AP物理1 功-能定理

AP物理1· AP物理1 CED — 能量· 14 分钟阅读

1. 功-能定理的核心定义★★☆☆☆⏱ 3 min

功-能定理（也称为功-动能定理，这是AP物理1中使用的标准同义词）是第4单元的核心关系，它将对物体做的功与物体动能的变化联系起来。该定理对所有刚体都成立，无论作用力是恒力还是变力，在解决力-位移-速率类问题时，它通常比运动学方法更快捷。该内容占AP物理1考试总分的20–25%，会同时出现在选择题（MCQ）和自由作答题（FRQ）部分。

📘 定义

功-能定理

W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i

作用在刚体上的所有力的合功等于该刚体动能的变化量，其中 $W_{net}$ 是合功， $K_{f}$ 是末动能， $K_{i}$ 是初动能，所有物理量单位均为焦耳（J）。

2. 推导与核心思路★★★☆☆⏱ 3 min

功-能定理不是一条独立的物理定律；它直接由牛顿第二定律和匀加速运动学推导而来，通过对无穷小位移求和，还可以推广到变力的情况。

🔬 推导

目标:

推导恒合力下的功-能定理

起点:

匀加速运动学关系与牛顿第二定律

1
从匀加速度 $a$ 的运动学关系出发：
2
$v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$
3
整理得到加速度 $a$ ：
4
$a = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2\Delta x}$
5
代入牛顿第二定律 $F_{net} = ma$ ：
6
$F_{\text{net}} = m\left(\frac{v_f^2 - v_i^2}{2\Delta x}\right)$
7
等式两边同乘位移 $Δ x$ ：
8
$F_{\text{net}}\Delta x = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$
9
左侧是合功 $W_{net}$ ，右侧是动能变化量 $Δ K$ ：

结果:

由此得到核心公式 $W_{net} = Δ K$ ，该公式对变力也成立。

📐 例题

一名质量60kg的滑冰运动员在无摩擦的水平冰面上以2.0 m/s的初速率运动，她的队友对她推了一下，总共对她做了120 J的合功。求运动员的末速率是多少？

1
1. 列出已知量：
2
$m = 60\ \text{kg}, v_i = 2.0\ \text{m/s}, W_{\text{net}} = 120\ \text{J}$
3
1. 写出功-能定理：
4
$W_{\text{net}} = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$
5
1. 整理得到 $v_{f}$ 的表达式：
6
$v_f = \sqrt{\frac{2W_{\text{net}}}{m} + v_i^2}$
7
1. 代入数值计算：
8
$v_f = \sqrt{\frac{2(120)}{60} + (2.0)^2} = \sqrt{8} \approx 2.8\ \text{m/s}$
9
1. 检验：正合功使速率增大，符合直觉，因此结果合理。

Exam tip:

求解末速率或初速率时，功-能定理不需要先计算加速度，能在选择题中节省大量时间。在使用匀加速运动学公式前，请优先考虑这个定理。

3. 多个力作用下合功的计算★★★☆☆⏱ 4 min

应用该定理最常见的错误是没有正确计算合功，只计入题目提到的一个力的功，漏掉了其他力。计算合功有两种等效方法，AP考试都接受：

先求合外力: 先计算所有力的矢量和得到 $F_{net}$ ，再根据 $W_{net} = F_{net} Δ x cos θ$ 计算合功，其中 $θ$ 是合外力与位移的夹角。
分力做功求和: 分别计算每个力做的功，再将所有功相加，注意符号。对于多力问题，这种方法几乎总是更简单，因为任何垂直于位移的力做功自动为零，可以直接舍去。

功的标准符号约定：若力有和位移同方向的分量，做功为正；若分量方向相反，做功为负；若力垂直于位移，做功为零。摩擦力和空气阻力几乎总是做负功，而水平面上的支持力做功始终为零。

📐 例题

一个质量5.0 kg的物块从倾角30°、长3.0 m的斜面顶端由静止开始下滑，物块与斜面间的动摩擦因数为0.20。用功-能定理求物块到达斜面底端时的速率。

1
1. 确定所有作用力：重力( $m g$ )、支持力( $N$ )、动摩擦力( $f_{k}$ )。支持力垂直于位移，因此 $W_{N} = 0$ 。
2
1. 计算重力做功：竖直下落高度 $Δ y = 3.0 sin 3 0^{\circ} = 1.5 m$ ，因此：
3
$W_g = mg\Delta y = (5.0)(9.8)(1.5) = 73.5\ \text{J}$
4
1. 计算摩擦力做功： $N = m g cos 3 0^{\circ} \approx 42.4 N$ ， $f_{k} = μ_{k} N = 8.48 N$ 。摩擦力与运动方向相反，因此：
5
$W_f = -f_k \Delta x = -(8.48)(3.0) \approx -25.4\ \text{J}$
6
1. 计算合功： $W_{net} = 73.5 + 0 - 25.4 = 48.1 J$
7
1. 应用功-能定理：初动能 $K_{i} = 0$ ，因此：
8
$v_f = \sqrt{\frac{2W_{\text{net}}}{m}} = \sqrt{\frac{2(48.1)}{5.0}} \approx 4.4\ \text{m/s}$

Exam tip:

如果斜面相对于地面静止，无论倾角多大，支持力做功始终为零，因为支持力始终垂直于物块沿斜面滑动的方向。这一点能让你在大多数斜面问题中省去对支持力做功的额外计算。

4. 功-能定理与机械能守恒的对比★★★★☆⏱ 3 min

学生经常混淆这两个相关概念，但功-能定理是更普适的情况，机械能守恒是由它推导得到的特例。我们可以将所有做功分为保守力做功（ $W_{c}$ ，例如重力、弹簧弹力）和非保守力做功（ $W_{nc}$ ，例如摩擦力、外力推力）。对于保守力，有 $W_{c} = - Δ U$ ，其中 $Δ U$ 是势能变化量。

W_{\text{net}} = W_c + W_{\text{nc}} = -\Delta U + W_{\text{nc}} = \Delta K

W_{\text{nc}} = \Delta K + \Delta U

当非保守力做功为零（ $W_{nc} = 0$ ）时，上式就简化为我们熟悉的机械能守恒 $K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}$ 。功-能定理的一个核心优势是：如果你可以直接计算所有力做的功，就不需要引入势能，这简化了有摩擦力这类非保守力做功的问题。

📐 例题

一个质量0.5kg的球从地面竖直上抛，初速率为12 m/s。上升过程中空气阻力对球做了2 J的负功。求球能到达的最大高度。

1
1. 到达最大高度时，末速率为0，因此 $K_{f} = 0$ 。计算初动能：
2
$K_i = \frac{1}{2}(0.5)(12)^2 = 36\ \text{J}, \Delta K = -36\ \text{J}$
3
1. 合功是重力做功和空气阻力做功的和：
4
$W_{\text{net}} = -mgh - 2 = -36\ \text{J}$
5
1. 整理求解 $h$ ：
6
$mgh = 34 \implies h = \frac{34}{(0.5)(9.8)} \approx 6.9\ \text{m}$
7
这个结果和能量守恒框架 $W_{nc} = Δ K + Δ U$ 一致，验证了两种方法之间的联系。

Exam tip:

如果题目要求求解已知位移上的未知平均力，直接使用功-能定理。它不需要整理势能项，能将符号错误的概率降低一半。

5. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 1 min

✓ 快速检测

测试你对核心应用的理解：

一辆质量1000kg的汽车以20 m/s的速率行驶，刹车后停下，留下了长50 m的刹车痕迹。使汽车停下的平均摩擦力大小是多少？
- 2000 N
- 4000 N
- 8000 N
- 10000 N
显示答案
4000 N —
根据功-能定理： $Δ K = - 200000 J = - f d ⟹ f = 200000/50 = 4000 N$ 。其他选项来自常见错误：A是正确值的一半，C是动能加倍后得到的结果，D等于汽车的重力。

6. 常见陷阱

错误做法:

使用单个外力的功代替合功，忽略重力或摩擦力。

原因:

学生往往只关注题目中明确提到的力，忘记物体还受其他力作用。

正确做法:

代入 $W_{net} = Δ K$ 前，务必先列出物体受到的所有力，确认所有力的做功都已计入。

错误做法:

即使物体的初动能不为零，仍使用 $W_{net} = K_{f}$ 计算。

原因:

学生习惯了物体由静止开始运动的题目，记住了这个捷径，就错误地将其用到所有情况中。

正确做法:

务必明确写出 $W_{net} = K_{f} - K_{i}$ ，即使你怀疑 $K_{i}$ 为零，也要代入它，确认它确实为零。

错误做法:

物体向上运动高度 $h$ 时，错误写为 $W_{g} = + m g h$ 。

原因:

学生将重力势能的增加误认为是重力做正功。

正确做法:

记住：位移向下时（和重力同方向）重力做功为正，位移向上时（和重力反向）重力做功为负。如果不确定，可以画出力和位移矢量，检查它们的夹角。

错误做法:

对多个物体组成的系统应用定理时，错误计入内力做的功。

原因:

学生没有区分对单个物体做功和对整个系统做功。

正确做法:

对于多个刚体组成的系统，合功仅包括外力做的功；对于系统总动能的变化，内力做功会相互抵消。

错误做法:

直接用功-能定理从位移和初速率计算加速度。

原因:

该定理将功（位移的函数）和动能变化（速率的函数）联系起来，并不涉及速率的变化率。

正确做法:

先用定理求出末速率，如果需要加速度，再用运动学或牛顿第二定律求解。

7. 速查表

类别	公式	说明
核心功-能定理	$W_{net} = Δ K = K_{f} - K_{i}$	对任意力类型的刚体始终成立
动能	$K = \frac{1}{2} m v^{2}$	始终为正，仅和速率有关，与方向无关
恒力做功	$W = F Δ x cos θ$	$θ$ = 力与位移的夹角
合功计算方法1	$W_{net} = F_{net} Δ x cos θ$	适用于单一位移下合外力已知的情况
合功计算方法2	$W_{net} = W_{1} + W_{2} + ... + W_{n}$	适用于多力情况；垂直力做功为零
弹簧做功	$W_{s} = \frac{1}{2} k (x_{i}^{2} - x_{f}^{2})$	弹簧从压缩/伸长状态向平衡位置运动时做功为正
重力做功	$W_{g} = m g Δ y$	$Δ y$ 向下位移为正，向上位移为负
与能量守恒的关系	$W_{nc} = Δ K + Δ U$	$W_{nc}$ = 非保守力做功， $Δ U$ = 势能变化量

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求平均制动力
2022 · FRQ
带摩擦斜面上的物块
2021 · MCQ
重力做功的符号

下一步

功-能定理是AP物理1中所有基于能量解题方法的基础原理，也是第4单元：能量剩余所有内容的必要前置知识。该定理简化了许多原本需要复杂运动学计算的问题，它清晰地连接了基于力的运动分析方法和基于能量的运动分析方法。掌握该定理会让你更容易解决AP物理1考试后续出现的涉及弹簧、转动和功率的复杂问题，它是选择题和自由作答题都会定期考查的核心概念。接下来，你将在此基础上学习保守系统的机械能守恒。