AP物理1 功与动能

AP物理1· AP物理1 课程与考试描述（CED）——能量· 14 分钟阅读

1. 恒力的机械功★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

机械功

W

力在一段位移上作用所传递的能量的标量度量，等于力矢量与位移矢量的点积。

W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta

其中 $θ$ 是力矢量与位移矢量之间的夹角，功的国际单位是焦耳（ $1 J = 1 N \cdot m$ ）。只有力平行于位移的分量才会做功，垂直分量做功为0，因为 $cos 9 0^{\circ} = 0$ 。当能量被施加到物体上时功为正（ $θ < 9 0^{\circ}$ ），当能量从物体上被移除时功为负（ $θ > 9 0^{\circ}$ ）。总功是所有不同力所做功的代数和。

📐 例题

一名学生用与水平方向成30°角的绳子在无摩擦的水平冰面上拉动一个12千克的雪橇，绳子的张力为40牛，雪橇水平移动了5.0米。求张力对雪橇做的功是多少？

1
确认已知数值，注意重力与支持力都和位移垂直，因此做功为0，只有张力对雪橇做功。
$F_T = 40\ \text{N}, \theta = 30^\circ, d = 5.0\ \text{m}$
2
应用恒力做功公式：
3
代入数值并计算：
$W = (40)(5.0)\cos(30^\circ) = 200(0.866) = 173.2\ \text{J}$
4
按照已知数值的有效数字要求保留两位有效数字：
$W = 170\ \text{J}$

Exam tip:

请始终确认题目给出的角度是从哪条轴开始测量的。如果角度是从竖直方向而非水平方向给出，请使用 $sin θ$ 而非 $cos θ$ 来得到力的平行分量。

2. 动能与功能定理★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

动能

K

物体由于运动而具有的能量，始终为非负值，是标量。

K = \frac{1}{2}mv^2

📘 定义

功能定理

W_{\text{net}} = \Delta K

所有力对物体做的总功等于该物体的动能变化量，该结论对恒力与变力场景均成立。

W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2

对于关联速度与位移的问题，该定理是牛顿运动学的高效替代方法，无需先计算加速度。

📐 例题

沿用前一例题中的雪橇场景，若雪橇从静止开始运动，移动5.0米后它的速度是多少？

1
总功等于张力做的功，因为摩擦力为0，其余力做功均为0，初始动能为0。
$W_{\text{net}} = 173\ \text{J}, K_i = 0$
2
应用功能定理：
$W_{\text{net}} = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0$
3
整理公式求解末速度并代入数值：
$v_f = \sqrt{\frac{2W_{\text{net}}}{m}} = \sqrt{\frac{2(173)}{12}} = \sqrt{28.8} \approx 5.4\ \text{m/s}$

Exam tip:

如果题目给出位移要求求解速度，请始终确认使用功能定理是否比运动学方法更快捷，这能让你在大多数选择题上节省1-2分钟的时间。

3. 变力做的功★★★☆☆⏱ 3 min

当力随位置变化时（例如弹簧弹力、变化的外力），恒力做功公式不再适用。在AP物理1的考试范围内，变力做的功等于力-位移（ $F - x$ ）图像上初始位置到末位置之间曲线下的总面积。

📐 例题

一个变力作用在沿x轴运动的2千克小车上，力的变化规律为： $F$ 从 $x = 0$ 处的0牛线性增加到 $x = 2$ 米处的8牛，在 $x = 2$ 米到 $x = 5$ 米区间内保持8牛恒定，随后从 $x = 5$ 米到 $x = 7$ 米线性减小回0牛。求该力在 $x = 0$ 到 $x = 7$ 米区间内做的总功是多少？

1
将图像拆分为三个区域分别计算面积：0-2米、2-5米、5-7米。
2
区域1（0-2米，三角形）：
$W_1 = \frac{1}{2} \times 2\ \text{m} \times 8\ \text{N} = 8\ \text{J}$
3
区域2（2-5米，矩形）：
$W_2 = (5-2)\ \text{m} \times 8\ \text{N} = 24\ \text{J}$
4
区域3（5-7米，三角形）：
$W_3 = \frac{1}{2} \times 2\ \text{m} \times 8\ \text{N} = 8\ \text{J}$
5
将各部分面积相加得到总功：
$W_{\text{total}} = 8 + 24 + 8 = 40\ \text{J}$

Exam tip:

如果在 $F - x$ 图像中力从正值变为负值，不要忘记减去负区域的面积，不能不考虑符号直接将所有面积相加。

4. 功率★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

功率

P

系统之间做功（或能量转移）的速率。国际单位是瓦特（ $1 W = 1 J/s$ ）。

时间间隔 $Δ t$ 内的平均功率由下式给出：

P_{\text{avg}} = \frac{W}{\Delta t}

对于瞬时功率（某一特定时刻的功率），当力 $F$ 与速度 $v$ 平行时，公式可简化为：

P = Fv

该公式通常用于涉及发动机、车辆或人体运动且已知输出功率的问题。

📐 例题

一辆质量为1500 kg的汽车从静止加速到20 m/s，摩擦可忽略不计。若汽车发动机的平均输出功率为40 kW，求加速过程需要多长时间？

1
发动机做的总功等于汽车动能的变化量：
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0 = 0.5(1500)(20)^2 = 300{,}000\ \text{J} = 300\ \text{kJ}$
2
将平均功率转换为标准国际单位（瓦）：
$40\ \text{kW} = 40{,}000\ \text{W}$
3
整理平均功率公式以求解时间：
$\Delta t = \frac{W}{P_{\text{avg}}} = \frac{300000}{40000} = 7.5\ \text{s}$

Exam tip:

在计算能量或时间之前，务必将千瓦转换为瓦（乘以1000）。一个常见错误是将功率保留为千瓦，最终得到的时间会比正确值小1000倍。

5. 常见陷阱

错误做法:

Using the full magnitude of an angled force in the work formula, omitting the $cos θ$ term.

原因:

Students memorize the simplified $W = F d$ for parallel forces and forget to adjust for angled forces.

正确做法:

Always resolve the force into parallel and perpendicular components, and only use the parallel component for work calculations.

错误做法:

Plugging work done by a single force into the work-energy theorem instead of net work.

原因:

Students confuse "work done by the applied force" with "net work from all forces".

正确做法:

Always sum work done by every force (including friction, gravity, and normal force) to get $W_{net}$ before applying the theorem.

错误做法:

Treating kinetic energy as a vector and adding it via vector components.

原因:

Students are used to working with velocity and force vectors, so they carry over vector addition to kinetic energy.

正确做法:

Remember kinetic energy is a scalar; add magnitudes directly, no components required.

错误做法:

Counting area below the x-axis on a $F - x$ graph as positive work.

原因:

Students remember "area equals work" but forget force direction changes the sign.

正确做法:

Always assign a negative sign to area below the x-axis when calculating total work.

错误做法:

Using $P = F v$ to calculate average power for an accelerating object.

原因:

Students memorize the simplified power formula and use it for any problem.

正确做法:

Only use $P = F v$ for instantaneous power; use $P_{avg} = W /Δ t$ for average power over a time interval.

6. 速查表

Category	Formula	Notes
Work by constant force	$W = F d cos θ$	$θ$ = angle between force and displacement; only parallel force does work
Net Work	$W_{net} = \sum W_{i}$	Sum of work done by all forces acting on the object
Kinetic Energy	$K = \frac{1}{2} m v^{2}$	Scalar, always non-negative; units are joules (J)
Work-Energy Theorem	$W_{net} = Δ K = K_{f} - K_{i}$	Applies to constant and variable forces
Work by variable force	$W = Area under F - x graph$	Area above x-axis = positive work; area below = negative work
Average Power	$P_{avg} = \frac{W}{Δ t}$	Units are watts (W) = 1 J/s
Instantaneous Power	$P = F v$	Only valid when force is parallel to velocity

下一步

Work and kinetic energy is the fundamental prerequisite for all remaining energy topics in AP Physics 1 Unit 4. Next, you will extend the work-energy theorem to include potential energy, stored energy due to position, leading to the principle of conservation of energy for closed systems. Without mastering how to calculate work and apply the work-energy theorem, you will not be able to correctly solve problems involving gravitational or elastic potential energy, which make up the majority of energy-related FRQ questions on the AP exam. This topic also connects directly to power in electric circuits later in the course, where power is defined identically as the rate of energy transfer.