AP Physics 1 功与动能

AP 物理 1· AP Physics 1 CED — 能量· 14 分钟阅读

1. 恒力的机械功★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

机械功

W

力作用一段位移传递能量的标量度量，等于力矢量和位移矢量的点积。

W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta

其中 $θ$ 是力矢量与位移矢量的夹角，功的国际单位是焦耳（ $1 J = 1 N \cdot m$ ）。只有平行于位移的力分量才会做功，垂直分量做功为零，因为 $cos 9 0^{\circ} = 0$ 。当能量输入物体时，功为正（ $θ < 9 0^{\circ}$ ）；当能量离开物体时，功为负（ $θ > 9 0^{\circ}$ ）。总功是所有单个力做功的代数和。

📐 例题

一名学生用绳子拉一个12kg的雪橇在无摩擦水平冰面上运动，绳子与水平方向成30°角，绳子张力为40N，雪橇水平移动了5.0m。求张力对雪橇做的功是多少？

1
确定已知量，注意重力和支持力都垂直于位移，因此做功为零，只有张力做功。
$F_T = 40\ \text{N}, \theta = 30^\circ, d = 5.0\ \text{m}$
2
应用恒力做功公式：
3
代入数值计算：
$W = (40)(5.0)\cos(30^\circ) = 200(0.866) = 173.2\ \text{J}$
4
根据给定值保留两位有效数字：
$W = 170\ \text{J}$

Exam tip:

务必确认题目给出的角度是从哪个轴开始测量的。如果角度是相对于竖直方向而非水平方向给出的，那么需要用 $sin θ$ 代替 $cos θ$ 来得到力的平行分量。

2. 动能与动能定理★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

动能

K

物体由于运动而具有的能量，始终为非负值，是标量。

K = \frac{1}{2}mv^2

📘 定义

动能定理

W_{\text{net}} = \Delta K

所有力对物体做的总功等于物体动能的变化量，对恒力和变力都成立。

W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2

对于涉及速度和位移关系的问题，该定理是牛顿运动学之外的一个强大工具，无需先计算加速度。

📐 例题

沿用上述例子中的雪橇，若雪橇从静止开始运动，求它移动5.0m后的速度是多少？

1
总功等于张力做的功，因为摩擦力为零，其他力做功为零，初始动能为零。
$W_{\text{net}} = 173\ \text{J}, K_i = 0$
2
应用动能定理：
$W_{\text{net}} = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0$
3
整理式子求解末速度，代入数值：
$v_f = \sqrt{\frac{2W_{\text{net}}}{m}} = \sqrt{\frac{2(173)}{12}} = \sqrt{28.8} \approx 5.4\ \text{m/s}$

Exam tip:

如果题目给出位移要求速度，永远先看看用动能定理是否比运动学更快，这能帮你在大多数选择题上节省1-2分钟。

3. 变力做的功★★★☆☆⏱ 3 min

当力随位置变化时（例如弹力、变化的外力），恒力做功公式不适用。对于AP Physics 1，变力做的功等于初始位置到末位置之间，力-位置（ $F$ vs. $x$ ）图像下的总面积。

📐 例题

一个变力作用在沿x轴运动的2kg小车上，力的分布为： $F$ 从 $x = 0$ 处的0N线性增加到 $x = 2$ m处的8N，在 $x = 2$ m到 $x = 5$ m之间保持8N不变，然后线性减小，到 $x = 7$ m处回到0N。求该力在 $x = 0$ 到 $x = 7$ m之间做的总功是多少？

1
将图像分为三个区域计算面积：0-2 m、2-5 m、5-7 m。
2
区域1（0-2 m，三角形）：
$W_1 = \frac{1}{2} \times 2\ \text{m} \times 8\ \text{N} = 8\ \text{J}$
3
区域2（2-5 m，矩形）：
$W_2 = (5-2)\ \text{m} \times 8\ \text{N} = 24\ \text{J}$
4
区域3（5-7 m，三角形）：
$W_3 = \frac{1}{2} \times 2\ \text{m} \times 8\ \text{N} = 8\ \text{J}$
5
将各区域面积相加得到总功：
$W_{\text{total}} = 8 + 24 + 8 = 40\ \text{J}$

Exam tip:

如果力在 $F - x$ 图像上从正变负，不要忘记减去负区域的面积，不要不考虑符号直接把所有面积相加。

4. 功率★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

功率

P

做功（或能量传递）的速率，国际单位是瓦特（ $1 W = 1 J/s$ ）。

一段时间间隔 $Δ t$ 内的平均功率公式为：

P_{\text{avg}} = \frac{W}{\Delta t}

对于瞬时功率（某一时刻的功率），当力 $F$ 平行于速度 $v$ 时，公式简化为：

P = Fv

该公式常用于涉及发动机、车辆或人体运动的问题，这类题目会给出功率输出。

📐 例题

一辆质量1500kg的汽车从静止加速到20m/s，摩擦可忽略。若发动机输出的平均功率为40kW，加速过程需要多少时间？

1
发动机做的总功等于汽车动能的变化量：
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0 = 0.5(1500)(20)^2 = 300{,}000\ \text{J} = 300\ \text{kJ}$
2
将平均功率转换为标准国际单位（瓦特）：
$40\ \text{kW} = 40{,}000\ \text{W}$
3
整理平均功率公式求解时间：
$\Delta t = \frac{W}{P_{\text{avg}}} = \frac{300000}{40000} = 7.5\ \text{s}$

Exam tip:

计算能量或时间前，务必将千瓦转换为瓦（乘以1000）。一个常见错误是功率保留千瓦单位，导致得到的时间比正确值小1000倍。

5. 常见陷阱

错误做法:

在做功公式中直接使用倾斜力的全量大小，省略 $cos θ$ 项。

原因:

学生记住了平行力的简化公式 $W = F d$ ，忘记对倾斜力做调整。

正确做法:

务必将力分解为平行分量和垂直分量，只有平行分量用于做功计算。

错误做法:

将单个力做的功代入动能定理，而非总功。

原因:

学生混淆了"外力做的功"和"所有力的总功"。

正确做法:

应用定理前，务必将所有力做的功（包括摩擦力、重力、支持力）相加得到 $W_{net}$ 。

错误做法:

将动能视为矢量，用矢量分量相加。

原因:

学生习惯了处理速度和力矢量，因此把矢量加法带到动能中。

正确做法:

记住动能是标量，直接相加大小即可，不需要分解分量。

错误做法:

将 $F - x$ 图像x轴下方的面积算作正功。

原因:

学生记住了"面积等于功"，但忘记力的方向会改变功的符号。

正确做法:

计算总功时，务必给x轴下方的面积加上负号。

错误做法:

使用 $P = F v$ 计算加速物体的平均功率。

原因:

学生记住了简化的功率公式，就对所有问题都用它。

正确做法:

$P = F v$ 仅用于计算瞬时功率；一段时间内的平均功率使用 $P_{avg} = W /Δ t$ 。

6. 速查表

类别	公式	说明
恒力做功	$W = F d cos θ$	$θ$ = 力与位移的夹角；只有平行力做功
总功	$W_{net} = \sum W_{i}$	作用在物体上所有力做功的和
动能	$K = \frac{1}{2} m v^{2}$	标量，始终非负；单位为焦耳（J）
动能定理	$W_{net} = Δ K = K_{f} - K_{i}$	对恒力和变力都成立
变力做功	$W = Area under F - x graph$	x轴上方面积 = 正功；x轴下方面积 = 负功
平均功率	$P_{avg} = \frac{W}{Δ t}$	单位为瓦特（W） = 1 J/s
瞬时功率	$P = F v$	仅当力平行于速度时成立

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
力-位置图像中的功
2022 · FRQ
动能定理的应用

下一步

功和动能是AP Physics 1第4单元所有后续能量主题的基础先修内容。接下来，你会将动能定理扩展，引入由位置决定的储存能量——势能，进而得到封闭系统的能量守恒定律。如果不掌握功的计算和动能定理的应用，你无法正确求解涉及引力势能或弹性势能的问题，而这类问题占AP考试中能量相关自由问答题的大部分。本主题还直接关联课程后续电路中的功率，电路中功率的定义同样是能量传递的速率。