# 行星与卫星的轨道运动

> AP 物理 1 · 第3单元：圆周运动与万有引力
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-orbital-motion-of-planets-and/

本符合AP物理1大纲的学习指南涵盖圆轨道运动、万有引力向心力推导、开普勒三定律、轨道速度/周期计算，以及束缚轨道与非束缚轨道的能量比较。

**先修:** [牛顿万有引力定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-gravitational-forces/); 匀速圆周运动的向心加速度; 平方反比关系的代数变形

## 学习目标

- 从万有引力向心力平衡推导轨道速度和周期
- 将开普勒三定律应用于概念题和计算题
- 计算不同圆轨道之间的能量变化
- 区分束缚引力轨道和非束缚引力轨道

## 圆轨道中万有引力作为向心力

对于绕静止中心天体的任意匀速圆轨道（我们假设中心天体质量远大于绕行天体质量，因此中心天体的加速度可忽略），作用在绕行天体上的唯一力是中心天体的万有引力，方向指向轨道中心。这意味着万有引力恰好是维持物体做圆周运动所需的向心力。

$$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}$$

其中 $M$ = 中心天体质量，$m$ = 绕行天体质量，$r$ = 轨道半径（两质心之间的距离），$G$ = 万有引力常量，$v$ = 轨道速度，$T$ = 轨道周期。立刻可以得到一个关键结论：绕行天体质量 $m$ 从方程中完全消去。这说明轨道速度和周期与卫星/行星的质量无关，仅取决于中心天体质量和轨道半径。化简后得到两个核心公式：

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \quad \text{and} \quad T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}$$

**例题:** 一颗质量为500 kg的人造卫星进入位于地球表面上方400 km的圆轨道。地球质量为 $6.0 \times 10^{24}$ kg，地球半径为6400 km。求该卫星的轨道速度？

1. 首先计算从地心到卫星的总轨道半径 $r$：

   $$r = R_{\text{Earth}} + h = 6400\ \text{km} + 400\ \text{km} = 6800\ \text{km} = 6.8 \times 10^6\ \text{m}$$
2. 我们知道轨道速度是 $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，注意到卫星质量500 kg会被消去，因此计算中不需要用到该值。
3. 代入 $GM$ 的数值：

   $$GM = (6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^2/\text{kg}^2)(6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}) \approx 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$$
4. 化简后得到轨道速度：

   $$v = \sqrt{\frac{4.0 \times 10^{14}}{6.8 \times 10^6}} \approx \sqrt{5.88 \times 10^7} \approx 7.7 \times 10^3\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 一定要将中心天体的半径与卫星距地表的高度相加，才能得到正确的轨道半径 $r$；忘记这一步是这类问题最常见的错误。

*计算器:* allowed

## 开普勒行星运动三定律

在牛顿提出万有引力定律的几十年前，开普勒就从观测数据中总结出了三条行星运动的经验定律。牛顿后来证明，开普勒定律是平方反比引力的自然结果，至今仍是AP物理1的核心概念工具。AP物理1的计算几乎只考察匀速圆轨道，椭圆轨道仅通过开普勒定律做定性考察，不要求计算偏心率或其他椭圆参数。

1. **轨道定律**：所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于椭圆的两个焦点之一。圆轨道是椭圆的特殊情况，此时两个焦点重合于圆心。
2. **面积定律**：连接行星与太阳的线段在相等时间内扫过相等的面积。这一结论来自角动量守恒，因此行星在近日点（离太阳最近的点）运动更快，在远日点（离太阳最远的点）运动更慢。
3. **周期定律**：轨道周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。对于圆轨道，半长轴等于轨道半径 $r$，所以 $T^2 \propto r^3$。对于绕同一中心天体运动的所有天体，可得到比例 $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$。

**例题:** 地球绕太阳运动的周期为1年，平均轨道半径为1 AU（天文单位）。矮行星谷神星的平均轨道半径为2.77 AU，求谷神星的轨道周期（单位：年）？

1. 两个天体绕同一中心天体（太阳）运动，因此适用开普勒第三定律比例式：

   $$\frac{T_E^2}{r_E^3} = \frac{T_C^2}{r_C^3}$$
2. 整理方程求解 $T_C$：

   $$T_C = T_E \left(\frac{r_C}{r_E}\right)^{3/2}$$
3. 代入数值：$T_E = 1\ \text{yr}$，$\frac{r_C}{r_E} = 2.77$，因此 $T_C = (2.77)^{3/2} = 2.77 \times \sqrt{2.77}$
4. 计算得到最终周期：

   $$T_C \approx 2.77 \times 1.66 \approx 4.6\ \text{years}$$

> **考试提示:** 对于使用开普勒第三定律的比例问题，只要两个天体的单位一致，就可以保留AU、年这类单位，不需要进行单位换算，这能在选择题中节省宝贵的时间。

*计算器:* allowed

## 轨道运动中的能量

对于任意束缚圆轨道，我们可以将总机械能计算为动能 $K$ 与引力势能 $U$ 之和，采用的常规约定是：在距离中心天体无穷远处 $U = 0$。我们已知 $K = \frac{1}{2}mv^2$ 和 $U = -G\frac{Mm}{r}$。

将 $v^2 = \frac{GM}{r}$ 代入动能公式：$K = \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{r}\right) = \frac{GMm}{2r}$。由此得到一个有用的关系：对于任意圆轨道，$K = -\frac{1}{2}U$。将动能和势能相加得到总能量：

$$E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$$

核心概念结论：(1) 束缚轨道的总能量为负，说明绕行天体没有足够能量摆脱中心天体的引力。(2) 如果总能量大于等于零，则轨道是非束缚的，天体会逃逸，不会再返回。(3) 当卫星移动到更高的轨道（更大的 $r$）时，尽管轨道速度和动能减小，但势能增加的量大于动能减小的量，因此总能量增加（负得更少）。

**例题:** 一颗卫星从半径为 $r$ 的圆轨道移动到半径为 $2r$ 的新圆轨道，卫星的总机械能如何变化？

1. 写出圆轨道总能量的公式：

   $$E = -\frac{GMm}{2r}$$
2. 计算初始能量：

   $$E_1 = -\frac{GMm}{2r}$$
3. 计算新轨道的末态能量：

   $$E_2 = -\frac{GMm}{2(2r)} = -\frac{GMm}{4r}$$
4. 比较两个值：$-\frac{GMm}{4r}$ 比 $-\frac{GMm}{2r}$ 更大，因为它负得更少。
5. 结论：卫星的总机械能增加了 $\frac{GMm}{4r}$。

> **考试提示:** 绝对不要漏掉引力势能或轨道总能量的负号；符号是区分束缚轨道和非束缚逃逸轨道的关键。

*计算器:* allowed

## AP风格概念检测

**概念自测**

用这些AP风格的练习题测试你的理解：

1. 两颗卫星，质量为 $m$ 的卫星A和质量为 $2m$ 的卫星B，在相同半径 $r$ 的圆轨道上绕地球运动。以下哪项正确比较了它们的轨道速度和周期？

   - A. $v_A = v_B$ and $T_A = T_B$
   - B. $v_A < v_B$ and $T_A < T_B$
   - C. $v_A > v_B$ and $T_A < T_B$
   - D. $v_A = v_B$ and $T_A < T_B$

   *解析:* 绕行质量会从所有轨道速度和周期公式中消去，因此只要轨道半径相等，无论卫星质量如何，速度和周期都相等。

## 常见错误

- **错误做法:** 仅将卫星距地表的高度用作轨道半径 $r$，而没有加上中心天体的半径。
  - 原因: 题目几乎总是给出距地表的高度，而非距中心的距离，因此学生容易忘记轨道半径的定义。
  - 正确做法: 一定要确认题目给出的距离是距中心还是距地表；如果是距地表，代入任何轨道公式前都要加上中心天体的半径。
- **错误做法:** 在题目未给出绕行质量 $m$ 时，试图用它求解轨道速度或周期。
  - 原因: 学生在受力平衡分析中忘记消去 $m$，因为他们习惯在牛顿第二定律中保留所有变量。
  - 正确做法: 推导时一定要提前消去绕行质量；圆轨道的轨道速度和周期永远与绕行质量无关。
- **错误做法:** 认为高轨道卫星比低轨道卫星的轨道速度更大、动能更多。
  - 原因: 学生将总能量与动能混淆；高轨道的总能量更高，因此错误认为动能也更高。
  - 正确做法: 记住 $v = \sqrt{GM/r}$：当 $r$ 增大时，$v$ 减小，因此即使总能量增加，动能也会减小。
- **错误做法:** 认为轨道上的宇航员失重是因为轨道中没有重力。
  - 原因: 大众媒体经常重复这个错误信息，因此学生记住了错误的解释。
  - 正确做法: 正确解释是：宇航员失重是因为他们和航天器一起处于持续自由下落状态；重力仍然提供向心力维持他们的轨道运动。
- **错误做法:** 忘记开普勒第二定律仅适用于椭圆轨道，错误认为圆轨道的速度是变化的。
  - 原因: 学生将面积定律推广到圆轨道，而圆轨道到中心的距离是恒定的。
  - 正确做法: 记住：在圆轨道中，到中心的距离恒定，因此速度恒定，这符合开普勒定律，也符合匀速圆周运动的规律。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 引力向心力平衡 | $G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} = m \frac{4 \pi^2 r}{T^2}$ | 仅适用于匀速圆轨道；$M$ = 中心天体质量，$r$ = 距中心的轨道半径 |
| 轨道速度 | $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ | 与绕行质量无关；$v$ 随 $r$ 增大而减小 |
| 开普勒第三定律（比例形式） | $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$ | 仅适用于绕同一中心天体的天体；任意一致单位均可使用 |
| 开普勒第三定律（定量形式） | $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$ | 若 $r$、$G$、$M$ 采用国际单位，得到的 $T$ 单位为秒 |
| 动能（圆轨道） | $K = \frac{GMm}{2r}$ | 等于 $-U/2$，其中 $U$ 是引力势能 |
| 引力势能 | $U = - \frac{GMm}{r}$ | 零势能定义在无穷远处；所有束缚轨道势能均为负 |
| 总机械能 | $E = - \frac{GMm}{2r}$ | 负 = 束缚轨道，$\geq 0$ = 非束缚（逃逸）轨道 |
| 开普勒第二定律 | 相等时间内扫过相等面积 | 说明轨道距离越小速度越快 |
| 开普勒第一定律 | 轨道为椭圆，中心天体位于一个焦点 | 圆轨道是椭圆的特殊情况 |

## 下一步

本主题为理解所有引力运动奠定了基础框架，直接关联到AP物理1后续的主题。掌握第3单元的轨道运动后，你接下来将学习第4单元的力矩和转动运动，在那里你会将开普勒第二定律中定性使用的角动量守恒推广到转动系统的定量问题中。如果不在这里掌握万有引力与向心力的关系，你在课程后续的转动动力学和能量守恒问题中，会很难将平方反比力与圆周运动联系起来。轨道运动也强化了能量守恒这一核心主题，该主题在AP物理1的所有单元都会考察。

- [能量概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-overview/)
- [AP Physics 1 功与动能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-work-and-kinetic-energy/)
- [AP物理1 功-能定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-work-energy-theorem/)

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