# 孤立系统的动量守恒

> AP 物理 1 · 第5单元：动量
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-conservation-of-momentum-for-isolated/

本指南讲解AP物理1中孤立系统动量守恒的核心概念，包括系统定义、内力/外力分类、一维碰撞/爆炸问题求解，以及质心速度。

**先修:** [线动量的定义与矢量性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-linear-momentum/); [冲量动量定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-impulse-momentum-theorem/); 牛顿第三运动定律

## 学习目标

- 定义孤立系统，并区分内力与外力
- 正确表述并应用动量守恒定律
- 求解孤立系统的一维碰撞与爆炸问题
- 将动量守恒与孤立系统质心速度恒定联系起来

## 动量守恒核心定律

动量守恒是AP物理1第5单元考查的三大基本守恒定律之一，占考试总分的12–18%。它会出现在选择题和自由作答题中，常与能量守恒或运动学结合出多步骤问题。

**动量守恒定律** — 无论系统内物体之间如何相互作用，孤立系统的总线动量随时间保持恒定。

*记法:* \sum p_{initial} = \sum p_{final}

**孤立系统** — 合外力等于零的系统。只有孤立系统的动量才守恒，且即使动量在某个方向不守恒，也可能在另一个方向守恒。

$$p_{total, initial} = p_{total, final} = \sum p_i = \sum p_f$$

由于动量是矢量，该定律对每个分量都成立。这种矢量性是AP物理1考试最常考查的点。

## 区分内力与外力

应用动量守恒时，任何问题的第一步都是正确定义系统，并将力分类为内力或外力。这是AP动量问题最常考查的技能。

**内力** — 由系统内一个物体对另一个也在系统内的物体施加的力。根据牛顿第三定律，所有内力相互抵消，因此它们对系统总动量的合冲量为零。

**外力** — 由系统外物体对系统内物体施加的力。只有非零的合外力才会改变系统的总动量。

根据冲量动量定理，我们可以推导出守恒定律：

$$\Delta p_{total} = J_{net} = \sum F_{ext} \Delta t \implies \sum F_{ext} = 0 \rightarrow \Delta p_{total} = 0$$

**例题:** 一名60kg的学生站在一辆15kg的小车上，小车静止在水平无摩擦轨道上。如果我们将系统定义为学生+小车，请对作用在系统上的所有力分类，并确认系统在水平方向是否孤立。

1. 列出所有作用在系统上的力：学生受到的重力、小车受到的重力、轨道对小车的支持力、学生对小车的接触力、小车对学生的接触力。
2. 力的分类：重力和支持力来自系统外的物体（地球和轨道），因此它们是外力。两个接触力作用于系统内的物体之间，因此是内力。
3. 按方向计算合外力：竖直方向：向下的总重力等于向上的支持力，所以$\sum F_{ext, vert} = 0$。水平方向：轨道无摩擦，因此没有水平外力，所以$\sum F_{ext, horz} = 0$。
4. 结论：系统在水平方向是孤立的，因此水平方向动量守恒。

> **考试提示:** 永远不要假设一个系统在所有方向都是完全孤立的。一定要逐方向检查合外力——AP考试会专门设计仅在一个方向动量守恒的问题来考查这个能力。

## 一维碰撞

碰撞是AP考试中动量守恒最常见的情境。碰撞过程中，物体之间的相互作用时间极短，因此即使存在小的外力（比如摩擦力），外力的冲量与碰撞过程中很大的内力冲量相比可以忽略不计。我们几乎总是将碰撞物体的系统在碰撞过程中视为孤立系统。

对于两个沿直线碰撞的物体，守恒方程为：

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$$

所有速度都根据你选定的正方向带符号。关键的一点是，这个方程适用于孤立系统的*所有*碰撞（弹性碰撞和非弹性碰撞都适用）——只有动能会因碰撞类型不同而变化，动量始终守恒。

**例题:** 一辆质量1500kg的皮卡车以20m/s的速度向北行驶，与一辆以30m/s速度向南行驶的1000kg轿车迎面相撞。两车碰撞后锁在一起。求碰撞后瞬间它们的速度。

1. 选向北为正方向。赋值：$m_1 = 1500$ kg，$v_{1i} = +20$ m/s；$m_2 = 1000$ kg，$v_{2i} = -30$ m/s。碰撞后总质量$M = 1500 + 1000 = 2500$ kg。
2. 应用动量守恒：
3. $$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = M v_f$$
4. 代入数值：
5. $$(1500)(20) + (1000)(-30) = 2500 v_f \implies 30000 - 30000 = 2500 v_f$$
6. 求解得：$v_f = 0$ m/s。两车碰撞后瞬间静止。

> **考试提示:** 零是动量问题完全合理的结果！如果最终速度为零不要自动认为你做错了——这只说明两个物体的初动量刚好完全抵消了。

## 爆炸过程中的动量守恒

爆炸是完全非弹性碰撞的逆过程：一个物体由于储存能量（化学能、弹性势能等）释放产生的内力分裂为两个或多个碎片。和碰撞一样，爆炸发生在极短时间内，因此外冲量可以忽略，碎片系统的动量守恒。

考试中常见的场景是爆炸前物体瞬时静止，因此总初动量为零，由此得到简化方程：

$$0 = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} \implies v_{2f} = -\frac{m_1}{m_2} v_{1f}$$

负号表明两个碎片向相反方向运动。和碰撞不同，爆炸过程中总动能总是增加，因为储存的势能转化为碎片的动能。

**例题:** 一枚6.0kg的模型火箭在飞行最高点水平静止，分裂为两个碎片：2.0kg的发动机部分和4.0kg的有效载荷部分。分裂后瞬间发动机部分以12m/s的速度向西运动，求有效载荷部分的速度。

1. 两个碎片组成的系统在水平方向是孤立的（重力竖直作用，因此水平合外力为零）。火箭分裂前静止，因此总初动量为零。
2. 选向东为正方向，因此发动机速度为$v_1 = -12$ m/s。
3. 代入爆炸方程：
4. $$v_2 = -\frac{m_1}{m_2} v_1 = -\frac{2.0}{4.0}(-12) = +6 \text{ m/s}$$
5. 结论：分裂后瞬间有效载荷部分以6m/s的速度向东运动。

> **考试提示:** 一定要检查爆炸前原物体是运动还是静止。如果题目说明爆炸前物体水平运动，不要默认初动量为零。

## 孤立系统的质心速度

动量守恒的一个核心概念结论是：即使系统内物体相对运动，孤立系统的质心速度（$v_{CM}$）也永远不变。质心速度公式为：

$$v_{CM} = \frac{\sum m_i v_i}{M_{total}} = \frac{p_{total}}{M_{total}}$$

由于孤立系统的$p_{total}$恒定，因此$v_{CM}$也一定恒定。如果系统初始静止，只要系统保持孤立，$v_{CM}$就永远为零。这是检查计算结果的好方法：如果最终$v_{CM}$与初始$v_{CM}$不相等，说明你犯了代数计算或符号错误。

**例题:** 对于之前例题中的火箭分裂，验证分裂后质心速度与孤立系统的初始值相等。

1. 火箭初始速度为0 m/s，因此初始$v_{CM} = 0$ m/s。
2. 列出最终数值：$m_1 = 2.0$ kg，$v_1 = -12$ m/s；$m_2 = 4.0$ kg，$v_2 = +6$ m/s；$M_{total} = 6.0$ kg。
3. 计算最终$v_{CM}$：
4. $$v_{CM} = \frac{(2.0)(-12) + (4.0)(6)}{6.0} = \frac{-24 + 24}{6.0} = 0 \text{ m/s}$$
5. 质心速度保持为零，验证了我们之前的计算是正确的。

> **考试提示:** 对于询问$v_{CM}$为什么不变的概念性自由作答题，一定要按以下结构作答：1) 系统是孤立的，因此$\sum F_{ext} = 0$；2) 因此总动量守恒；3) $v_{CM} = p_{total}/M_{total}$，因此$v_{CM}$恒定。这正是AP阅卷官想要的推理过程。

## 概念检测

**概念自测**

1. 两个质量相等的静止小车放在无摩擦水平轨道上，中间夹着一个压缩的轻弹簧。弹簧释放后，两个小车相互推开。以下哪个选项正确描述了弹簧释放后两个小车组成系统的总动量和总动能？

   - A. 总动量为零，总动能为零
   - B. 总动量非零，总动能为零
   - C. 总动量为零，总动能非零
   - D. 总动量非零，总动能非零

   *解析:* 两个小车组成的系统是孤立的，因此总动量守恒，初始值为零。压缩弹簧的弹性势能转化为动能，因此释放后总动能非零。

## 常见错误

- **错误做法:** 系统不包含地球时，将重力或支持力归类为内力
  - 原因: 学生忘记除非明确说明，否则地球在系统外，因此所有来自地球的力都是外力
  - 正确做法: 解题开始时一定要列出系统内所有物体，将任何来自未列出物体的力标记为外力
- **错误做法:** 对合外力非零的系统应用动量守恒，例如带地面摩擦力的木块-小车系统
  - 原因: 学生不管如何选择系统，都默认动量一定守恒
  - 正确做法: 在写下$p_i = p_f$之前，一定要检查你研究的方向满足$\sum F_{ext} = 0$（或外冲量可忽略）
- **错误做法:** 对与选定正方向反向运动的物体速度省略负号
  - 原因: 学生将动量当作标量而非矢量，不管方向直接加速率
  - 正确做法: 在答题纸上明确写出你选定的正方向，代入方程前先给速度分配符号
- **错误做法:** 在整个问题过程中都应用动量守恒，包括碰撞/爆炸结束后有外力作用的时候
  - 原因: 学生混淆了碰撞过程中的守恒和碰撞结束后的守恒，碰撞结束后摩擦力等外力会改变动量
  - 正确做法: 仅在碰撞/爆炸过程中应用守恒，此时外冲量可忽略
- **错误做法:** 假设动量守恒时动能一定守恒
  - 原因: 学生混淆两个守恒定律，认为两个定律对所有孤立系统都成立
  - 正确做法: 只有题目明确说明碰撞是弹性碰撞时，才假设动能守恒

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 孤立系统条件 | $\sum F_{ext} = 0$ | 动量可仅在单个方向守恒，无需所有方向都守恒 |
| 动量守恒定律 | $\sum p_{initial} = \sum p_{final}$ | 矢量定律，按分量应用；外冲量可忽略时在碰撞/爆炸过程成立 |
| 两物体一维碰撞 | $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$ | 适用于孤立系统的所有碰撞（弹性和非弹性） |
| 完全非弹性碰撞（粘在一起） | $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2) v_f$ | 碰撞后两个物体末速度相等 |
| 静止爆炸 | $0 = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$ | 碎片向相反方向运动；总动能增加 |
| 质心速度 | $v_{CM} = \frac{p_{total}}{M_{total}} = \frac{\sum m_i v_i}{\sum m_i}$ | 所有孤立系统的质心速度都恒定 |
| 动量守恒系统的动能 | 不一定守恒 | 仅弹性碰撞守恒 |
| 冲量动量关系 | $\Delta p_{total} = F_{net,ext} \Delta t$ | 非孤立系统中，动量变化与外冲量的关系 |

## 下一步

掌握孤立系统的动量守恒是AP物理1后续学习碰撞、能量和转动的基础。这个核心定律是结合多个概念的多步骤自由作答题的常考主题，因此巩固你对系统定义和力分类的理解会让你在整个单元都受益。接下来，你将应用这个核心定律将碰撞分类为弹性碰撞和非弹性碰撞，比较不同碰撞类型中动量和动能的守恒情况，求解结合动量和能量概念的多步骤问题，帮助你在AP考试中获得更高分数。

- [第5单元 动量概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-overview/)
- [一维碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-one-dimensional-collisions/)
- [二维碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-two-dimensional-collisions/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-conservation-of-momentum-for-isolated/