AP 物理1 冲量-动量定理

AP 物理1· AP 物理1 课程与考试说明（CED）——动量· 14 分钟阅读

1. 定理的推导与核心表述★★☆☆☆⏱ 3 min

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冲量是平均合外力与其作用时间间隔的乘积，数值上等于合外力-时间图像下的面积：

J = F_{\text{avg}}\,\Delta t = \text{area under the } F_{\text{net}}\text{-}t \text{ graph}

对于恒定合外力，该式可简化为 $J = F_{net} Δ t$ 。冲量是矢量，方向与产生它的合外力方向一致。要推导该定理，我们从牛顿第二定律出发：

F_{\text{net}} = ma = m\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}

整理各项即可得到核心的冲量-动量定理：

J = \Delta p = p_{\text{final}} - p_{\text{initial}}

这意味着作用在物体上的合冲量完全等于该物体线性动量的变化量，符合日常直觉：在相同相互作用下，作用时间加倍或作用力加倍都会使动量变化量加倍

📐 例题

一个质量为0.15 kg的棒球以35 m/s的速度向左飞向击球手。击球手击中球后，球以45 m/s的速度向右离开球棒。球棒与球的接触时间为0.002 s。求球棒对球施加的平均合外力是多少？

1
1. 定义坐标系，取向右为正方向，得到带符号的速度值：
2
$v_i = -35 \text{ m/s}, \quad v_f = +45 \text{ m/s}$
3
1. 计算动量变化量：
4
$\Delta p = m v_f - m v_i = m(v_f - v_i) = 0.15 \left(45 - (-35)\right) = 12 \text{ kg·m/s}$
5
1. 根据冲量-动量定理，对于恒定平均力有 $J = F_{avg} Δ t = Δ p$
6
1. 求解平均力：
7
$F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{12}{0.002} = 6000 \text{ N}$
8
计算得到的正号说明力的方向向右，与动量变化的方向一致。

Exam tip:

在计算动量变化前务必明确定义坐标系，避免运动方向反转的物体出现符号错误

2. 通过力-时间图像计算冲量★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

冲量-动量定理在AP物理1中最常考的应用之一，就是通过合外力随时间变化的图像计算冲量和动量变化量。冲量等于图像中力曲线与时间轴之间的净面积。

📐 例题

作用在初始静止的2.0 kg物块上的合外力在 $t = 2$ s时从0 N线性增加到10 N，随后在 $t = 4$ s时线性减小回0 N。求物块在 $t = 4$ s时的速度是多少？

1
1. 根据冲量-动量定理，总冲量等于F-t图像下的面积，也等于动量的变化量。
2
1. 该图像是一个底为4 s、高为10 N的三角形。计算面积（即冲量）：
3
$J = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \text{ N·s}$
4
1. 由于物块初始静止，初始动量为0，因此 $Δ p = p_{f} = m v_{f} = 20 kg \cdotp m/s$
5
1. 求解最终速度：
6
$v_f = \frac{20}{2.0} = 10 \text{ m/s}$

Exam tip:

对于力为负（位于时间轴下方）的区域，务必赋予其正确的符号。AP考试题目经常包含负向力区域，以此考察你对这一规则的理解。

3. 物体系统的冲量-动量定理★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

冲量-动量定理不仅适用于单个物体，也适用于由多个相互作用的物体组成的完整系统。对于一个系统，我们将力分为两类：内力（系统内部的物体对系统内其他物体施加的力）和外力（系统外部的物体对系统内物体施加的力）。

根据牛顿第三定律，每一个内力都有一个大小相等、方向相反的内力反作用力。这些成对的力的作用时间相同，因此它们的冲量大小相等、方向相反，系统的总冲量相加为零。只有外力会对系统的合冲量产生贡献，由此得到该定理的系统形式：

J_{\text{external, net}} = \Delta P_{\text{total}}

这是动量守恒的直接基础：如果合外力冲量为零，系统的总动量将保持不变。

📐 例题

一名质量为70 kg的宇航员漂浮在太空中，以相对于她的飞船12 m/s的速度将一个5 kg的工具朝远离她的方向抛出。二者初始时均处于静止状态。求宇航员抛出工具后的速度。假设没有外力作用在宇航员-工具组成的系统上。

1
1. 将系统定义为宇航员+工具。由于没有外力作用，合外力冲量 $J_{ext, net} = 0$ ，这意味着 $Δ P_{total} = 0$ ，因此总末动量等于总初动量。
2
1. 初始总动量 $P_{i} = 0$ ，因为两个物体初始都处于静止状态。
3
1. 设工具被抛出的方向为正方向，因此：
4
$P_f = m_a v_a + m_t v_t = 0$
5
1. 整理公式求解宇航员的速度：
6
$v_a = - \frac{m_t v_t}{m_a} = - \frac{(5 \text{ kg})(12 \text{ m/s})}{70 \text{ kg}} \approx -0.86 \text{ m/s}$
7
负号表示宇航员向与工具运动相反的方向移动，速率为0.86 m/s。

Exam tip:

在对系统应用该定理之前，务必先区分内力与外力；如果遗漏了摩擦力这类外力冲量，会错误地认为动量守恒，而实际上动量并不守恒。

4. AP风格练习题详解★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📐 例题

一个质量为0.5 kg的橡胶球从1.25 m高度处由静止释放，落到坚硬的水平地面上。球反弹后上升的最大高度为0.80 m。求球在弹跳过程中地面对球施加的合冲量的近似大小。取 $g \approx 10 m/s^{2}$ 。选项：A) 1.0 N·s，B) 4.5 N·s，C) 2.5 N·s，D) 9.0 N·s

1
1. 使用运动学公式 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g h$ 求出弹跳前后瞬间的速度，规定向上为正方向：
2
撞击前， $v_{i}^{2} = 2 g h_{1} = 2 (10) (1.25) = 25$ ，因此 $v_{i} = - 5$ m/s。撞击后， $v_{f}^{2} = 2 g h_{2} = 2 (10) (0.80) = 16$ ，因此 $v_{f} = + 4$ m/s。
3
1. 根据冲量-动量定理，冲量等于动量的变化量：
4
$\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.5(4 - (-5)) = 4.5 \text{ N·s}$
5
正确答案为B。

📐 例题

力传感器测量作用在质量为3.0 kg的小车上的力，小车初始静止在无摩擦的水平轨道上。当 $t < 0$ s时力为0 N， $0 \leq t \leq 2$ s时力为6 N， $2 < t \leq 5$ s时力为3 N， $t > 5$ s时力为0 N。(a) 计算5秒时间间隔内作用在小车上的总冲量。(b) 计算 $t = 5$ s时小车的速度。(c) 假设小车还受到一个大小为2 N的恒定摩擦力，方向与运动方向相反。那么 $t = 5$ s时的速度会是你在(b)问中所得答案的一半吗？说明你的理由。

1
(a)部分：总冲量等于力-时间图像下的面积，可分为两个矩形区域：
2
$J_1 = 6 \times 2 = 12 \text{ N·s}, \quad J_2 = 3 \times 3 = 9 \text{ N·s}, \quad J_{\text{total}} = 21 \text{ N·s}$
3
(b)部分：初始速度为零，因此 $J = Δ p = m v_{f}$ ：
4
$v_f = \frac{21}{3.0} = 7 \text{ m/s}$
5
(c)部分：否，速度不会变为原来的一半。摩擦力的冲量为 $J_{f} = - f Δ t = - 2 N \times 5 s = - 10$ N·s。合冲量变为 $21 - 10 = 11$ N·s，因此新的速度为 $\frac{11}{3} \approx 3.7$ m/s，大于7 m/s的一半（3.5 m/s）。摩擦力在整个5秒的时间间隔内都存在，因此仅从原冲量中减去10 N·s，而不是减去原冲量的一半。

📐 例题

某模型火箭的净推力随时间变化的图像如下：推力从 $t = 0$ 时的0 N线性上升至 $t = 2$ s时的12 N，随后线性下降，在 $t = 4$ s时回到0 N（图像为三角形）。空火箭的质量为0.2 kg。假设火箭从静止开始运动，忽略空气阻力，使用冲量-动量定理求火箭燃料耗尽时（ $t = 4$ s）的速度。

1
冲量等于力-时间图像下的净面积。该图像是底为 $4$ s、高为12 N的三角形：
2
$J = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2}(4 \text{ s})(12 \text{ N}) = 24 \text{ N·s}$
3
根据冲量-动量定理， $J = Δ p = m v_{f} - 0$ ，因此：
4
$v_f = \frac{J}{m} = \frac{24}{0.2} = 120 \text{ m/s}$

5. 常见陷阱

错误做法:

Calculating change in momentum as $m (v_{f} + v_{i})$ when velocity reverses direction, forgetting to flip the sign of initial velocity

原因:

Students treat speed (a scalar) instead of velocity (a vector) when calculating momentum change, leading to half the correct value of impulse

正确做法:

Always define your coordinate system before calculating $ Delta p = p_f - p_i$, and substitute signed velocities for both initial and final momentum

错误做法:

Adding magnitudes of areas regardless of sign when calculating total impulse from a force-time graph with positive and negative force regions

原因:

Students assume all area is positive as it is in standard geometry, so they ignore negative impulse from negative force regions

正确做法:

Mark all areas above the time axis as positive, all areas below as negative, then add the signed areas to get total impulse

错误做法:

Treating the applied contact force as equal to net force for any collision, ignoring the object's weight

原因:

Students incorrectly assume contact force is always much larger than weight, so net force equals applied force, which fails when contact time is not extremely small

正确做法:

Always use $F_{net}$ for impulse calculations; if contact time is long enough that gravity contributes non-negligible impulse, include weight in your net force

错误做法:

Adding impulses from internal forces when calculating total impulse for a system

原因:

Students confuse internal and external forces, so they add impulses from paired internal forces to the system's total impulse

正确做法:

For total impulse on a system, only add impulses from external forces; internal forces cancel out due to Newton's third law and contribute nothing

错误做法:

Using the rectangle area formula ( $ba se \times h e i g h t$ ) for triangular regions on a force-time graph

原因:

Students rush through area calculation and mix up shape area formulas

正确做法:

Label each region of the F-t graph with its shape before calculating area, and write the correct area formula next to each shape

6. 速查表

Category	Formula	Notes
Impulse (variable force)	$J = F_{avg} Δ t = area under F - t$	Equals net area under force vs. time graph; positive for F above axis, negative for F below
Impulse (constant net force)	$J = F_{net} Δ t$	Simplification for constant net force over the interaction interval
Impulse-Momentum Theorem (single object)	$J = Δ p = p_{f} - p_{i}$	Net impulse equals change in object's momentum; valid for all inertial reference frames
Linear Momentum	$p = m v$	Vector quantity; direction matches velocity direction
Impulse-Momentum Theorem (systems)	$J_{ext, net} = Δ P_{total}$	Internal forces cancel, so only external impulses contribute to total momentum change
Conservation of Momentum (special case)	$P_{initial} = P_{final}$	Applies when net external impulse on the system equals zero
Average Force from Impulse	$F_{avg} = \frac{Δ p}{Δ t}$	Used to find average contact force for short collision interactions

深入阅读

official syllabusAP物理1课程与考试说明官方主题框架与学习目标

下一步

Mastering the impulse-momentum theorem is an essential prerequisite for the next core topics in AP Physics 1 Unit 5, starting with conservation of momentum, which we derived here as a special case of the theorem when net external impulse is zero. Without a solid understanding of how internal and external forces contribute to impulse, you cannot correctly apply conservation of momentum to collisions and explosions, a major free-response topic on the AP exam. Beyond Unit 5, this theorem forms the foundation for understanding rocket propulsion, and it connects to energy conservation when distinguishing between elastic and inelastic collisions. The graphical reasoning skills you practiced here with force-time graphs also transfer directly to work-energy theorem problems with force-displacement graphs, a key topic in Unit 3.