# 动量与冲量

> AP 物理 1 · AP 物理 1 CED 第5单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-momentum-and-impulse/

本学习指南涵盖线动量和冲量的核心定义、恒力/变力的冲量计算、动量定理，以及一维矢量符号约定，符合AP物理1第5单元CED要求。

**先修:** [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-newtons-laws/); [一维矢量符号约定](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-1d-kinematics/); 基础几何图形的面积计算

## 学习目标

- 将线动量和冲量定义为矢量
- 从力-时间图像计算恒力和变力的冲量
- 应用动量定理解决一维运动问题
- 在一维动量问题中正确使用矢量符号约定

## 线动量

**线动量** — 描述物体运动量的矢量，等于物体质量与速度的乘积。方向与速度方向一致，因此在一维问题中使用正负号表示方向。单位为$\text{kg} \cdot \text{m/s}$。

*记法:* \vec{p} = m\vec{v}

*例:* 一辆质量1000 kg、向右以20 m/s运动的汽车，动量为$+20000 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$。

动量衡量了让运动物体停下的难度：慢速行驶的半挂卡车动量比快速运动的棒球更大，因为这里质量对动量的影响比速度更大。对于多个物体组成的系统，总动量是各物体动量的矢量和：一定要对带符号的动量值求和，而不是仅对大小求和，才能得到正确的总动量。

**例题:** 一个质量2.0 kg的小车以3.0 m/s向右运动，与一个质量1.0 kg、以4.0 m/s向左运动的小车迎面碰撞。取向右为正方向，求碰撞前两小车系统的总动量。

1. 建立坐标系（向右为正），因此速度为：

   $$v_1 = +3.0 \, \text{m/s}, \quad v_2 = -4.0 \, \text{m/s}$$
2. 计算第一个小车的动量：

   $$p_1 = m_1 v_1 = (2.0)(+3.0) = +6.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$$
3. 计算第二个小车的动量：

   $$p_2 = m_2 v_2 = (1.0)(-4.0) = -4.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$$
4. 对带符号的动量求和，得到系统总动量：

   $$p_{\text{total}} = p_1 + p_2 = 6.0 - 4.0 = +2.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$$

> **tip**
>
> 在开始解答每道动量问题前，一定要明确定义你的正方向。AP阅卷要求FRQ必须写明这一点，同时这能避免90%常见的符号错误。

## 冲量

**冲量** — 描述合外力在一段时间间隔内作用效果的物理量。对于恒定合外力，$J = F_{\text{net}} \Delta t$；对于变力，$J$等于合外力-时间图像下的面积。单位为$\text{N} \cdot \text{s}$，等价于$\text{kg} \cdot \text{m/s}$。

*记法:* J

冲量遵循关键的力-时间关系：要获得相同的总冲量（相同的动量变化），你可以在短时间内施加大力，或在长时间内施加小力。这个原理解释了安全气囊、缓冲仪表盘、吸能保险杠的作用：延长碰撞时间可以减小撞击过程中受到的峰值力。

AP物理1不要求用微积分计算冲量：力-时间图像下的面积总是由简单几何图形（三角形、矩形、梯形）组成，可以用基础几何公式计算。

> **warning**
>
> 力-位移图像下的面积等于功，不是冲量。这是选择题中非常常见的干扰陷阱。

**例题:** 学生用球杆击打一个质量0.05 kg的高尔夫球。球杆对球的作用力随时间变化形成三角形，峰值力为2000 N，总接触时间为0.005 s。求传递给高尔夫球的冲量大小是多少？

1. 冲量等于力-时间图像下的面积，本题中图像是三角形。
2. 三角形面积公式为：

   $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$$
3. 底 = 接触时间$\Delta t = 0.005$ s，高 = 峰值力$F_{\text{max}} = 2000$ N。代入求冲量：

   $$J = \frac{1}{2} \times 0.005 \times 2000 = 5.0 \, \text{N} \cdot \text{s}$$

## 动量定理

**动量定理** — 传递给物体（或系统）的合冲量等于物体动量的总变化量。该定理可直接由牛顿第二定律推导得出。

*记法:* J_{\text{net}} = \Delta p

*例:* 一个1 kg的物体从2 m/s加速到5 m/s，动量变化$\Delta p = 3 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$，因此合冲量$J = 3 \, \text{N} \cdot \text{s}$。

该定理的完整形式为：

$$J_{\text{net}} = \Delta p = p_f - p_i = m(v_f - v_i)$$

对于多物体系统，根据牛顿第三定律，内力冲量（系统内物体之间相互作用的力产生的冲量）相互抵消，因此只有外力对整个系统的合冲量有贡献。该关系对恒力和变力都成立，因为变力的冲量可以通过力-时间图面积计算。

**例题:** 一个质量60 kg的滑板运动员以5.0 m/s向右运动，撞到一片粗糙地面，地面对滑板向左施加平均合外力120 N，作用时间1.5 s。求运动员的最终速度是多少？

1. 取向右为正方向，因此各物理量为：

   $$F_{\text{net}} = -120 \, \text{N}, \, v_i = +5.0 \, \text{m/s}, \, \Delta t = 1.5 \, \text{s}, \, m = 60 \, \text{kg}$$
2. 计算合冲量：

   $$J_{\text{net}} = F_{\text{net}} \Delta t = (-120)(1.5) = -180 \, \text{N} \cdot \text{s}$$
3. 整理动量定理公式求解最终速度：

   $$v_f = v_i + \frac{J_{\text{net}}}{m}$$
4. 代入数值求解：

   $$v_f = 5.0 + \frac{-180}{60} = 2.0 \, \text{m/s}$$

> **tip**
>
> 当题目要求平均力时，一定要使用合冲量（所有作用力在该时间段内冲量的和），而不是仅施加力的冲量。摩擦力或重力通常会产生不可忽略的冲量，改变结果。

## AP风格练习题详解

**概念自测**

在看答案前，试试这道多选题检验你的理解：

1. 一个0.2 kg的球以15 m/s的速度径直扔向墙，然后以10 m/s的速度径直弹回。墙对球传递的冲量大小是多少？

   - A) 1 N·s
   - B) 3 N·s
   - C) 5 N·s
   - D) 25 N·s

   *解析:* 你必须考虑球的方向变化，因此速度会改变符号。正确计算：$J = \Delta p = 0.2(-10 - 15) = -5$ N·s，大小为5 N·s。

**例题:** 一个2.0 kg的木块在无摩擦的水平面上向右滑动，速度为6.0 m/s。在4.0秒内对木块施加一个变力（向右为正方向），力随时间的变化如下：t=0到t=1 s，力从0线性增加到4 N；t=1 s到t=3 s，力恒为4 N；t=3 s到t=4 s，力线性减小回0。(a) 计算4.0秒内传递给木块的总冲量。(b) 计算4.0秒后木块的最终速度。(c) 解释为什么延长固定总冲量的作用时间会减小木块受到的最大力。

1. (a) 将力-时间图分为三个区域，分别计算面积：
- 左侧三角形（0-1 s）：$A_1 = \frac{1}{2}(1)(4) = 2$ N·s
- 中间矩形（1-3 s）：$A_2 = (2)(4) = 8$ N·s
- 右侧三角形（3-4 s）：$A_3 = \frac{1}{2}(1)(4) = 2$ N·s
2. 总冲量是所有面积的和：

   $$J = 2 + 8 + 2 = 12 \, \text{N·s}$$
3. (b) 用动量定理求解最终速度：

   $$J = m(v_f - v_i) \implies v_f = v_i + \frac{J}{m} = 6.0 + \frac{12}{2.0} = 12 \, \text{m/s}$$
4. (c) 对于固定总冲量，平均力与时间间隔成反比（$F_{avg} = J/\Delta t$）。对于相似的力分布，最大力与平均力成正比，因此延长$\Delta t$会减小平均力。这就是汽车碰撞安全设计的核心原理。

**例题:** 汽车制造商测试碰撞安全，让一辆1500 kg的汽车以15 m/s的速度撞击屏障。撞击后汽车完全停下。测试了两种设置：刚性屏障让汽车在0.08 s内停下，吸能屏障让汽车在0.30 s内停下。分别计算两种设置下屏障对汽车施加的平均力。

1. 取初始运动方向为正方向，因此$v_i = +15 \, \text{m/s}$，$v_f = 0$，$m = 1500 \, \text{kg}$。
2. 计算总动量变化：

   $$\Delta p = m(v_f - v_i) = 1500(0 - 15) = -22500 \, \text{kg·m/s}$$
3. 整理动量定理公式求解平均力：

   $$F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
4. 刚性屏障的平均力：

   $$F_{\text{avg, rigid}} = \frac{-22500}{0.08} = -2.8 \times 10^5 \, \text{N}$$
5. 吸能屏障的平均力：

   $$F_{\text{avg, absorb}} = \frac{-22500}{0.30} = -7.5 \times 10^4 \, \text{N}$$
6. 负号表示力的方向与汽车初始运动方向相反。吸能屏障将平均力降低了近75%。

## 常见错误

- **错误做法:** 将三角形力-时间图的冲量按$F_{max}\Delta t$计算，而非正确的$\frac{1}{2}F_{max}\Delta t$
  - 原因: 学生混淆图像形状，误用矩形面积公式，结果是正确冲量的两倍，这是选择题常见干扰项。
  - 正确做法: 代入数值前，一定要先明确F-t区域的形状，写出正确的面积公式。
- **错误做法:** 对反向运动物体的动量直接加大小，而不对带符号的数值求和
  - 原因: 学生忘记动量是矢量，将它当作标量处理，导致总动量计算错误。
  - 正确做法: 解题开始先写下坐标系，计算动量前给所有速度分配符号。
- **错误做法:** 将冲量等同于总动量，而非动量的变化量
  - 原因: 学生记忆时将定理缩写为'冲量等于动量'，导致最终速度计算错误。
  - 正确做法: 计算开始一定要写下完整定理$J_{net} = \Delta p = p_f - p_i$，提醒自己是变化量。
- **错误做法:** 计算$\Delta p = p_i - p_f$，而非正确的$\Delta p = p_f - p_i$
  - 原因: 学生混淆变化量的'末减初'规则，导致符号错误，会影响整个解题过程。
  - 正确做法: 计算任何物理量的变化量，都要检查减法顺序，始终把末态值放在前面。
- **错误做法:** 用力-位置图像的面积计算冲量
  - 原因: 学生混淆冲量（用F-t图）和功（用F-x图），因为两者都是力图下的面积。
  - 正确做法: 计算面积前一定要检查x轴标签：x = 时间 → 冲量，x = 位移 → 功。

## 速查表

| 分类 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 线动量 | $p = mv$ | 矢量，方向与速度一致；一维问题用符号表示方向 |
| 系统总动量 | $p_{\text{total}} = p_1 + p_2 + ... + p_n$ | 对带符号的动量值求和，不要仅加大小 |
| 冲量（恒力） | $J = F_{\text{net}} \Delta t$ | 单位：$\text{N·s} = \text{kg·m/s}$，和动量单位相同 |
| 冲量（变力） | $J = \text{Area under } F \text{ vs. } t \text{ graph}$ | 使用三角形面积$A=\frac{1}{2}bh$、矩形面积$A=bh$计算 |
| 动量定理 | $J_{\text{net}} = \Delta p = p_f - p_i = m(v_f - v_i)$ | 核心关系，适用于所有质量恒定的问题 |
| 平均力 | $F_{\text{avg}} = \frac{J_{\text{net}}}{\Delta t}$ | 用于计算变力冲量在一段时间内的平均力 |

## 下一步

本小节为你学习AP物理1第5单元：动量提供了基础工具。最直接的应用就是封闭系统的动量守恒，当合外力冲量为零时，总动量保持不变。如果不掌握动量定理和矢量动量一致的符号约定，你无法正确解答碰撞和爆炸问题，而这类问题占AP考试第5单元FRQ分数的大部分。本主题还直接联系能量守恒，你将学习在不同类型碰撞问题中何时使用动量、何时使用能量，其中的核心逻辑还可推广到转动运动中的角动量。

- [AP物理1 冲量动量定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-impulse-momentum-theorem/)
- [孤立系统的动量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-conservation-of-momentum-for-isolated/)
- [一维碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-one-dimensional-collisions/)

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