(3^2) + 0 = 9 \text{ J}$$
2. 使用之前计算出的末速度（$v_f = 2 \text{ m/s}$）计算末总动能：

   $$KE_f = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_f^2 = 0.5(3)(2^2) = 6 \text{ J}$$
3. 计算动能变化：

   $$\Delta KE = 6 - 9 = -3 \text{ J}$$
4. 负号表示损失了3 J的动能，计算损失百分比：

   $$\frac{|\Delta KE|}{KE_i} \times 100 = \frac{3}{9} \times 100 = 33.3\%$$

> **考试提示:** 不要仅因为物体碰撞后弹开就认为是弹性碰撞；大多数实际的反弹仍然会损失部分动能。

## 概念检测

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 一个质量为$m$的小车以速度$v$在无摩擦轨道上与静止的质量为$2m$的小车发生正碰，碰撞为完全非弹性碰撞。碰撞过程中损失的动能占运动小车初始动能的比例是多少？

   - $\frac{1}{3}$
   - $\frac{1}{2}$
   - $\frac{2}{3}$
   - $\frac{3}{4}$

   *答案:* $\frac{2}{3}$

   *解析:* 正确：利用动量守恒，末速度为 $v/3$。末动能是初始的 $\frac{1}{3}$，因此损失了 $\frac{2}{3}$。

## 常见错误

- **错误做法:** 给运动方向与选定正方向相反的物体分配正速度（例如：向左运动的2 kg物体被记为 $v = +2 \text{ m/s}$ 而非 $-2 \text{ m/s}$）
  - 原因: 学生混淆了速率（标量）和速度（矢量），忘记一维运动仍然需要符号来表示方向。
  - 正确做法: 在题目解答开头明确写下你选定的正方向，代入动量方程前检查每个速度的符号。
- **错误做法:** 对非弹性碰撞或完全非弹性碰撞使用相对速度关系 $v_{1i} - v_{2i} = v_{2f} - v_{1f}$。
  - 原因: 学生记住了这个节省时间的关系，却忘记它仅适用于动能守恒的情况。
  - 正确做法: 只有确认题目明确说明碰撞是弹性碰撞后，才能使用相对速度关系。
- **错误做法:** 对弹性碰撞意外写出 $m_1 KE_{1i} + m_2 KE_{2i} = m_1 KE_{1f} + m_2 KE_{2f}$，额外多乘了质量因子。
  - 原因: 学生混淆了动量方程和动能方程的形式，因为两者都是系统可加的。
  - 正确做法: 记住质量已经包含在动能项中（$KE = \frac{1}{2}mv^2$），因此计算总动能求和时不需要再额外乘质量。
- **错误做法:** 声称和动量一样，所有碰撞中动能都守恒。
  - 原因: 学生混淆了两个守恒定律，错误地把动量守恒推广到动能。
  - 正确做法: 开始解答任何碰撞问题前，对自己默念'动量总是守恒，只有弹性碰撞动能守恒'。
- **错误做法:** 对完全非弹性碰撞，把 $v_{1f}$ 和 $v_{2f}$ 当作不同的未知量，导致方程组无解。
  - 原因: 学生忘记粘在一起意味着两个物体以相同速度运动。
  - 正确做法: 立即提出公共末速度，在动量方程右侧得到 $(m_1 + m_2)v_f$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 通用动量守恒 | $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$ | 适用于孤立系统中所有一维碰撞 |
| 完全非弹性碰撞 | $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2)v_f$ | 物体碰撞后粘在一起，共享相同末速度 |
| 弹性碰撞相对速度 | $v_{1i} - v_{2i} = v_{2f} - v_{1f}$ | 仅适用于一维弹性碰撞；接近速度 = 分离速度 |
| 弹性碰撞动能守恒 | $\frac{1}{2}m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2$ | 仅适用于弹性碰撞 |
| 动能变化 | $\Delta KE = KE_f - KE_i$ | $\Delta KE = 0$ = 弹性碰撞；$\Delta KE < 0$ = 非弹性碰撞 |
| 最大动能损失 | 发生在完全非弹性碰撞中 | 对于两个自由物体之间的一维碰撞恒成立 |

## 下一步

掌握一维碰撞后，你可以将相同的动量守恒原理推广到二维碰撞，在二维碰撞中你需要将动量分解为x和y分量，分别对每个轴应用守恒。如果不掌握一维碰撞的符号约定和核心守恒规则，解二维碰撞问题会难得多，因为你需要对每个轴重复相同的一维逻辑。本内容也构成了理解AP物理1后续质心运动、冲量甚至转动碰撞问题的基础，因为相同的核心守恒定律适用于所有相互作用。一维碰撞是相互作用系统动量守恒最简单的情况，因此在这里熟练掌握会让所有更高级的动量问题更容易解决。

- [二维碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-two-dimensional-collisions/)
- [转动运动概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-overview/)
- [转动运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u6-rotational-kinematics/)

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