系统模型

AP 物理 1· AP 物理 1 CED — 动力学· 14 分钟阅读

1. 什么是系统模型？★☆☆☆☆⏱ 3 min

系统模型是一种解题策略，它将选定的物体分组在一起进行分析，而非逐个分析每个物体。你用虚线标记系统边界：线内的所有物体都是系统的一部分，线外的一切都称为外界。

该方法通过消除会被牛顿第三定律抵消的内力，仅留下外力需要计算，从而简化了复杂的多物体问题。AP物理1考试会考察你选择最优系统边界以减少代数运算、避免错误的能力。系统模型是第2单元动力学的核心部分，占你考试总分的12-18%。

📘 定义

系统模型

一种解题框架，将一组物体分组在一起分析，通过用户任意选择的边界与外界分隔开。

例:

两个连接的木块可以作为单个组合系统分析，也可以作为两个独立的单独系统分析。

2. 内力与外力★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

内力

由两个都在系统边界内的物体之间相互作用产生的力。根据牛顿第三定律，所有内力对都会相互抵消，因此它们不会对整个系统的合加速度产生贡献。

📘 定义

外力

由系统边界内的物体与系统外（外界）物体之间相互作用产生的力。外力不会相互抵消，决定了系统的合加速度。

对于任意系统，牛顿第二定律可以仅用外力表示：

\sum \vec{F}_{\text{ext}} = M\vec{a}_{cm}

Where $M$ is the total mass of the system, and $a_{c m}$ is the acceleration of the system's center of mass. For connected rigid objects moving together, $a_{c m}$ equals the acceleration of every object in the system.

📐 例题

质量为 $2.0 kg$ 和 $3.0 kg$ 的两个木块在无摩擦水平桌面上由不可伸长的轻绳连接。对3.0 kg的木块施加一个向右的10 N水平拉力。如果我们将系统定义为两个木块，识别所有内力和外力，然后求系统的加速度。

1
在两个木块周围画一条虚线标记系统。
2
对所有力分类：内力包括绳子的张力（绳子两端都作用在系统内的木块上，因此张力是内力）。外力包括：两个木块的重力（来自系统外的地球）、桌面的支持力（来自系统外的桌面），以及10 N的拉力（来自系统外的施力物体）。
3
对竖直方向外力求和：总重力等于总支持力，因此它们相互抵消，只剩下10 N拉力作为合外力。
4
代入系统的牛顿第二定律：
5
$10 \text{ N} = (2.0 + 3.0)a \implies a = 2.0 \text{ m/s}^2$
6
系统的加速度是 $2.0 m/s^{2}$ 向右。

3. 内力计算的系统选择策略★★★☆☆⏱ 4 min

你可以为问题选择任意系统边界；技术上没有绝对错误的选择，但有些选择比其他选择简单得多。连接物体问题（你需要求张力或支持力这类内力）的标准策略是：

首先选择所有连接物体的组合系统（所有物体加速度相同），忽略所有内力，求出整个系统的加速度。
然后选择更小的子系统（通常是单个物体）来求解你需要的内力，因为组合系统的内力对于小子系统来说会变成外力。

该策略消除了求解联立方程的需求，降低了代数运算和符号错误的概率。它适用于任何以相同加速度运动的连接物体，包括绳子连接的木块、堆叠木块、阿特伍德机，以及卡车牵引的多节拖车。

📐 例题

使用上一个例子中相同的2.0 kg和3.0 kg木块（对3.0 kg木块施加10 N拉力，桌面无摩擦），求两个木块之间连接绳的张力。

1
我们已经用组合系统求出了两个木块的加速度： $a = 2.0 m/s^{2}$ 。
2
选择仅包含2.0 kg后方木块的子系统。作用在这个子系统上的唯一水平外力就是向右拉它的张力 $T$ 。
3
对这个子系统应用牛顿第二定律：
4
$T = m_2 a = (2.0 \text{ kg})(2.0 \text{ m/s}^2) = 4.0 \text{ N}$
5
为了验证，选择3.0 kg木块作为子系统会得到相同结果： $10 N - T = (3.0 kg) (2.0 m/s^{2}) ⟹ T = 4.0 N$ 。

4. 开放系统与封闭系统★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

封闭系统

在被分析的过程中，没有质量穿过系统边界的系统。初始时边界内的所有质量都留在内部，没有质量从外部进入。

📘 定义

开放系统

在被分析的过程中，有质量穿过系统边界的系统。质量可以进入（例如落入小车的沙子）或离开（例如从火箭排出的燃料）。

在AP物理1中，几乎所有动力学问题都使用封闭系统，因为系统牛顿第二定律的标准形式直接适用于封闭系统，不需要额外的质量流项。当确实有质量进出物体时，你几乎总可以扩展系统边界，将过程中涉及的所有质量都包含进来，使系统变为封闭系统，从而简化计算。AP物理1仅考察开放/封闭系统的概念理解，不考察复杂的质量流计算。

📐 例题

一辆15 kg的小车在无摩擦地面上以恒定速度滚动，此时一个5 kg的沙袋从上方竖直落入车中。(a) 在此过程中，仅小车本身是开放系统还是封闭系统？(b) 包含小车和沙袋（掉落前就包含）的系统是开放还是封闭的？

1
回忆定义：如果过程中有质量穿过边界，系统就是开放的。
2
对于仅小车本身：掉落前，边界内只有15 kg的小车。掉落后，5 kg的沙子进入了车内，因此有5 kg质量进入了边界。这意味着仅小车本身是开放系统。
3
对于掉落前就包含15 kg小车和5 kg沙子的系统：掉落后所有20 kg质量仍然都在边界内。没有质量进出，因此这是一个封闭系统。
4
使用封闭系统可以让我们忽略沙子和小车之间的内力冲击力，从而更容易求出装载后小车的最终速度。

5. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

测试你对系统模型核心概念的理解：

质量为1.0 kg和4.0 kg的两个木块堆叠在无摩擦水平地面上。1.0 kg木块放在4.0 kg木块上方。对顶部1.0 kg木块施加一个10 N的水平力，两个木块一起运动不打滑。如果系统定义为两个木块整体，系统受到的合外力是多少？
- 0 N
- 2 N
- 10 N
- 50 N
显示答案
10 N —
10 N的外力是由系统外的物体施加的，因此是外力。两个木块之间的静摩擦力是系统内两个物体之间的相互作用，因此是内力，会相互抵消。竖直方向的力（重力和支持力）相互抵消，因此总合外力为10 N。

6. 常见陷阱

错误做法:

当两个木块都包含在系统内时，仍将它们之间的张力算作外力。

原因:

学生通常记住张力是拉力，因此错误地将其加入合外力的总和。

正确做法:

画出系统边界后，检查绳子的两端是否都连接到边界内的物体——如果是，张力就是内力，忽略它即可。

错误做法:

当单个物体的加速度方向不同或大小不同时，仍对整个系统使用单个加速度。

原因:

学生假设系统中所有物体的加速度都相同，这仅对刚性连接共同运动的物体成立。

正确做法:

如果物体加速度不同，使用完整形式 $\sum F_{ext} = m_{1} a_{1} + m_{2} a_{2}$ instead of $M a_{c m}$ with a single $a$ .

错误做法:

当过程中有质量被加入或移出小车时，仍将仅小车本身视为封闭系统。

原因:

学生默认将明显的物体（小车）作为封闭系统，没有检查质量流。

正确做法:

如果有质量进出这个明显物体，扩展系统边界，将过程从头到尾涉及的所有质量都包含进来，使系统变为封闭的。

错误做法:

先分析被拉动的木块来求解张力，导致在从外力减去张力时出现符号错误。

原因:

学生出于习惯先选被拉动的物体，导致整理方程时出现符号错误。

正确做法:

求解两个连接物体之间的张力时，始终先分析后方物体（仅被张力拉动的那个物体），它只有一个水平力，因此不需要减法。

错误做法:

存在摩擦力时，忘记将重力和支持力算作外力。

原因:

学生只关注水平力，忽略了计算摩擦力需要的竖直力。

正确做法:

即使你预计竖直力会抵消，求和前也始终先列出所有外力（竖直和水平的）。

7. 速查表

类别	公式/规则	说明
通用系统定义	不适用（概念性）	由虚线边界包围的任意物体集合；边界内=系统，边界外=外界
内力	$\sum F_{int} = 0$	系统内物体之间的力；根据牛顿第三定律抵消，不对系统合外力产生贡献
外力	不适用（概念性）	系统外物体作用于系统内物体的力；系统的所有合外力都来自外力
系统牛顿第二定律	$\sum F_{ext} = M a_{c m} = \sum m_{i} a_{i}$	$M$ =系统总质量， $a_{c m}$ =质心加速度， $a_{i}$ =单个物体加速度
封闭系统	不适用	过程中没有质量穿过系统边界；适用于所有标准动力学计算
开放系统	不适用	过程中有质量穿过系统边界；如果可能，扩展系统包含所有质量，使其变为封闭系统
内力计算	从组合系统求出 $a$ ；2. 分析子系统求出内力	适用于张力、支持力、挂钩张力，以及连接物体之间所有内力
最优系统选择	不适用	选择包含所有相关物体的最小可能封闭系统，获得最简便计算

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
组合木块系统的合外力
2022 · FRQ
阿特伍德机系统分析

下一步

系统模型是AP物理1其余部分所有多物体问题的基础，从圆周运动到动量守恒再到转动动力学。掌握系统选择将帮助你避免不必要的代数错误，简化所有考试主题的复杂问题。接下来，你会在第2单元动力学的剩余部分应用系统模型分析摩擦力和圆周运动，使用组合系统分析求解倾斜弯道上车的加速度，以及竖直圆周旋转物体的绳子张力。本主题也直接为你第3单元的动量守恒做准备，在那里选择正确的封闭系统是正确求解碰撞和爆炸问题的关键。