# AP Physics 1 功与动能

> AP 物理 1 · 第4单元：能量
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-work-and-kinetic-energy/

本模块涵盖机械功、动能、动能定理、力-位置图像中的变力做功，以及功率，符合AP Physics 1 CED第4单元要求，包含例题和考试提示。

**先修:** 将矢量分解为平行分量和垂直分量; 牛顿第二定律和匀加速运动学; 计算简单几何图形的面积

## 学习目标

- 定义机械功和动能
- 计算恒力和变力做的功
- 应用动能定理求解运动问题
- 计算平均功率和瞬时功率
- 求解AP风格的功与能量问题

## 恒力的机械功

**机械功** — 力作用一段位移传递能量的标量度量，等于力矢量和位移矢量的点积。

*记法:* W

$$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta$$

其中$\theta$是力矢量与位移矢量的夹角，功的国际单位是焦耳（$1\ \text{J} = 1\ \text{N} \cdot \text{m}$）。只有平行于位移的力分量才会做功，垂直分量做功为零，因为$\cos 90^\circ = 0$。当能量输入物体时，功为正（$\theta < 90^\circ$）；当能量离开物体时，功为负（$\theta > 90^\circ$）。总功是所有单个力做功的代数和。

**例题:** 一名学生用绳子拉一个12kg的雪橇在无摩擦水平冰面上运动，绳子与水平方向成30°角，绳子张力为40N，雪橇水平移动了5.0m。求张力对雪橇做的功是多少？

1. 确定已知量，注意重力和支持力都垂直于位移，因此做功为零，只有张力做功。

   $$F_T = 40\ \text{N}, \theta = 30^\circ, d = 5.0\ \text{m}$$
2. 应用恒力做功公式：
3. 代入数值计算：

   $$W = (40)(5.0)\cos(30^\circ) = 200(0.866) = 173.2\ \text{J}$$
4. 根据给定值保留两位有效数字：

   $$W = 170\ \text{J}$$

> **考试提示:** 务必确认题目给出的角度是从哪个轴开始测量的。如果角度是相对于竖直方向而非水平方向给出的，那么需要用$\sin\theta$代替$\cos\theta$来得到力的平行分量。

## 动能与动能定理

**动能** — 物体由于运动而具有的能量，始终为非负值，是标量。

*记法:* K

$$K = \frac{1}{2}mv^2$$

**动能定理** — 所有力对物体做的总功等于物体动能的变化量，对恒力和变力都成立。

*记法:* W_{\text{net}} = \Delta K

$$W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

对于涉及速度和位移关系的问题，该定理是牛顿运动学之外的一个强大工具，无需先计算加速度。

**例题:** 沿用上述例子中的雪橇，若雪橇从静止开始运动，求它移动5.0m后的速度是多少？

1. 总功等于张力做的功，因为摩擦力为零，其他力做功为零，初始动能为零。

   $$W_{\text{net}} = 173\ \text{J}, K_i = 0$$
2. 应用动能定理：

   $$W_{\text{net}} = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0$$
3. 整理式子求解末速度，代入数值：

   $$v_f = \sqrt{\frac{2W_{\text{net}}}{m}} = \sqrt{\frac{2(173)}{12}} = \sqrt{28.8} \approx 5.4\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 如果题目给出位移要求速度，永远先看看用动能定理是否比运动学更快，这能帮你在大多数选择题上节省1-2分钟。

## 变力做的功

当力随位置变化时（例如弹力、变化的外力），恒力做功公式不适用。对于AP Physics 1，变力做的功等于初始位置到末位置之间，力-位置（$F$ vs. $x$）图像下的总面积。

> **info**
>
> x轴上方的面积 = 正功；x轴下方的面积 = 负功。将图像拆分为简单几何图形（三角形、矩形、梯形）即可计算总面积。

**例题:** 一个变力作用在沿x轴运动的2kg小车上，力的分布为：$F$从$x=0$处的0N线性增加到$x=2$m处的8N，在$x=2$m到$x=5$m之间保持8N不变，然后线性减小，到$x=7$m处回到0N。求该力在$x=0$到$x=7$m之间做的总功是多少？

1. 将图像分为三个区域计算面积：0-2 m、2-5 m、5-7 m。
2. 区域1（0-2 m，三角形）：

   $$W_1 = \frac{1}{2} \times 2\ \text{m} \times 8\ \text{N} = 8\ \text{J}$$
3. 区域2（2-5 m，矩形）：

   $$W_2 = (5-2)\ \text{m} \times 8\ \text{N} = 24\ \text{J}$$
4. 区域3（5-7 m，三角形）：

   $$W_3 = \frac{1}{2} \times 2\ \text{m} \times 8\ \text{N} = 8\ \text{J}$$
5. 将各区域面积相加得到总功：

   $$W_{\text{total}} = 8 + 24 + 8 = 40\ \text{J}$$

> **考试提示:** 如果力在$F-x$图像上从正变负，不要忘记减去负区域的面积，不要不考虑符号直接把所有面积相加。

## 功率

**功率** — 做功（或能量传递）的速率，国际单位是瓦特（$1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$）。

*记法:* P

一段时间间隔$\Delta t$内的平均功率公式为：

$$P_{\text{avg}} = \frac{W}{\Delta t}$$

对于瞬时功率（某一时刻的功率），当力$F$平行于速度$v$时，公式简化为：

$$P = Fv$$

该公式常用于涉及发动机、车辆或人体运动的问题，这类题目会给出功率输出。

**例题:** 一辆质量1500kg的汽车从静止加速到20m/s，摩擦可忽略。若发动机输出的平均功率为40kW，加速过程需要多少时间？

1. 发动机做的总功等于汽车动能的变化量：

   $$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0 = 0.5(1500)(20)^2 = 300{,}000\ \text{J} = 300\ \text{kJ}$$
2. 将平均功率转换为标准国际单位（瓦特）：

   $$40\ \text{kW} = 40{,}000\ \text{W}$$
3. 整理平均功率公式求解时间：

   $$\Delta t = \frac{W}{P_{\text{avg}}} = \frac{300000}{40000} = 7.5\ \text{s}$$

> **考试提示:** 计算能量或时间前，务必将千瓦转换为瓦（乘以1000）。一个常见错误是功率保留千瓦单位，导致得到的时间比正确值小1000倍。

## 常见错误

- **错误做法:** 在做功公式中直接使用倾斜力的全量大小，省略$\cos\theta$项。
  - 原因: 学生记住了平行力的简化公式$W=Fd$，忘记对倾斜力做调整。
  - 正确做法: 务必将力分解为平行分量和垂直分量，只有平行分量用于做功计算。
- **错误做法:** 将单个力做的功代入动能定理，而非总功。
  - 原因: 学生混淆了"外力做的功"和"所有力的总功"。
  - 正确做法: 应用定理前，务必将所有力做的功（包括摩擦力、重力、支持力）相加得到$W_{\text{net}}$。
- **错误做法:** 将动能视为矢量，用矢量分量相加。
  - 原因: 学生习惯了处理速度和力矢量，因此把矢量加法带到动能中。
  - 正确做法: 记住动能是标量，直接相加大小即可，不需要分解分量。
- **错误做法:** 将$F-x$图像x轴下方的面积算作正功。
  - 原因: 学生记住了"面积等于功"，但忘记力的方向会改变功的符号。
  - 正确做法: 计算总功时，务必给x轴下方的面积加上负号。
- **错误做法:** 使用$P=Fv$计算加速物体的平均功率。
  - 原因: 学生记住了简化的功率公式，就对所有问题都用它。
  - 正确做法: $P=Fv$仅用于计算瞬时功率；一段时间内的平均功率使用$P_{\text{avg}} = W/\Delta t$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 恒力做功 | $W = Fd\cos\theta$ | $\theta$ = 力与位移的夹角；只有平行力做功 |
| 总功 | $W_{\text{net}} = \sum W_i$ | 作用在物体上所有力做功的和 |
| 动能 | $K = \frac{1}{2}mv^2$ | 标量，始终非负；单位为焦耳（J） |
| 动能定理 | $W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i$ | 对恒力和变力都成立 |
| 变力做功 | $W = \text{Area under } F-x \text{ graph}$ | x轴上方面积 = 正功；x轴下方面积 = 负功 |
| 平均功率 | $P_{\text{avg}} = \frac{W}{\Delta t}$ | 单位为瓦特（W） = 1 J/s |
| 瞬时功率 | $P = Fv$ | 仅当力平行于速度时成立 |

## 下一步

功和动能是AP Physics 1第4单元所有后续能量主题的基础先修内容。接下来，你会将动能定理扩展，引入由位置决定的储存能量——势能，进而得到封闭系统的能量守恒定律。如果不掌握功的计算和动能定理的应用，你无法正确求解涉及引力势能或弹性势能的问题，而这类问题占AP考试中能量相关自由问答题的大部分。本主题还直接关联课程后续电路中的功率，电路中功率的定义同样是能量传递的速率。

- [AP物理1 功-能定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-work-energy-theorem/)
- [引力势能和弹性势能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-gravitational-and-elastic-potential-energy/)
- [机械能守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-conservation-of-mechanical-energy/)

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