# AP物理1 功-能定理

> AP物理1 · 第4单元：能量
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-work-energy-theorem/

本子主题涵盖单个刚体功-能定理的核心表述、推导和应用，包括合功计算、符号约定，以及与机械能守恒的对比，该内容占AP物理1考试分数的20–25%，是核心考点。

**先修:** 动能的定义; 恒力做功; 牛顿第二运动定律

## 学习目标

- 表述功-能定理，并将其与牛顿第二定律建立联系
- 遵循正确符号约定，正确计算多力作用下的合功
- 应用功-能定理解决涉及力、位移和速率的问题
- 区分功-能定理与机械能守恒定律

## 功-能定理的核心定义

功-能定理（也称为功-动能定理，这是AP物理1中使用的标准同义词）是第4单元的核心关系，它将对物体做的功与物体动能的变化联系起来。该定理对所有刚体都成立，无论作用力是恒力还是变力，在解决力-位移-速率类问题时，它通常比运动学方法更快捷。该内容占AP物理1考试总分的20–25%，会同时出现在选择题（MCQ）和自由作答题（FRQ）部分。

**功-能定理** — 作用在刚体上的所有力的合功等于该刚体动能的变化量，其中 $W_\text{net}$ 是合功，$K_f$ 是末动能，$K_i$ 是初动能，所有物理量单位均为焦耳（J）。

*记法:* W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i

> **tip**
>
> 应用该定理时，请务必确认你使用的是合功，而非单个力做的功。

## 推导与核心思路

功-能定理不是一条独立的物理定律；它直接由牛顿第二定律和匀加速运动学推导而来，通过对无穷小位移求和，还可以推广到变力的情况。

**推导:** 推导恒合力下的功-能定理

*起点:* 匀加速运动学关系与牛顿第二定律

1. 从匀加速度 $a$ 的运动学关系出发：
2. $$v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$$
3. 整理得到加速度 $a$：
4. $$a = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2\Delta x}$$
5. 代入牛顿第二定律 $F_{\text{net}} = ma$：
6. $$F_{\text{net}} = m\left(\frac{v_f^2 - v_i^2}{2\Delta x}\right)$$
7. 等式两边同乘位移 $\Delta x$：
8. $$F_{\text{net}}\Delta x = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$
9. 左侧是合功 $W_\text{net}$，右侧是动能变化量 $\Delta K$：

*结论:* 由此得到核心公式 $W_{\text{net}} = \Delta K$，该公式对变力也成立。

**例题:** 一名质量60kg的滑冰运动员在无摩擦的水平冰面上以2.0 m/s的初速率运动，她的队友对她推了一下，总共对她做了120 J的合功。求运动员的末速率是多少？

1. 1. 列出已知量：
2. $$m = 60\ \text{kg}, v_i = 2.0\ \text{m/s}, W_{\text{net}} = 120\ \text{J}$$
3. 2. 写出功-能定理：
4. $$W_{\text{net}} = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$
5. 3. 整理得到 $v_f$ 的表达式：
6. $$v_f = \sqrt{\frac{2W_{\text{net}}}{m} + v_i^2}$$
7. 4. 代入数值计算：
8. $$v_f = \sqrt{\frac{2(120)}{60} + (2.0)^2} = \sqrt{8} \approx 2.8\ \text{m/s}$$
9. 5. 检验：正合功使速率增大，符合直觉，因此结果合理。

> **考试提示:** 求解末速率或初速率时，功-能定理不需要先计算加速度，能在选择题中节省大量时间。在使用匀加速运动学公式前，请优先考虑这个定理。

## 多个力作用下合功的计算

应用该定理最常见的错误是没有正确计算合功，只计入题目提到的一个力的功，漏掉了其他力。计算合功有两种等效方法，AP考试都接受：

1. **先求合外力**: 先计算所有力的矢量和得到 $F_\text{net}$，再根据 $W_\text{net} = F_\text{net} \Delta x \cos\theta$ 计算合功，其中 $\theta$ 是合外力与位移的夹角。
2. **分力做功求和**: 分别计算每个力做的功，再将所有功相加，注意符号。对于多力问题，这种方法几乎总是更简单，因为任何垂直于位移的力做功自动为零，可以直接舍去。

功的标准符号约定：若力有和位移同方向的分量，做功为正；若分量方向相反，做功为负；若力垂直于位移，做功为零。摩擦力和空气阻力几乎总是做负功，而水平面上的支持力做功始终为零。

**例题:** 一个质量5.0 kg的物块从倾角30°、长3.0 m的斜面顶端由静止开始下滑，物块与斜面间的动摩擦因数为0.20。用功-能定理求物块到达斜面底端时的速率。

1. 1. 确定所有作用力：重力($mg$)、支持力($N$)、动摩擦力($f_k$)。支持力垂直于位移，因此 $W_N = 0$。
2. 2. 计算重力做功：竖直下落高度 $\Delta y = 3.0 \sin 30^\circ = 1.5\ \text{m}$，因此：
3. $$W_g = mg\Delta y = (5.0)(9.8)(1.5) = 73.5\ \text{J}$$
4. 3. 计算摩擦力做功：$N = mg\cos 30^\circ \approx 42.4\ \text{N}$，$f_k = \mu_k N = 8.48\ \text{N}$。摩擦力与运动方向相反，因此：
5. $$W_f = -f_k \Delta x = -(8.48)(3.0) \approx -25.4\ \text{J}$$
6. 4. 计算合功：$W_\text{net} = 73.5 + 0 - 25.4 = 48.1\ \text{J}$
7. 5. 应用功-能定理：初动能 $K_i = 0$，因此：
8. $$v_f = \sqrt{\frac{2W_{\text{net}}}{m}} = \sqrt{\frac{2(48.1)}{5.0}} \approx 4.4\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 如果斜面相对于地面静止，无论倾角多大，支持力做功始终为零，因为支持力始终垂直于物块沿斜面滑动的方向。这一点能让你在大多数斜面问题中省去对支持力做功的额外计算。

## 功-能定理与机械能守恒的对比

学生经常混淆这两个相关概念，但功-能定理是更普适的情况，机械能守恒是由它推导得到的特例。我们可以将所有做功分为保守力做功（$W_c$，例如重力、弹簧弹力）和非保守力做功（$W_\text{nc}$，例如摩擦力、外力推力）。对于保守力，有 $W_c = -\Delta U$，其中 $\Delta U$ 是势能变化量。

$$W_{\text{net}} = W_c + W_{\text{nc}} = -\Delta U + W_{\text{nc}} = \Delta K$$

$$W_{\text{nc}} = \Delta K + \Delta U$$

当非保守力做功为零（$W_\text{nc} = 0$）时，上式就简化为我们熟悉的机械能守恒 $K_i + U_i = K_f + U_f$。功-能定理的一个核心优势是：如果你可以直接计算所有力做的功，就不需要引入势能，这简化了有摩擦力这类非保守力做功的问题。

**例题:** 一个质量0.5kg的球从地面竖直上抛，初速率为12 m/s。上升过程中空气阻力对球做了2 J的负功。求球能到达的最大高度。

1. 1. 到达最大高度时，末速率为0，因此 $K_f = 0$。计算初动能：
2. $$K_i = \frac{1}{2}(0.5)(12)^2 = 36\ \text{J}, \Delta K = -36\ \text{J}$$
3. 2. 合功是重力做功和空气阻力做功的和：
4. $$W_{\text{net}} = -mgh - 2 = -36\ \text{J}$$
5. 3. 整理求解 $h$：
6. $$mgh = 34 \implies h = \frac{34}{(0.5)(9.8)} \approx 6.9\ \text{m}$$
7. 这个结果和能量守恒框架 $W_\text{nc} = \Delta K + \Delta U$ 一致，验证了两种方法之间的联系。

> **考试提示:** 如果题目要求求解已知位移上的未知平均力，直接使用功-能定理。它不需要整理势能项，能将符号错误的概率降低一半。

## AP风格概念检测

**概念自测**

测试你对核心应用的理解：

1. 一辆质量1000kg的汽车以20 m/s的速率行驶，刹车后停下，留下了长50 m的刹车痕迹。使汽车停下的平均摩擦力大小是多少？

   - 2000 N
   - 4000 N
   - 8000 N
   - 10000 N

   *解析:* 根据功-能定理：$\Delta K = -200000\ \text{J} = -f d \implies f = 200000 / 50 = 4000\ \text{N}$。其他选项来自常见错误：A是正确值的一半，C是动能加倍后得到的结果，D等于汽车的重力。

## 常见错误

- **错误做法:** 使用单个外力的功代替合功，忽略重力或摩擦力。
  - 原因: 学生往往只关注题目中明确提到的力，忘记物体还受其他力作用。
  - 正确做法: 代入 $W_\text{net} = \Delta K$ 前，务必先列出物体受到的所有力，确认所有力的做功都已计入。
- **错误做法:** 即使物体的初动能不为零，仍使用 $W_\text{net} = K_f$ 计算。
  - 原因: 学生习惯了物体由静止开始运动的题目，记住了这个捷径，就错误地将其用到所有情况中。
  - 正确做法: 务必明确写出 $W_\text{net} = K_f - K_i$，即使你怀疑 $K_i$ 为零，也要代入它，确认它确实为零。
- **错误做法:** 物体向上运动高度 $h$ 时，错误写为 $W_g = +mgh$。
  - 原因: 学生将重力势能的增加误认为是重力做正功。
  - 正确做法: 记住：位移向下时（和重力同方向）重力做功为正，位移向上时（和重力反向）重力做功为负。如果不确定，可以画出力和位移矢量，检查它们的夹角。
- **错误做法:** 对多个物体组成的系统应用定理时，错误计入内力做的功。
  - 原因: 学生没有区分对单个物体做功和对整个系统做功。
  - 正确做法: 对于多个刚体组成的系统，合功仅包括外力做的功；对于系统总动能的变化，内力做功会相互抵消。
- **错误做法:** 直接用功-能定理从位移和初速率计算加速度。
  - 原因: 该定理将功（位移的函数）和动能变化（速率的函数）联系起来，并不涉及速率的变化率。
  - 正确做法: 先用定理求出末速率，如果需要加速度，再用运动学或牛顿第二定律求解。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 核心功-能定理 | $W_\text{net} = \Delta K = K_f - K_i$ | 对任意力类型的刚体始终成立 |
| 动能 | $K = \frac{1}{2}mv^2$ | 始终为正，仅和速率有关，与方向无关 |
| 恒力做功 | $W = F \Delta x \cos\theta$ | $\theta$ = 力与位移的夹角 |
| 合功计算方法1 | $W_\text{net} = F_\text{net} \Delta x \cos\theta$ | 适用于单一位移下合外力已知的情况 |
| 合功计算方法2 | $W_\text{net} = W_1 + W_2 + ... + W_n$ | 适用于多力情况；垂直力做功为零 |
| 弹簧做功 | $W_s = \frac{1}{2}k\left(x_i^2 - x_f^2\right)$ | 弹簧从压缩/伸长状态向平衡位置运动时做功为正 |
| 重力做功 | $W_g = mg \Delta y$ | $\Delta y$ 向下位移为正，向上位移为负 |
| 与能量守恒的关系 | $W_\text{nc} = \Delta K + \Delta U$ | $W_\text{nc}$ = 非保守力做功，$\Delta U$ = 势能变化量 |

## 下一步

功-能定理是AP物理1中所有基于能量解题方法的基础原理，也是第4单元：能量剩余所有内容的必要前置知识。该定理简化了许多原本需要复杂运动学计算的问题，它清晰地连接了基于力的运动分析方法和基于能量的运动分析方法。掌握该定理会让你更容易解决AP物理1考试后续出现的涉及弹簧、转动和功率的复杂问题，它是选择题和自由作答题都会定期考查的核心概念。接下来，你将在此基础上学习保守系统的机械能守恒。

- [机械能守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-conservation-of-mechanical-energy/)
- [功率与能量变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-power/)
- [第4单元 能量概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-overview/)

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