# 匀速圆周运动中的加速度

> AP 物理 1 · CED 第3单元：圆周运动与引力
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-acceleration-in-uniform-circular-motion/

本模块讲解向心加速度的方向、大小公式，向心加速度与切向加速度的区别，以及匀速圆周运动的核心解题方法，是AP物理1第3单元的基础内容。

**先修:** 加速度是速度的变化率; 矢量运算与分量分解; 匀速圆周运动的定义

## 学习目标

- 定义匀速圆周运动的向心加速度
- 确定向心加速度的方向和大小
- 区分向心加速度与切向加速度
- 解决涉及圆周运动加速度的AP风格问题

## 什么是匀速圆周运动中的加速度？

匀速圆周运动（UCM）是物体沿圆周路径以恒定切向速率运动。由于加速度取决于*速度矢量*的变化（而非仅标量速率的变化），速度方向的改变也算速度变化，因此匀速圆周运动一定存在非零加速度。

**向心加速度** — 做圆周运动的物体指向圆周圆心的加速度，负责改变速度的方向。在匀速圆周运动中，全部加速度都是向心加速度。

*记法:* $a_c$

*例:* 汽车以恒定速率转弯时存在非零向心加速度，即使其速率保持不变。

本内容是AP物理1第3单元的核心，该单元占你总考试分数的6-8%。向心加速度几乎总是解决向心力问题的基础步骤，而向心力问题是本单元考察最多的技能。一个常见的早期误区是认为匀速圆周运动中加速度为零，因为速率不变；这忽略了速度的矢量性。

## 向心加速度的方向

匀速圆周运动中向心加速度的一个核心特征是，它始终直接指向圆周的圆心，并且在每一点都始终垂直于切向速度矢量。

为了验证这个方向，考虑物体在圆周上两个相邻点的两个速度矢量$\vec{v}_1$和$\vec{v}_2$，它们大小相同（速率恒定）但方向不同。当$\Delta t$趋近于零时，速度变化量$\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$趋近于圆心方向。由于加速度是$\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \Delta \vec{v}/\Delta t$，因此加速度继承了这个指向圆心的方向。

由于向心加速度始终垂直于速度，它只改变速度的方向，不改变速度的大小，这就是为什么匀速圆周运动中速率保持恒定。

**例题:** 一名慢跑者以恒定速率沿圆形跑道顺时针跑步。当慢跑者跑到跑道的最高点时，他的向心加速度方向是什么？

1. 回忆匀速圆周运动的规律：向心加速度始终指向圆周路径的圆心。
2. 确定慢跑者的位置：当位于跑道最高点时，跑道圆心在慢跑者当前位置的正下方。
3. 确认匀速圆周运动中切向加速度为零，因此不存在平行或反平行于慢跑者运动方向的加速度分量。
4. 结论：慢跑者的向心加速度方向竖直向下，指向跑道圆心。

> **考试提示:** 回答方向问题前一定要画出圆并标记圆心——永远不要只根据物体运动方向假设方向。

## 向心加速度的大小

**推导:** 推导向心加速度的大小

*起点:* 匀速圆周运动中小$\Delta t$情况下位置矢量和速度矢量的相似三角形

1. 对于小时间间隔$\Delta t$，沿圆周运动的距离是$v\Delta t$。两个位置矢量构成的三角形与两个速度矢量构成的三角形相似。
2. 由此得到比例关系：
3. $$\frac{\Delta v}{v} = \frac{v\Delta t}{r}$$
4. 整理得到$a_c = \Delta v/\Delta t$，得出核心公式。

*结论:* 向心加速度的大小由公式$a_c = v^2/r$给出。

利用切向速率和角速度的关系$v = \omega r$，我们代入得到等价的第二个公式：

$$a_c = \omega^2 r$$

直观来看，向心加速度与速率的*平方*成正比：速率加倍，转弯时的向心加速度变为四倍，这就解释了为什么高速转弯需要大得多的力。向心加速度与半径成反比：转弯越急（更小的$r$），加速度越大，这符合日常经验。

**例题:** 一辆卡丁车以10 m/s的恒定速率驶过半径为20 m的圆形弯道。卡丁车的向心加速度大小是多少？

1. 确定已知量：$v = 10 \text{ m/s}$，$r = 20 \text{ m}$，我们需要求$a_c$。
2. 选择合适的公式：已知切向速率和半径，因此使用$a_c = v^2/r$。
3. 代入数值：
4. $$a_c = \frac{(10 \text{ m/s})^2}{20 \text{ m}} = \frac{100}{20} = 5$$
5. 添加单位，确认方向：$a_c = 5 \text{ m/s}^2$，方向指向弯道圆心。

> **考试提示:** 如果题目给出的是每分钟/每秒转数而非切向速率，先计算角速度$\omega = 2\pi f$（其中$f$是转/秒的频率），再使用$a_c = \omega^2 r$，可省去额外计算步骤。

## 向心加速度 vs 切向加速度

所有圆周运动都可以有两个相互垂直的加速度分量，AP物理1题目经常考察二者的区别：

- **向心（径向）加速度**：任何圆周运动（匀速或非匀速）都始终存在，负责改变速度的*方向*，指向圆心。
- **切向加速度**：平行或反平行于切向速度，负责改变速度的*大小（速率）*。

匀速圆周运动中，速率恒定，因此切向加速度$a_t = 0$，所有加速度都是向心加速度。非匀速圆周运动中（速率沿路径变化），两个分量都非零且相互垂直。总加速度的大小由勾股定理计算：

$$a_{total} = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$$

关键在于，只要你使用该时刻的*瞬时速率*$v$，$a_c = v^2/r$对于任意时刻的非匀速圆周运动仍然成立。

**例题:** 一辆汽车在驶出半径为50 m的圆形匝道时加速。当汽车速率为15 m/s的瞬间，它的切向加速度为3 m/s²。此时汽车总加速度的大小是多少？

1. 计算瞬时向心加速度，它仍然取决于瞬时速率：
2. $$a_c = v^2/r = (15^2)/50 = 225/50 = 4.5 \text{ m/s}^2$$
3. 确认$a_c$和$a_t$相互垂直，因此我们可以用勾股定理计算总加速度。
4. 代入数值：
5. $$a_{total} = \sqrt{(4.5)^2 + (3)^2} = \sqrt{20.25 + 9} = \sqrt{29.25} \approx 5.4 \text{ m/s}^2$$
6. 如果这是匀速圆周运动，$a_t = 0$，因此总加速度就等于$a_c = 4.5 \text{ m/s}^2$，这符合我们对匀速圆周运动的定义。

> **考试提示:** 如果题目明确说“匀速圆周运动”，你可以直接令$a_t = 0$，无需进一步计算——这是选择题中常见的省时技巧。

## AP风格练习题

**例题:** 一个物体做半径为$r$的匀速圆周运动，向心加速度为$a_0$。如果物体速率加倍，半径也加倍，那么新的向心加速度用$a_0$表示是多少？

A) $a_0/2$
B) $a_0$
C) $2a_0$
D) $4a_0$

1. 从向心加速度的原始公式开始：$a_0 = v^2/r$。
2. 新速率为$v' = 2v$，新半径为$r' = 2r$。代入公式：
3. $$a_{new} = \frac{(v')^2}{r'} = \frac{(2v)^2}{2r} = \frac{4v^2}{2r} = 2 \frac{v^2}{r} = 2a_0$$
4. 常见错误答案来自忘记对速率平方（得到选项A）或错误对半径平方（得到选项D）。正确答案是C。

**例题:** 一名学生将拴在0.8 m长绳子上的玩具小车以恒定速率在竖直平面内做匀速圆周运动。小车每4秒完成3圈完整转动。

(a) 计算转动周期，然后计算小车的切向速率。
(b) 计算小车向心加速度的大小。
(c) 说明该运动中任意点的切向加速度是零还是非零，并解释你的推理。

1. (a) 周期$T$是每转的时间：
2. $$T = 4 \text{ s}/3 \text{ rev} \approx 1.33 \text{ s per revolution}$$
3. 圆周周长为$C = 2\pi r = 2\pi(0.8 \text{ m}) \approx 5.03 \text{ m}$。切向速率为$v = C/T = 5.03 / 1.33 \approx 3.8 \text{ m/s}$。
4. (b) 使用向心加速度公式：
5. $$a_c = v^2/r = (3.8)^2 / 0.8 = 14.44 / 0.8 \approx 18 \text{ m/s}^2$$
6. (c) 题目说明该运动是匀速圆周运动，意味着速率恒定。切向加速度是改变速率的加速度分量，因此该运动所有点的切向加速度都是零。

**例题:** 月球绕地球做近似匀速圆周运动，轨道半径为$3.84 \times 10^8 \text{ m}$，每27.3天完成一圈完整公转。计算月球绕地球公转的向心加速度。

1. 首先将周期$T$转换为国际单位（秒）：
2. $$T = 27.3 \text{ days} \times 24 \text{ h/day} \times 3600 \text{ s/h} \approx 2.36 \times 10^6 \text{ s}$$
3. 计算切向速率：
4. $$v = 2\pi r / T = 2\pi (3.84 \times 10^8) / (2.36 \times 10^6) \approx 1020 \text{ m/s}$$
5. 计算向心加速度：
6. $$a_c = v^2 / r = (1020)^2 / (3.84 \times 10^8) \approx 0.0027 \text{ m/s}^2$$
7. 这个非常小的加速度符合地球对月球的预期引力加速度，与引力理论一致。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为匀速圆周运动中加速度为零，因为速率恒定。
  - 原因: 学生混淆了标量速率和矢量速度，忘记加速度取决于速度的变化，而非仅速率的变化。
  - 正确做法: 得出加速度为零前一定要检查方向是否改变——任何曲线路径都存在非零向心加速度，即使速率恒定。
- **错误做法:** 认为向心加速度方向沿圆周向外（“离心”方向）。
  - 原因: 学生错误使用运动物体的非惯性系，而非AP物理1要求的惯性系。
  - 正确做法: 始终从静止惯性系解决圆周运动问题，在惯性系中匀速圆周运动的加速度始终指向圆心。
- **错误做法:** 计算匀速圆周运动一整圈的平均加速度得到零，就声称不存在加速度。
  - 原因: 学生混淆了一整圈的平均加速度和题目几乎总是要求的瞬时向心加速度。
  - 正确做法: 除非题目明确要求一整圈的平均加速度，否则你需要计算瞬时向心加速度$a_c = v^2/r$。
- **错误做法:** 非匀速圆周运动中速率变化，就放弃使用$a_c = v^2/r$。
  - 原因: 学生只把这个公式和匀速圆周运动联系起来，因此错误认为速率变化时它不适用。
  - 正确做法: 只要$v$是瞬时速率，$a_c = v^2/r$对任何圆周运动（匀速或非匀速）都总能给出瞬时向心加速度。
- **错误做法:** 计算$a_c$时单位不匹配（例如半径用千米，速率用m/s）。
  - 原因: 学生直接代入给定数值，没有在代入公式前转换为一致单位。
  - 正确做法: 代入加速度公式前，将所有量转换为国际单位（半径用米，速率用m/s，角速度用rad/s）。

## 速查表

| 类别 | 公式 / 规律 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 向心加速度（切向速率形式） | $a_c = \frac{v^2}{r}$ | 适用于匀速圆周运动和任何圆周运动的瞬时加速度。始终指向圆心。 |
| 向心加速度（角速度形式） | $a_c = \omega^2 r$ | $\omega$必须单位为弧度每秒。给定频率/单位时间转数时使用。 |
| 转动周期 | $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{\omega}$ | 完成一圈完整转动的时间，始终为正。 |
| 切向加速度 | $a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ | 平行于切向速度，改变速率。所有匀速圆周运动中$a_t = 0$。 |
| 总加速度大小 | $a_{total} = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$ | 成立因为$a_c$和$a_t$始终是相互垂直的分量。 |
| 速度方向 | 始终沿路径切线方向 | 所有点都垂直于向心加速度。 |
| 匀速圆周运动一整圈的平均加速度 | $a_{avg} = 0$ | 仅当速度回到原矢量时成立。不等于瞬时向心加速度。 |

## 下一步

本模块为AP物理1第3单元其余所有圆周运动问题奠定了运动学基础。接下来，你会将学到的向心加速度知识通过牛顿第二定律联系到向心力，这是本单元考察最多的考点。如果不能正确确定向心加速度的大小和方向，你就无法正确建立圆周运动的受力方程，会在选择题和自由问答题中犯下本可避免的错误。本内容也是本单元后续引力轨道问题的先修知识，你会在那里使用向心加速度将引力与轨道速率和周期联系起来。

- [圆周运动的受力分析](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-force-analysis-for-circular-motion/)
- [牛顿万有引力定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-newton-s-law-of-universal/)
- [行星与卫星的轨道运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u3-orbital-motion-of-planets-and/)

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