# AP物理1 冲量动量定理

> AP物理1 · 第5单元：动量
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-impulse-momentum-theorem/

本模块涵盖冲量的定义、冲量动量定理的推导与表述、从力-时间图像计算冲量、平均作用力问题，以及AP物理1第5单元的系统级应用。

**先修:** 线动量的定义和矢量性质; 牛顿第二、第三运动定律; 曲线下面积的图像解读

## 学习目标

- 定义线冲量并陈述冲量动量定理
- 从力-时间图像计算冲量，并求解碰撞的平均作用力
- 将该定理应用于单个物体和物体系统
- 求解涉及恒力和变力的AP风格习题

## 定理的推导与核心表述

冲量被定义为合外力在力作用时间间隔内的积分：

$$J = \int_{t_1}^{t_2} F_{\text{net}}(t) dt$$

对于恒定合外力，公式简化为 $J = F_{\text{net}} \Delta t$。冲量是矢量，方向与产生它的合外力方向一致。推导该定理时，我们从牛顿第二定律出发：

$$F_{\text{net}} = ma = m\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$

整理项后得到核心的冲量动量定理：

$$J = \Delta p = p_{\text{final}} - p_{\text{initial}}$$

这意味着物体受到的合冲量恰好等于物体线动量的变化量，符合日常认知：对同一个相互作用，推力持续时间加倍或力的大小加倍，都会使动量变化加倍。

**例题:** 一个质量为0.15 kg的棒球以35 m/s的速度向左投向击球手。击球手击中球后，球以45 m/s的速度向右离开球棒。球棒与球的接触时间为0.002 s。球棒对球的平均合作用力是多少？

1. 1. 定义坐标系，向右为正方向，给出带符号的速度：
2. $$v_i = -35 \text{ m/s}, \quad v_f = +45 \text{ m/s}$$
3. 2. 计算动量变化：
4. $$\Delta p = m v_f - m v_i = m(v_f - v_i) = 0.15 \left(45 - (-35)\right) = 12 \text{ kg·m/s}$$
5. 3. 根据冲量动量定理，对于恒定平均力 $J = F_{\text{avg}} \Delta t = \Delta p$
6. 4. 求解平均作用力：
7. $$F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{12}{0.002} = 6000 \text{ N}$$
8. 正号证实力的方向向右，与动量变化方向一致。

> **考试提示:** 计算动量变化前一定要明确定义坐标系，避免物体反向运动时出现符号错误。

*计算器:* allowed

## 力-时间图像中的冲量

冲量动量定理在AP物理1中最常考的应用之一，就是从合外力对时间的图像计算冲量和动量变化。根据定义，冲量是力对时间的积分，等于图像中力曲线与时间轴之间的净面积。

> **tip**
>
> 时间轴上方的面积是正冲量（力沿正方向作用），时间轴下方的面积是负冲量（力沿负方向作用）。该方法适用于任何变力，对于由标准几何图形构成的图像，不需要高阶微积分知识。

**例题:** 一个初始静止的2.0 kg木块受到的合外力从0 N线性增加到$t=2$ s时的10 N，随后在$t=4$ s时线性减小回0 N。木块在$t=4$ s时的速度是多少？

1. 1. 根据冲量动量定理，总冲量等于F-t图像下的面积，也等于动量变化。
2. 2. 图像构成一个三角形，底长为4 s，高为10 N。计算面积（即冲量）：
3. $$J = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \text{ N·s}$$
4. 3. 木块初始静止，初始动量为零，因此 $
Delta p = p_f = m v_f = 20 \text{ kg·m/s}$
5. 4. 求解末速度：
6. $$v_f = \frac{20}{2.0} = 10 \text{ m/s}$$

> **考试提示:** 对于力为负（在时间轴下方）的区域，一定要赋予正确的符号。AP考题经常包含负力区域，来考察你对该规则的理解。

*计算器:* allowed

## 物体系统的冲量动量定理

冲量动量定理不仅适用于单个物体，也适用于多个相互作用物体构成的整个系统。对于系统，我们将力分为两类：内力（系统内物体对其他系统内物体施加的力）和外力（系统外物体对系统内物体施加的力）。

根据牛顿第三定律，每一个内力都有一个大小相等、方向相反的内反作用力。这些成对的力作用时间相同，因此它们的冲量大小相等、方向相反，对系统来说总冲量加和为零。只有外力会对系统的合冲量产生贡献，因此得到系统形式的定理：

$$J_{\text{external, net}} = \Delta P_{\text{total}}$$

这就是动量守恒定律的直接基础：如果合外冲量为零，系统的总动量不变。

**例题:** 一位70 kg的宇航员在太空中漂浮，将一个5 kg的工具以相对于飞船12 m/s的速度抛出。两者初始都静止。抛出工具后宇航员的速度是多少？假设宇航员-工具系统不受外力作用。

1. 1. 将系统定义为宇航员+工具。系统不受外力作用，因此合外冲量 $J_{\text{ext, net}} = 0$，即 $\Delta P_{\text{total}} = 0$，因此总末动量等于总初动量。
2. 2. 初始总动量 $P_i = 0$，因为两个物体都静止。
3. 3. 设工具抛出的方向为正方向，因此：
4. $$P_f = m_a v_a + m_t v_t = 0$$
5. 4. 整理后求解宇航员的速度：
6. $$v_a = - \frac{m_t v_t}{m_a} = - \frac{(5 \text{ kg})(12 \text{ m/s})}{70 \text{ kg}} \approx -0.86 \text{ m/s}$$
7. 负号表示宇航员沿与工具相反的方向运动，速率为0.86 m/s。

> **考试提示:** 对系统应用定理前，一定要先区分内力和外力；忘记计入摩擦力等外冲量，会导致错误地认为动量守恒，而实际上动量并不守恒。

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## AP风格习题：带解析的例题

**例题:** 一个0.5 kg的橡胶球从静止从1.25 m高度落到坚硬平坦的地面上。球反弹后最大高度为0.80 m。碰撞过程中地板对球施加的合冲量近似大小是多少？使用 $g \approx 10 \text{ m/s}^2$。选项：A) 1.0 N·s，B) 4.5 N·s，C) 2.5 N·s，D) 9.0 N·s

1. 1. 使用运动学公式 $v^2 = v_0^2 + 2gh$ 求碰撞前后的速度，向上为正方向：
2. 碰撞前，$v_i^2 = 2gh_1 = 2(10)(1.25) = 25$，所以 $v_i = -5$ m/s。碰撞后，$v_f^2 = 2gh_2 = 2(10)(0.80) = 16$，所以 $v_f = +4$ m/s。
3. 2. 根据冲量动量定理，冲量等于动量变化：
4. $$\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.5(4 - (-5)) = 4.5 \text{ N·s}$$
5. 正确答案是B。

**例题:** 力传感器测量了作用在无摩擦水平轨道上初始静止的3.0 kg小车的力。力在 $t < 0$ s时为0 N，$0 \leq t \leq 2$ s时为6 N，$2 < t \leq 5$ s时为3 N，$t > 5$ s时为0 N。(a) 计算5秒间隔内作用在小车上的总冲量。(b) 计算$t = 5$ s时小车的速度。(c) 假设额外有一个大小为2 N的恒定摩擦力，方向与运动方向相反。此时$t = 5$ s的速度会是你(b)答案的一半吗？证明你的结论。

1. 问题(a)：总冲量等于力-时间图像下的面积，拆分为两个矩形区域计算：
2. $$J_1 = 6 \times 2 = 12 \text{ N·s}, \quad J_2 = 3 \times 3 = 9 \text{ N·s}, \quad J_{\text{total}} = 21 \text{ N·s}$$
3. 问题(b)：初始速度为零，因此 $J = \Delta p = m v_f$：
4. $$v_f = \frac{21}{3.0} = 7 \text{ m/s}$$
5. 问题(c)：不，速度不会是一半。摩擦力的冲量为 $J_f = -f\Delta t = -2 \text{ N} \times 5 \text{ s} = -10$ N·s。合冲量变为 $21 - 10 = 11$ N·s，因此新速度为 $\frac{11}{3} \approx 3.7$ m/s，大于7 m/s的一半（3.5 m/s）。摩擦力作用在整个5秒间隔，因此只从原冲量中减去了10 N·s，而不是减去原冲量的一半。

**例题:** 一个模型水火箭产生的推力可以近似为 $F(t) = 12t - 3t^2$，其中$0 \leq t \leq 4$ s，$F$单位为牛顿，$t$单位为秒。空火箭质量为0.2 kg。使用冲量动量定理求燃料耗尽时（t=4 s）火箭的速度，假设火箭从静止开始，忽略水的质量和空气阻力。

1. 冲量是推力（忽略重力和空气阻力，假设推力就是合外力）从0到4 s的积分：
2. $$J = \int_{0}^{4} (12t - 3t^2) dt = 6t^2 - t^3 \bigg|_{0}^{4}$$
3. 代入上下限计算：
4. $$J = \left(6(4^2) - 4^3\right) - 0 = 96 - 64 = 32 \text{ N·s}$$
5. 根据冲量动量定理，$J = \Delta p = m v_f - 0$，因此：
6. $$v_f = \frac{J}{m} = \frac{32}{0.2} = 160 \text{ m/s}$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 速度反向时，将动量变化计算为 $m(v_f + v_i)$，忘记翻转初速度的符号
  - 原因: 计算动量变化时，学生把速率（标量）当成了速度（矢量），导致冲量结果只有正确值的一半
  - 正确做法: 计算 $
Delta p = p_f - p_i$ 前一定要先定义坐标系，初动量和末动量都代入带符号的速度
- **错误做法:** 当力-时间图像存在正负力区域时，不考虑符号直接将面积的大小相加来计算总冲量
  - 原因: 学生像普通几何题一样默认所有面积都是正的，因此忽略了负力区域带来的负冲量
  - 正确做法: 将时间轴上方的所有面积标记为正，时间轴下方的所有面积标记为负，然后将带符号的面积相加得到总冲量
- **错误做法:** 将碰撞中施加的接触力当成合外力，忽略了物体的重力
  - 原因: 学生错误地假设接触力总是远大于重力，因此合外力等于接触力，当接触时间不是极短时这个假设不成立
  - 正确做法: 冲量计算中一定要使用 $F_{\text{net}}$；如果接触时间足够长，重力的冲量贡献不可忽略，计算合外力时要将重力包含在内
- **错误做法:** 计算系统总冲量时，将内力的冲量也加进去
  - 原因: 学生混淆了内力和外力，因此将成对内力的冲量加到系统总冲量中
  - 正确做法: 计算系统总冲量时，只加外力的冲量；内力会因牛顿第三定律相互抵消，对总冲量没有贡献
- **错误做法:** 对力-时间图像中的三角形区域使用矩形面积公式（$base \times height$）
  - 原因: 学生计算面积时匆忙作答，混淆了不同形状的面积公式
  - 正确做法: 计算面积前，先给F-t图像的每个区域标记形状，在每个形状旁写下正确的面积公式

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 变力冲量 | $J = \int_{t_1}^{t_2} F_{\text{net}}(t) dt$ | 等于力-时间图像下的净面积；力在轴上方为正，力在轴下方为负 |
| 恒定合外力冲量 | $J = F_{\text{net}} \Delta t$ | 相互作用间隔内合外力恒定时的简化形式 |
| 冲量动量定理（单个物体） | $J = \Delta p = p_f - p_i$ | 合冲量等于物体动量的变化量；对所有惯性参考系成立 |
| 线动量 | $p = mv$ | 矢量；方向与速度方向一致 |
| 冲量动量定理（系统） | $J_{\text{ext, net}} = \Delta P_{\text{total}}$ | 内力冲量抵消，因此只有外冲量对总动量变化有贡献 |
| 动量守恒（特殊情况） | $P_{\text{initial}} = P_{\text{final}}$ | 当系统受到的合外冲量为零时适用 |
| 由冲量求平均作用力 | $F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ | 用于求解短碰撞相互作用中的平均接触力 |

## 下一步

掌握冲量动量定理是学习AP物理1第5单元下一个核心主题的必要前提，也就是动量守恒，我们已经在这里推导出它是合外冲量为零时定理的特殊情况。如果没有扎实理解内力和外力如何贡献冲量，你就无法正确将动量守恒应用于碰撞和爆炸，这是AP考试中自由问答题的重要考点。除了第5单元，该定理还是理解火箭推进的基础，在区分弹性碰撞和非弹性碰撞时它也和能量守恒相关联。你在这里练习的力-时间图像的图形推理能力，也可以直接迁移到力-位移图像的动能定理问题中，这是第3单元的核心主题。

- [孤立系统的动量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-conservation-of-momentum-for-isolated/)
- [一维碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-one-dimensional-collisions/)
- [二维碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-two-dimensional-collisions/)

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