AP物理1 冲量动量定理

AP物理1· AP物理1 CED — 动量· 14 分钟阅读

1. 定理的推导与核心表述★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

冲量被定义为合外力在力作用时间间隔内的积分：

J = \int_{t_1}^{t_2} F_{\text{net}}(t) dt

对于恒定合外力，公式简化为 $J = F_{net} Δ t$ 。冲量是矢量，方向与产生它的合外力方向一致。推导该定理时，我们从牛顿第二定律出发：

F_{\text{net}} = ma = m\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}

整理项后得到核心的冲量动量定理：

J = \Delta p = p_{\text{final}} - p_{\text{initial}}

这意味着物体受到的合冲量恰好等于物体线动量的变化量，符合日常认知：对同一个相互作用，推力持续时间加倍或力的大小加倍，都会使动量变化加倍。

📐 例题

一个质量为0.15 kg的棒球以35 m/s的速度向左投向击球手。击球手击中球后，球以45 m/s的速度向右离开球棒。球棒与球的接触时间为0.002 s。球棒对球的平均合作用力是多少？

1
1. 定义坐标系，向右为正方向，给出带符号的速度：
2
$v_i = -35 \text{ m/s}, \quad v_f = +45 \text{ m/s}$
3
1. 计算动量变化：
4
$\Delta p = m v_f - m v_i = m(v_f - v_i) = 0.15 \left(45 - (-35)\right) = 12 \text{ kg·m/s}$
5
1. 根据冲量动量定理，对于恒定平均力 $J = F_{avg} Δ t = Δ p$
6
1. 求解平均作用力：
7
$F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{12}{0.002} = 6000 \text{ N}$
8
正号证实力的方向向右，与动量变化方向一致。

Exam tip:

计算动量变化前一定要明确定义坐标系，避免物体反向运动时出现符号错误。

2. 力-时间图像中的冲量★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

冲量动量定理在AP物理1中最常考的应用之一，就是从合外力对时间的图像计算冲量和动量变化。根据定义，冲量是力对时间的积分，等于图像中力曲线与时间轴之间的净面积。

📐 例题

一个初始静止的2.0 kg木块受到的合外力从0 N线性增加到 $t = 2$ s时的10 N，随后在 $t = 4$ s时线性减小回0 N。木块在 $t = 4$ s时的速度是多少？

1
1. 根据冲量动量定理，总冲量等于F-t图像下的面积，也等于动量变化。
2
1. 图像构成一个三角形，底长为4 s，高为10 N。计算面积（即冲量）：
3
$J = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \text{ N·s}$
4
1. 木块初始静止，初始动量为零，因此 $ Delta p = p_f = m v_f = 20 ext{ kg·m/s}$
5
1. 求解末速度：
6
$v_f = \frac{20}{2.0} = 10 \text{ m/s}$

Exam tip:

对于力为负（在时间轴下方）的区域，一定要赋予正确的符号。AP考题经常包含负力区域，来考察你对该规则的理解。

3. 物体系统的冲量动量定理★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

冲量动量定理不仅适用于单个物体，也适用于多个相互作用物体构成的整个系统。对于系统，我们将力分为两类：内力（系统内物体对其他系统内物体施加的力）和外力（系统外物体对系统内物体施加的力）。

根据牛顿第三定律，每一个内力都有一个大小相等、方向相反的内反作用力。这些成对的力作用时间相同，因此它们的冲量大小相等、方向相反，对系统来说总冲量加和为零。只有外力会对系统的合冲量产生贡献，因此得到系统形式的定理：

J_{\text{external, net}} = \Delta P_{\text{total}}

这就是动量守恒定律的直接基础：如果合外冲量为零，系统的总动量不变。

📐 例题

一位70 kg的宇航员在太空中漂浮，将一个5 kg的工具以相对于飞船12 m/s的速度抛出。两者初始都静止。抛出工具后宇航员的速度是多少？假设宇航员-工具系统不受外力作用。

1
1. 将系统定义为宇航员+工具。系统不受外力作用，因此合外冲量 $J_{ext, net} = 0$ ，即 $Δ P_{total} = 0$ ，因此总末动量等于总初动量。
2
1. 初始总动量 $P_{i} = 0$ ，因为两个物体都静止。
3
1. 设工具抛出的方向为正方向，因此：
4
$P_f = m_a v_a + m_t v_t = 0$
5
1. 整理后求解宇航员的速度：
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$v_a = - \frac{m_t v_t}{m_a} = - \frac{(5 \text{ kg})(12 \text{ m/s})}{70 \text{ kg}} \approx -0.86 \text{ m/s}$
7
负号表示宇航员沿与工具相反的方向运动，速率为0.86 m/s。

Exam tip:

对系统应用定理前，一定要先区分内力和外力；忘记计入摩擦力等外冲量，会导致错误地认为动量守恒，而实际上动量并不守恒。

4. AP风格习题：带解析的例题★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📐 例题

一个0.5 kg的橡胶球从静止从1.25 m高度落到坚硬平坦的地面上。球反弹后最大高度为0.80 m。碰撞过程中地板对球施加的合冲量近似大小是多少？使用 $g \approx 10 m/s^{2}$ 。选项：A) 1.0 N·s，B) 4.5 N·s，C) 2.5 N·s，D) 9.0 N·s

1
1. 使用运动学公式 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g h$ 求碰撞前后的速度，向上为正方向：
2
碰撞前， $v_{i}^{2} = 2 g h_{1} = 2 (10) (1.25) = 25$ ，所以 $v_{i} = - 5$ m/s。碰撞后， $v_{f}^{2} = 2 g h_{2} = 2 (10) (0.80) = 16$ ，所以 $v_{f} = + 4$ m/s。
3
1. 根据冲量动量定理，冲量等于动量变化：
4
$\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.5(4 - (-5)) = 4.5 \text{ N·s}$
5
正确答案是B。

📐 例题

力传感器测量了作用在无摩擦水平轨道上初始静止的3.0 kg小车的力。力在 $t < 0$ s时为0 N， $0 \leq t \leq 2$ s时为6 N， $2 < t \leq 5$ s时为3 N， $t > 5$ s时为0 N。(a) 计算5秒间隔内作用在小车上的总冲量。(b) 计算 $t = 5$ s时小车的速度。(c) 假设额外有一个大小为2 N的恒定摩擦力，方向与运动方向相反。此时 $t = 5$ s的速度会是你(b)答案的一半吗？证明你的结论。

1
问题(a)：总冲量等于力-时间图像下的面积，拆分为两个矩形区域计算：
2
$J_1 = 6 \times 2 = 12 \text{ N·s}, \quad J_2 = 3 \times 3 = 9 \text{ N·s}, \quad J_{\text{total}} = 21 \text{ N·s}$
3
问题(b)：初始速度为零，因此 $J = Δ p = m v_{f}$ ：
4
$v_f = \frac{21}{3.0} = 7 \text{ m/s}$
5
问题(c)：不，速度不会是一半。摩擦力的冲量为 $J_{f} = - f Δ t = - 2 N \times 5 s = - 10$ N·s。合冲量变为 $21 - 10 = 11$ N·s，因此新速度为 $\frac{11}{3} \approx 3.7$ m/s，大于7 m/s的一半（3.5 m/s）。摩擦力作用在整个5秒间隔，因此只从原冲量中减去了10 N·s，而不是减去原冲量的一半。

📐 例题

一个模型水火箭产生的推力可以近似为 $F (t) = 12 t - 3 t^{2}$ ，其中 $0 \leq t \leq 4$ s， $F$ 单位为牛顿， $t$ 单位为秒。空火箭质量为0.2 kg。使用冲量动量定理求燃料耗尽时（t=4 s）火箭的速度，假设火箭从静止开始，忽略水的质量和空气阻力。

1
冲量是推力（忽略重力和空气阻力，假设推力就是合外力）从0到4 s的积分：
2
$J = \int_{0}^{4} (12t - 3t^2) dt = 6t^2 - t^3 \bigg|_{0}^{4}$
3
代入上下限计算：
4
$J = \left(6(4^2) - 4^3\right) - 0 = 96 - 64 = 32 \text{ N·s}$
5
根据冲量动量定理， $J = Δ p = m v_{f} - 0$ ，因此：
6
$v_f = \frac{J}{m} = \frac{32}{0.2} = 160 \text{ m/s}$

5. 常见陷阱

错误做法:

速度反向时，将动量变化计算为 $m (v_{f} + v_{i})$ ，忘记翻转初速度的符号

原因:

计算动量变化时，学生把速率（标量）当成了速度（矢量），导致冲量结果只有正确值的一半

正确做法:

计算 $ Delta p = p_f - p_i$ 前一定要先定义坐标系，初动量和末动量都代入带符号的速度

错误做法:

当力-时间图像存在正负力区域时，不考虑符号直接将面积的大小相加来计算总冲量

原因:

学生像普通几何题一样默认所有面积都是正的，因此忽略了负力区域带来的负冲量

正确做法:

将时间轴上方的所有面积标记为正，时间轴下方的所有面积标记为负，然后将带符号的面积相加得到总冲量

错误做法:

将碰撞中施加的接触力当成合外力，忽略了物体的重力

原因:

学生错误地假设接触力总是远大于重力，因此合外力等于接触力，当接触时间不是极短时这个假设不成立

正确做法:

冲量计算中一定要使用 $F_{net}$ ；如果接触时间足够长，重力的冲量贡献不可忽略，计算合外力时要将重力包含在内

错误做法:

计算系统总冲量时，将内力的冲量也加进去

原因:

学生混淆了内力和外力，因此将成对内力的冲量加到系统总冲量中

正确做法:

计算系统总冲量时，只加外力的冲量；内力会因牛顿第三定律相互抵消，对总冲量没有贡献

错误做法:

对力-时间图像中的三角形区域使用矩形面积公式（ $ba se \times h e i g h t$ ）

原因:

学生计算面积时匆忙作答，混淆了不同形状的面积公式

正确做法:

计算面积前，先给F-t图像的每个区域标记形状，在每个形状旁写下正确的面积公式

6. 速查表

类别	公式	说明
变力冲量	$J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F_{net} (t) d t$	等于力-时间图像下的净面积；力在轴上方为正，力在轴下方为负
恒定合外力冲量	$J = F_{net} Δ t$	相互作用间隔内合外力恒定时的简化形式
冲量动量定理（单个物体）	$J = Δ p = p_{f} - p_{i}$	合冲量等于物体动量的变化量；对所有惯性参考系成立
线动量	$p = m v$	矢量；方向与速度方向一致
冲量动量定理（系统）	$J_{ext, net} = Δ P_{total}$	内力冲量抵消，因此只有外冲量对总动量变化有贡献
动量守恒（特殊情况）	$P_{initial} = P_{final}$	当系统受到的合外冲量为零时适用
由冲量求平均作用力	$F_{avg} = \frac{Δ p}{Δ t}$	用于求解短碰撞相互作用中的平均接触力

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
从力-时间图像计算冲量
2022 · FRQ
碰撞棒球上的平均作用力

深入阅读

official syllabusAP物理1课程与考试说明官方主题框架和学习目标

下一步

掌握冲量动量定理是学习AP物理1第5单元下一个核心主题的必要前提，也就是动量守恒，我们已经在这里推导出它是合外冲量为零时定理的特殊情况。如果没有扎实理解内力和外力如何贡献冲量，你就无法正确将动量守恒应用于碰撞和爆炸，这是AP考试中自由问答题的重要考点。除了第5单元，该定理还是理解火箭推进的基础，在区分弹性碰撞和非弹性碰撞时它也和能量守恒相关联。你在这里练习的力-时间图像的图形推理能力，也可以直接迁移到力-位移图像的动能定理问题中，这是第3单元的核心主题。