# 引力势能和弹性势能

> AP 物理 1 · AP 物理 1 CED 第4单元：能量
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-gravitational-and-elastic-potential-energy/

本符合大纲要求的AP物理1学习指南涵盖了地球表面附近的引力势能、理想弹簧的弹性势能，以及机械能守恒在同时包含两种势能的系统中的应用。

**先修:** 功和动能的功-能定理; 理想弹簧的胡克定律; 能量分析中封闭系统的定义

## 学习目标

- 将引力势能和弹性势能定义为系统属性
- 计算地球表面附近的引力势能变化
- 计算理想弹簧的弹性势能
- 将机械能守恒应用于同时包含两种势能的问题

## 势能的核心概念

势能是封闭系统中由相互作用物体相对位置产生的储存能量。引力势能因质量间的引力相互作用储存；在AP物理1中，我们仅研究地球表面附近重力近似恒定的情况。弹性势能储存在理想弹簧这类被拉伸或压缩偏离平衡的弹性物体中。按照惯例，我们用$U$表示势能，$U_g$表示引力势能，$U_s$（或$U_{el}$）表示弹性势能。只有势能的变化具有物理意义，因此我们可以任选参考点令$U=0$。本知识点占你AP物理1考试总分的约6-9%，会同时出现在选择题和自由问答题中。

**势能** — 封闭系统中由相互作用物体相对位置产生的储存能量

*例:* 物体高出地球表面的高度带来的引力势能，拉伸弹簧带来的弹性势能

## 地球表面附近的引力势能

引力势能描述了引力场中质量分离储存的能量。在地球表面，质量$m$受到的引力近似恒定，方向向下。质量改变位置时，质量-地球系统的引力势能变化等于重力做功的负值：

$$\Delta U_g = -W_g$$

如果质量的高度变化为$\Delta y = y_{final} - y_{initial}$（向上为正方向），重力做功为$W_g = -mg\Delta y$。代入后得到：

$$\Delta U_g = mg\Delta y$$

如果我们选择$U_g = 0$的参考点，就可以写出$U_g = mgy$，其中$y$是质量相对于该参考点的高度。增加质量的高度会增加储存的引力势能，这符合直觉，因为物体下落时储存的能量可以转化为运动。

**例题:** 一名62 kg的徒步者从海拔1200 m的步道起点攀登到海拔2450 m的山顶。徒步者-地球系统的引力势能变化是多少？如果徒步者将起点设为$U_g = 0$，山顶处的$U_g$是多少？

1. 确定已知量：$m = 62\ \text{kg}$，$g = 9.8\ \text{m/s}^2$，$\Delta y = 2450\ \text{m} - 1200\ \text{m} = 1250\ \text{m}$。
2. 使用引力势能变化公式：
3. $$\Delta U_g = mg\Delta y$$
4. 计算变化量：
5. $$\Delta U_g = (62)(9.8)(1250) = 759500\ \text{J} \approx 7.6 \times 10^5\ \text{J}$$
6. 如果$U_{g,\text{起点}} = 0$，那么$U_{g,\text{山顶}} = U_{g,\text{起点}} + \Delta U_g = 0 + 7.6 \times 10^5\ \text{J} = 7.6 \times 10^5\ \text{J}$。

> **考试提示:** 始终确认$\Delta y$是竖直高度的变化，不是水平距离或步道长度——AP 1考试经常给出步道长度来考察这个区分。

## 理想弹簧的弹性势能

弹性势能储存在被拉伸或压缩偏离平衡（原长）位置的理想弹簧（或其他弹性材料）中。理想弹簧服从胡克定律：

$$F_s = -kx$$

其中$x$是偏离平衡的位移，$k$是劲度系数（衡量弹簧刚度，单位N/m）。要得到弹性势能，我们使用势能变化等于保守弹簧力做功负值的关系。弹簧从平衡位置（$x=0$）运动到位移$x$时，弹簧做的功为$W_s = -\frac{1}{2}kx^2$，因此我们得到标准公式，平衡位置处$U_s = 0$（这是AP 1的标准惯例）：

$$U_s = \frac{1}{2}kx^2$$

注意$x$是平方项，因此将弹簧拉伸0.1 m储存的能量和压缩0.1 m储存的能量相同。刚度更大的弹簧（$k$更大）在相同位移下储存更多能量，能量随位移的平方增长，因此位移加倍储存的能量变为四倍。

**例题:** 一个0.25 kg的物块压在水平放置的劲度系数为120 N/m的弹簧上，将弹簧从平衡位置压缩了0.15 m。物块-弹簧系统中储存了多少弹性势能？如果压缩量变为原来的两倍，储存的能量变为原来的几倍？

1. 确定已知量：$k = 120\ \text{N/m}$，$x = 0.15\ \text{m}$，$x=0$处$U_s = 0$。
2. 使用弹性势能公式：
3. $$U_s = \frac{1}{2}kx^2 = 0.5(120)(0.15)^2 = 1.35\ \text{J} \approx 1.4\ \text{J}$$
4. 压缩量加倍后，新位移$x' = 2x$，因此：
5. $$U_s' = \frac{1}{2}k(2x)^2 = 4\left(\frac{1}{2}kx^2\right) = 4U_s$$
6. 储存的能量变为原来的4倍。

> **考试提示:** 绝对不要将弹簧的总长度用作$x$——$x$始终是偏离平衡（原长）的位移，因此你必须用拉伸/压缩后的长度减去原长得到$x$。

## 包含多种势能的机械能守恒

封闭系统的总机械能是动能、引力势能和弹性势能的和：

$$E_{mech} = K + U_g + U_s$$

如果没有非保守力（摩擦力、空气阻力、外力推力）对系统做净功，总机械能守恒。这意味着初始总机械能等于末态总机械能：

$$K_i + U_{g,i} + U_{s,i} = K_f + U_{g,f} + U_{s,f}$$

这是AP物理1中最有用的解题工具之一，因为它让你不需要计算运动过程中每个点的加速度或力就能得到速度或位置。为了简化计算，始终为$U_g$选择方便的零参考点，通常将$U_g=0$设在运动的最低点，这样该位置的势能项在最终计算中为零。

**例题:** 一个0.50 kg的球从竖直放置的原长弹簧上方2.0 m处由静止释放。弹簧被压缩0.25 m后球瞬间停止。假设没有空气阻力，求弹簧的劲度系数？

1. 将系统定义为球、地球和弹簧（无非保守做功，因此能量守恒）。将最大压缩位置设为$U_g = 0$，因此$U_{g,f} = 0$。
2. 确定初末态能量：初态：$K_i = 0$（由静止释放），$U_{s,i} = 0$（弹簧原长），$U_{g,i} = mg(2.0\ \text{m} + 0.25\ \text{m}) = mg(2.25\ \text{m})$（从初态到末态的总高度变化包含压缩量）。末态：$K_f = 0$（瞬间停止），$U_{s,f} = \frac{1}{2}k(0.25\ \text{m})^2$，$U_{g,f} = 0$。
3. 代入能量守恒公式：
4. $$0 + mg(2.25) + 0 = 0 + 0 + \frac{1}{2}k(0.25)^2$$
5. 求解$k$：
6. $$k = \frac{2mg(2.25)}{(0.25)^2} = \frac{2(0.50)(9.8)(2.25)}{0.0625} \approx 350\ \text{N/m}$$

**概念自测**

测试你对弹性势能比例关系的理解：

1. 一名学生拉伸两根弹簧。弹簧1的劲度系数为$2k$，被拉伸了$x$。弹簧2的劲度系数为$k$，被拉伸了$3x$。弹簧1储存的弹性势能和弹簧2相比如何？

   - A) $U_1 = \frac{2}{9} U_2$
   - B) $U_1 = \frac{1}{3} U_2$
   - C) $U_1 = \frac{2}{3} U_2$
   - D) $U_1 = 2 U_2$

   *解析:* 正确。使用$U_s = \frac{1}{2}kx^2$，$U_1 = kx^2$，$U_2 = \frac{9}{2}kx^2$，所以$\frac{U_1}{U_2} = \frac{2}{9}$。

**例题:** 一辆0.40 kg的玩具车在无摩擦轨道上运动，轨道起点是一个山坡，末端水平段连接一个弹簧缓冲器。小车从坡顶由静止出发，坡顶比水平段高1.5 m。弹簧缓冲器的劲度系数为80 N/m。(a) 计算小车到达水平段、撞击弹簧前的速度。(b) 计算小车瞬间停止时弹簧的最大压缩量。(c) 一名学生认为如果小车从两倍高度出发，弹簧最大压缩量也会加倍。你同意这个说法吗？证明你的结论。

1. (a)问：将水平段设为$U_g = 0$。根据能量守恒，所有初始引力势能都转化为动能：
2. $$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$
3. 质量约去，求解$v$：
4. $$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.8)(1.5)} \approx 5.4\ \text{m/s}$$
5. (b)问：最大压缩时，所有引力势能都转化为弹性势能：
6. $$mgh = \frac{1}{2}kx^2$$
7. 求解$x$：
8. $$x = \sqrt{\frac{2mgh}{k}} = \sqrt{\frac{2(0.40)(9.8)(1.5)}{80}} = \sqrt{0.147} \approx 0.38\ \text{m}$$
9. (c)问：该说法错误。从上述关系可得，$x = \sqrt{\frac{2mgh}{k}}$，因此$x$与$\sqrt{h}$成正比，而非$h$。如果$h$加倍，$x' = \sqrt{2}x \approx 1.41x$，因此压缩量变为原来的$\sqrt{2}$倍，而非2倍。

> **考试提示:** 始终画出初末位置，确认所有位移/高度变化——学生在这类问题中几乎总是忘记将弹簧压缩量加到总高度变化中。

## 常见错误

- **错误做法:** 在弹性势能公式中使用弹簧总长度，而非偏离平衡的位移。
  - 原因: 题目通常会同时给出原长和拉伸后的长度来考察理解，学生默认使用给出的更大数值。
  - 正确做法: 代入$U_s = \frac{1}{2}kx^2$之前，每次都要将$x$计算为$|\text{末长度} - \text{原平衡长度}|$。
- **错误做法:** 求解下落物体压竖直弹簧的能量问题时，忘记将弹簧压缩/伸长量加到总高度变化中。
  - 原因: 学生只计算物体在原长弹簧上方的高度，忽略了物体压缩弹簧过程中额外下落的距离。
  - 正确做法: 始终测量从物体初始位置到末位置的总高度变化，不管弹簧怎么形变。
- **错误做法:** 当物体在选定的零参考点下方时，去掉$U_g$的负号。
  - 原因: 学生认为势能永远不能为负，忘记只有势能的变化才具有物理意义。
  - 正确做法: 保持$U_g$的符号等于$y$相对于零参考点的符号；势能变化的结果仍然是正确的。
- **错误做法:** 认为弹簧拉伸距离加倍，储存的弹性势能也加倍。
  - 原因: 学生混淆了线性的力-位移胡克定律关系和二次的能量-位移关系。
  - 正确做法: 记住能量和位移的平方成正比，因此位移加倍，储存的能量变为四倍。
- **错误做法:** 将势能看作单个物体的属性，而非相互作用物体组成的系统的属性。
  - 原因: 教材经常使用“徒步者的势能”这类简写，导致这个错误，而AP 1会明确考察这个点。
  - 正确做法: 明确说明系统：引力势能属于徒步者-地球系统，弹性势能属于弹簧-物块系统。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 引力势能变化 | $\Delta U_g = mg\Delta y$ | 仅适用于$g$恒定的地球表面附近。$\Delta y = y_{末} - y_{初}$，向上为正方向。只有$\Delta U$具有物理意义。 |
| 引力势能（带参考点） | $U_g = mgy$ | $y$ = 相对于选定$U_g=0$参考点的高度。参考点下方的位置$y$可以为负。 |
| 弹性势能（理想弹簧） | $U_s = \frac{1}{2}kx^2$ | $x$ = 偏离平衡的位移。$U_s=0$在平衡位置，压缩和拉伸储存的能量相同。 |
| 总机械能 | $E_{mech} = K + U_g + U_s$ | $K = \frac{1}{2}mv^2$ = 系统内所有运动物体的总动能。 |
| 机械能守恒 | $K_i + U_{g,i} + U_{s,i} = K_f + U_{g,f} + U_{s,f}$ | 仅适用于非保守力（摩擦力、外力推力）不做净功的情况。 |
| 势能-功关系 | $\Delta U = -W_{conservative}$ | 势能变化等于保守力（重力、弹簧力）做功的负值。 |
| 势能的系统属性 | $U_g$属于相互作用质量组成的系统 | 永远不要将$U_g$归为单个质量所有；AP 1经常考察这个概念点。 |

## 下一步

本知识点是AP物理1后续所有基于能量解题的基础。接下来，你会将能量守恒推广到解释摩擦力这类非保守力做的功，这些力会将机械能转化为热能，进而得到完整、通用的功-能定理。如果不掌握如何正确计算引力势能和弹性势能，你无法解决课程后续出现的碰撞、简谐运动或转动系统的能量问题。本知识点还建立了对能量守恒的核心理解，它是适用于AP物理1和所有物理系统的基本定律，因此是考试备考的高优先级知识点。

- [机械能守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-conservation-of-mechanical-energy/)
- [功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-power/)
- [动量概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u5-overview/)

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