# 牛顿万有引力定律

> AP 物理 1 · 第3单元：圆周运动与引力
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-newton-s-law-of-universal/

本模块涵盖牛顿万有引力定律、平方反比比例推理、重力加速度随海拔的变化、圆形轨道运动，以及供AP物理1考试解题使用的开普勒第三定律。

**先修:** [牛顿运动第二、第三定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u2-newtons-laws/); [匀速圆周运动的向心加速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-centripetal-acceleration-circular-motion/); 代数比例推理

## 学习目标

- 表述牛顿万有引力定律，并解释其平方反比比例关系
- 使用比例推理计算任意海拔高度的重力加速度
- 将圆形轨道运动中的引力与向心力联系起来
- 在AP物理1中应用开普勒第三定律解决轨道周期问题

## 牛顿万有引力定律的核心定义

牛顿万有引力定律是描述任意两个有质量物体之间吸引力长程力的基本物理定律。它适用于宇宙中所有物体，不仅限于地球附近的行星或天体。在AP物理1中，我们仅研究质点或均匀球形质量，因此物体之间的距离定义为它们质心之间的距离。该知识点占AP考试总分的16–18%，会在选择题（MCQ）和自由问答题（FRQ）部分都出现。

**牛顿万有引力定律** — 所有有质量物体都会相互吸引，引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们中心间距的平方成反比。

*记法:* $F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

> **info**
>
> 引力遵循牛顿第三定律：无论两个物体质量相差多大，$m_1$对$m_2$的力与$m_2$对$m_1$的力大小相等、方向相反。

## 引力公式与平方反比比例关系

牛顿定律给出两个质量之间引力大小为：

$$F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

其中 $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$ 是万有引力常数，$m_1$ 和 $m_2$ 是两个物体的质量，$r$ 是中心间距。AP物理1几乎总是考察这个关系的比例推理，而不是代入$G$的完整计算。$r$的平方反比关系意味着：如果距离加倍，力会降到原值的$1/4$；如果距离变为三倍，力会降到原值的$1/9$。

**例题:** 一个10kg的物体和一个20kg的物体相距2米，彼此之间的引力大小为$F$。如果将10kg物体换成30kg，20kg物体换成40kg，间距增大到6米，用原力$F$表示新的引力大小是多少？

1. 用万有引力公式写出原力：

   $$F = G \frac{(10)(20)}{(2)^2} = 50G$$
2. 写出变化后的新力：

   $$F' = G \frac{(30)(40)}{(6)^2} = \frac{1200}{36} G = \frac{100}{3}G$$
3. 取新力与原力的比值消去$G$：

   $$\frac{F'}{F} = \frac{\frac{100}{3}G}{50G} = \frac{2}{3}$$
4. 最终结果：

   $$F' = \frac{2}{3}F$$

> **考试提示:** 做比例关系题时一定要使用比例推导法，节省时间同时避免因$G$数值太小导致的计算错误。

*计算器:* allowed

## 重力加速度随海拔的变化

我们熟悉的地球表面附近重力加速度$g = 9.8 \text{ m/s}^2$只是牛顿万有引力的一个特例。我们可以结合牛顿第二定律和万有引力公式，推导出距行星中心任意距离处的重力加速度。

**推导:** 推导距行星中心距离$r$处重力加速度的通用公式

*起点:* 牛顿第二定律$F = ma$和万有引力公式

1. 对于质量为$M$的行星中心外，距中心$r$处一个质量为$m$的物体，将引力等于质量乘以加速度：
2. $$F_g = G \frac{Mm}{r^2} = mg$$

*结论:* 物体质量$m$从两边消去，得到通用公式 $g(r) = \frac{GM}{r^2}$，该公式适用于行星外所有点（$r \geq R$，$R$为行星半径）。在地表上方海拔$h$处，距中心的总距离为$r = R + h$，因此$g$随海拔升高而减小。

**例题:** 国际空间站在地球表面上方400km处轨道运行。地球半径约为6400km，用表面重力加速度$g_s$表示国际空间站轨道高度处的重力加速度是多少？

1. 计算距地球中心的总轨道半径：

   $$r = R_E + h = 6400 + 400 = 6800 \text{ km} = \frac{17}{16}R_E$$
2. 写出地表和轨道处的加速度表达式：

   $$g_s = \frac{GM_E}{R_E^2}, \quad g_{orbit} = \frac{GM_E}{r^2}$$
3. 将$r = \frac{17}{16}R_E$代入轨道加速度公式：

   $$g_{orbit} = \frac{GM_E}{(\frac{17}{16}R_E)^2} = g_s \left(\frac{16}{17}\right)^2 = g_s \frac{256}{289}$$
4. 化简得到最终结果：

   $$g_{orbit} \approx 0.89 g_s$$

> **考试提示:** 绝不要直接将海拔（距表面的距离）代入$g(r)$公式。必须先将行星半径加上海拔，得到总中心间距后再计算。

*计算器:* allowed

## 圆形轨道运动与开普勒第三定律

对于小物体绕大质量中心天体做匀速圆周运动，提供所需向心加速度的唯一力就是引力。将引力等于向心力得到轨道运动的核心关系：

$$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$$

轨道物体的质量$m$消去，得到轨道速度公式：

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

轨道速度仅取决于中心质量$M$和轨道半径$r$，因此同一轨道上两个质量不同的卫星速度相同。我们可以将$v = \frac{2\pi r}{T}$（$T$为轨道周期）代入轨道速度公式，推导出圆轨道的开普勒第三定律，结果为：

$$T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM}\right) r^3$$

这意味着对于所有绕同一中心天体运动的物体，轨道周期的平方与轨道半径的立方成正比：$T^2 \propto r^3$。

**例题:** 两颗卫星绕同一行星运动。卫星A的轨道半径为$r$，轨道周期为$T$。卫星B的轨道半径为$4r$，求卫星B的轨道周期。

1. 对同一中心行星使用开普勒第三定律比例关系：

   $$\frac{T_A^2}{r_A^3} = \frac{T_B^2}{r_B^3}$$
2. 代入已知值 $T_A = T$, $r_A = r$, $r_B = 4r$：

   $$\frac{T^2}{r^3} = \frac{T_B^2}{(4r)^3} = \frac{T_B^2}{64 r^3}$$
3. 两边消去$r^3$，解出$T_B$：

   $$T_B^2 = 64 T^2 \implies T_B = 8T$$

**概念自测**

测试你对核心比例关系的理解：

1. 两个质量均为$m$的相同小行星相距$d$，彼此之间引力大小为$F$。其中一颗小行星被分成相等的两块，其中一块被移动到距离完整小行星$d/2$处，新的引力大小是多少？

   - $F/2$
   - $F$
   - $2F$
   - $4F$

   *解析:* 原力：$F = \frac{G m^2}{d^2}$。新力：$F' = \frac{G (m/2)(m)}{(d/2)^2} = 2F$，因此该选项正确。

> **考试提示:** $T^2 \propto r^3$比例关系仅适用于绕同一中心天体运动的物体。如果两个物体绕质量不同的不同行星运动，比例常数会发生变化。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 在引力公式中使用海拔$h$而非$r = R + h$作为距离
  - 原因: 学生混淆了地表距离和公式要求的中心间距
  - 正确做法: 代入任何公式前，都必须将行星半径加上海拔得到$r$
- **错误做法:** 认为质量更大的物体对更小物体的引力，大于小物体对大物体的引力
  - 原因: 学生将力的大小与加速度混淆，忘记牛顿第三定律也适用于引力
  - 正确做法: 记住引力是一对作用力与反作用力，因此无论质量差多大，力的大小都相等
- **错误做法:** 推导$g$或轨道速度时，消去了中心质量$M$而非轨道/物体质量$m$
  - 原因: 建立力的方程时，学生混淆了两个质量的角色
  - 正确做法: 开始任何计算或推导前，先将中心质量标记为$M$，小物体/轨道物体标记为$m$
- **错误做法:** 因为引力遵循平方反比定律，所以认为轨道半径加倍，轨道周期也加倍
  - 原因: 学生将开普勒第三定律的幂次关系和引力的平方反比关系混淆
  - 正确做法: 解比例问题前，一定要明确写出完整比例关系$T^2 \propto r^3$
- **错误做法:** 认为国际空间站上的宇航员失重是因为轨道上没有重力
  - 原因: 这是常见的流行文化误区，错误地将太空等同于零重力
  - 正确做法: 记住失重来自持续绕地球自由下落，而非零重力；国际空间站轨道处的重力约为地表重力的90%

## 速查表

| 分类 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 引力大小 | $F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ | 适用于质点/均匀球形质量；$r$ = 中心间距；引力始终为吸引力 |
| 万有引力常数 | $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$ | 很少需要代入数值；大多数题目使用比例推理 |
| 距离$r$处的重力加速度 | $g(r) = \frac{G M}{r^2}$ | 适用于$r \geq$行星半径；$g$与物体质量无关 |
| 表面重力加速度 | $g_s = \frac{G M}{R^2}$ | $R$ = 行星半径；地球附近，$g_s \approx 9.8 \text{ m/s}^2$ |
| 圆轨道速度 | $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ | $M$ = 中心质量；速度与轨道物体质量无关 |
| 开普勒第三定律（圆轨道） | $T^2 = \left(\frac{4 \pi^2}{G M}\right) r^3$ | $T^2 \propto r^3$仅适用于绕同一中心天体运动的物体 |
| 引力的牛顿第三定律 | $\|F_{1 \text{ on } 2}\| = \|F_{2 \text{ on } 1}\|$ | 无论质量差多大，力的大小都相等 |

## 下一步

牛顿万有引力定律是第3单元所有轨道运动主题的基础前提。如果不掌握平方反比关系、比例推理，以及引力如何为轨道提供向心力，你将无法解决AP考试中出现的涉及轨道能量、开普勒全定律、多物体引力相互作用的更复杂问题。在第3单元之外，你在这里学到的平方反比关系可以直接应用到后续单元的静电学库仑定律中，因此掌握引力的比例推理会让静电学学习容易很多，也为未来物理学习中理解力场打下基础。

- [行星与卫星的轨道运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-orbital-motion-of-planets-and/)
- [能量概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-overview/)
- [AP Physics 1 功与动能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u4-work-and-kinetic-energy/)

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