斜面与阿特伍德机

AP 物理 1· AP 物理 1 CED — 动力学· 14 分钟阅读

1. 无摩擦斜面★★☆☆☆⏱ 3 min

斜面限制物体只能沿其倾斜表面平行方向运动。为简化计算，我们旋转坐标系，使x轴正方向平行于斜面（默认沿斜面向下），y轴正方向垂直于表面向外。

重力 $m g$ 竖直向下，因此我们将其分解为平行和垂直分量。利用相似三角形可得，重力矢量与负y轴的夹角等于斜面倾角 $θ$ ，得到如下分量：

平行（x方向，沿斜面向下）： $m g sin θ$
垂直（y方向，指向斜面）： $m g cos θ$

由于垂直斜面方向没有加速度，y方向合力为零，因此支持力 $N = m g cos θ$ 。对于无摩擦斜面，平行方向合力可得 $a = g sin θ$ 。

📐 例题

一个5 kg的木箱从30°倾角的无摩擦斜面滑下。求木箱受到的支持力大小，以及木箱的加速度。

1
绘制受力图，重力 $m g$ 向下，支持力 $N$ 垂直斜面向上。旋转坐标系使其与斜面对齐。
2
分解重力分量：
3
$F_{\parallel} = mg \sin\theta, \quad F_{\perp} = mg \cos\theta$
4
对y方向合力（合力为零）：
5
$\sum F_y = N - mg \cos\theta = 0 \implies N = mg \cos\theta$
6
代入数值： $m = 5 kg$ ， $g = 9.8 m/s^{2}$ ， $cos 3 0^{\circ} \approx 0.866$ ：
7
$N = (5)(9.8)(0.866) \approx 42.4\ \text{N}$
8
对x方向合力求加速度：
9
$\sum F_x = mg \sin\theta = ma \implies a = g \sin\theta = 9.8(0.5) = 4.9\ \text{m/s}^2$
10
最终答案：支持力≈42.4 N，加速度 = 4.9 m/s²，方向沿斜面向下。

2. 有摩擦的斜面★★★☆☆⏱ 4 min

摩擦力总是阻碍运动（或运动趋势）。静摩擦力作用于静止物体，最大大小为 $f_{s} \leq μ_{s} N$ ；动摩擦力作用于滑动物体，大小固定为 $f_{k} = μ_{k} N$ ，且 $μ_{k} < μ_{s}$ 。

支持力大小不随摩擦力改变： $N = m g cos θ$ 仍然成立，因为垂直斜面方向没有加速度。当物体沿斜面下滑时，摩擦力沿斜面向上，可得加速度 $a = g (sin θ - μ_{k} cos θ)$ 。当 $tan θ > μ_{s}$ 时物体开始滑动，这是滑动的临界条件。

📐 例题

一个2 kg的盒子静止在倾角25°的斜面上。静摩擦系数为0.5，动摩擦系数为0.4。问盒子是否会滑动？如果滑动，求加速度是多少？

1
先计算支持力：
2
$N = mg \cos\theta = (2)(9.8)(\cos 25^\circ) \approx 17.76\ \text{N}$
3
计算最大静摩擦力：
4
$f_{s,max} = \mu_s N = 0.5(17.76) = 8.88\ \text{N}$
5
计算重力沿斜面向下的分量：
6
$mg \sin\theta = (2)(9.8)(\sin 25^\circ) \approx 8.28\ \text{N}$
7
比较力的大小： $8.28 N < 8.88 N$ ，因此静摩擦力平衡了沿斜面向下的力。
8
结论：盒子不会滑动。如果滑动，加速度约为 $0.6 m/s^{2}$ ，方向沿斜面向下。

3. 理想阿特伍德机★★★☆☆⏱ 3 min

📘 定义

理想阿特伍德机

由两个质量块通过不可伸长的无质量绳子连接，跨过无质量、无摩擦滑轮组成的系统。核心假设：两个质量块的加速度大小相同，绳子各处张力相同。

例:

用于考察牛顿第二定律在连接加速系统中的应用，是AP物理1的常见题型

求解时，分别对每个质量块列牛顿第二定律方程，然后消去张力。如果 $m_{1} > m_{2}$ ， $m_{1}$ 向下加速， $m_{2}$ 向上加速。将正方向与加速度方向对齐，相加方程即可求解加速度：

a = g \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}, \quad T = 2g \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

📐 例题

理想阿特伍德机上连接了7 kg和3 kg两个质量块，跨过无质量滑轮。求系统加速度的大小，以及绳子的张力。

1
7 kg质量块向下加速，3 kg质量块向上加速，两者加速度大小均为 $a$ 。
2
分别对每个质量块列牛顿第二定律方程，将正方向与加速度方向对齐：
3
$7g - T = 7a \quad (\text{7 kg质量块，向下为正})$
4
$T - 3g = 3a \quad (\text{3 kg质量块，向上为正})$
5
相加方程消去张力：
6
$4g = 10a$
7
求解加速度：
8
$a = \frac{4(9.8)}{10} = 3.92\ \text{m/s}^2$
9
代回方程求张力：
10
$T = 3g + 3a = 3(9.8 + 3.92) \approx 41\ \text{N}$

4. 改良阿特伍德机（斜面+阿特伍德组合）★★★★☆⏱ 4 min

AP考试最常见的题型就是两个主题的组合：斜面上的一个质量块通过滑轮与悬挂质量块连接，称为改良阿特伍德机。理想假设同样适用：张力均匀，两个质量块加速度大小相等。

📐 例题

改良阿特伍德机中，4 kg的滑块位于20°倾角的无摩擦斜面上，通过理想绳子与斜面顶端滑轮处的3 kg悬挂滑块相连。求系统加速度的大小和方向。

1
比较净拉力大小：悬挂重力 = $3 g = 29.4 N$ ，4 kg滑块重力沿斜面向下的分量 = $4 g sin 2 0^{\circ} \approx 13.4 N$ 。因此悬挂质量会向下加速，拉动滑块沿斜面向上运动。
2
分别对每个质量块列牛顿第二定律方程：
3
$m_2 g - T = m_2 a \quad (\text{悬挂质量，向下为正})$
4
$T - m_1 g \sin\theta = m_1 a \quad (\text{滑块，沿斜面向上为正})$
5
相加方程消去张力：
6
$m_2 g - m_1 g \sin\theta = a(m_1 + m_2)$
7
求解加速度：
8
$a = 9.8 \frac{3 - 4(0.342)}{4+3} \approx 2.3\ \text{m/s}^2$
9
正加速度验证了方向：3 kg质量块向下加速，4 kg滑块沿斜面向上加速。

✓ 快速检测

测试你对静摩擦力的理解：

质量为 $m$ 的盒子静止在粗糙斜面上，斜面与水平面倾角为 $θ$ 。盒子与斜面之间的静摩擦系数为 $μ_{s}$ 。以下哪个表达式正确给出了作用在盒子上的静摩擦力大小？
- A) $μ_{s} m g$
- B) $μ_{s} m g sin θ$
- C) $μ_{s} m g cos θ$
- D) $m g sin θ$
显示答案
D —
正确：对于静止物体，静摩擦力平衡沿斜面向下的合力，因此大小等于 $m g sin θ$ 。选项C给出的是最大静摩擦力，不是静止盒子实际受到的摩擦力。

5. 常见陷阱

错误做法:

将重力分量的 $sin θ$ 和 $cos θ$ 弄反，得到 $N = m g sin θ$ 和 $a = g cos θ$ 。

原因:

学生忘记了斜面倾角和力分量角度之间的相似三角形关系。

正确做法:

计算分量后，代入 $θ = 0^{\circ}$ （水平面）验证：此时加速度应为0，因此平行分量一定是 $sin θ$ 。

错误做法:

物体沿斜面向上滑动时，仍将摩擦力方向设为沿斜面向上，导致计算出的减速加速度偏小。

原因:

学生默认摩擦力阻碍重力分量，而非运动方向。

正确做法:

始终将摩擦力方向设置为与物体速度方向相反，而非与重力分量相反。

错误做法:

假设加速阿特伍德机中张力等于其中一个质量的重力，即 $T = m_{1} g$ 。

原因:

学生混淆了零加速度平衡和加速运动。

正确做法:

始终对每个质量单独列牛顿第二定律方程，除非加速度为零，否则不要假设张力等于重力。

错误做法:

斜面上质量块的支持力按 $m g$ 计算，而非 $m g cos θ$ 。

原因:

学生默认使用水平面的结论，忘记只有垂直方向的重力分量挤压斜面。

正确做法:

始终通过垂直方向力平衡求解支持力，斜面上不要假设 $N = m g$ 。

错误做法:

理想阿特伍德系统中给两个质量块设不同的加速度大小。

原因:

学生忘记不可伸长的绳子要求两个质量块位移大小相等，因此加速度大小也相等。

正确做法:

理想连接绳系统中，始终给两个质量块使用同一个变量 $a$ 表示加速度大小。

错误做法:

将最大静摩擦力作为斜面上静止物体的实际摩擦力大小。

原因:

学生记住了 $f_{s} = μ_{s} N$ ，忘记这只是最大值。

正确做法:

对于静止物体，实际静摩擦力等于它所平衡的合力，不是最大值。

6. 速查表

类别	公式/表达式	核心提示
斜面重力分量	$F_{∥} = m g sin θ$ , $F_{⊥} = m g cos θ$	$F_{∥}$ 方向沿斜面向下， $θ$ 为相对于水平面的倾角
斜面支持力（无垂直加速度）	$N = m g cos θ$	斜面上不要使用 $N = m g$
无摩擦斜面加速度	$a = g sin θ$	加速度方向沿斜面向下
动摩擦（物体沿斜面下滑）	$a = g (sin θ - μ_{k} cos θ)$	摩擦力方向与运动方向相反
临界滑动倾角	$θ_{cr i t} = arctan (μ_{s})$	$θ > θ_{cr i t}$ 时物体滑动
理想阿特伍德机加速度	$a = g \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$	$m_{1} > m_{2}$ ， $m_{1}$ 向下加速
理想阿特伍德机张力	$T = 2 g \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$	滑轮两侧张力大小相等

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
改良阿特伍德机加速度问题
2022 · FRQ
斜面摩擦力受力分析
2021 · MCQ
阿特伍德机张力比较题

下一步

斜面和阿特伍德机是牛顿第二定律的基础应用，你在这里学到的解题技巧可以迁移到AP物理1的所有其他单元中。力分解的坐标旋转法，同样会用于圆周运动：你需要将力分解为径向和切向分量来求解向心加速度。连接系统受力分析也为你后续学习功和能问题做准备，你可以用能量守恒来交叉验证这些系统的加速度计算结果。在这里掌握一致的符号约定和力分解方法，能帮助你在考试所有自由问答题中避免常见错误。