引力与重力

AP 物理 1· AP 物理 1 CED — 动力学· 14 分钟阅读

1. 核心定义★★☆☆☆⏱ 3 min

引力是任意两个有质量物体之间的基本吸引力，是自然界四种基本力之一。重力是引力的一种特殊情况：它是附近大质量天体（如地球或月球）对物体施加的引力，因此不是物体的固有属性。

📘 定义

质量与重力

mass = $m$ , weight = $W$ or $F_{g}$

质量是物体惯性的固有量度，单位为千克，不随位置改变。重力是引力，单位为牛顿，随当地引力场变化。

例:

一个60 kg的物体在地球和月球上质量相同，但在月球上的重力是地球的1/6。

2. 牛顿万有引力定律★★★☆☆⏱ 4 min

牛顿万有引力定律描述了任意两个质点（或球体，球体的全部质量可视为集中在物体的质心）之间的引力。吸引力的大小与两个质量的乘积成正比，与质心之间距离的平方成反比。

F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}

Where $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdotp m^{2} / kg^{2}$ 是万有引力常量， $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 是两个相互作用物体的质量， $r$ 是两个物体质心之间的距离。引力始终是吸引力，遵循平方反比定律，且符合牛顿第三定律：两个物体对对方施加的力大小相等，方向相反。AP物理1考试中该主题的大多数题目都使用比例推理，因此你很少需要代入 $G$ 的数值。

📐 例题

物体A（质量 $m$ ）和物体B（质量 $2 m$ ）相距 $d$ ，它们对对方施加的引力大小为 $F$ 。若A的质量加倍为 $2 m$ ，B的质量变为三倍即 $6 m$ ，距离增加到 $2 d$ ，则两物体之间新的引力大小是多少？

1
写出原始力方程，将 $F$ 与已知常量关联：
$F = G \frac{(m)(2m)}{d^2} = G \frac{2m^2}{d^2} \implies \frac{G m^2}{d^2} = \frac{F}{2}$
2
将新数值代入万有引力公式：
$F_{\text{new}} = G \frac{(2m)(6m)}{(2d)^2} = G \frac{12m^2}{4d^2} = G \frac{3m^2}{d^2}$
3
代入原始力得到的关系式，用 $F$ 表示新的力：
$F_{\text{new}} = 3\left(\frac{F}{2}\right) = \frac{3}{2}F$
4
确认平方反比项应用正确：距离加倍后分母平方，得到因子1/4，与计算结果一致。

Exam tip:

对于引力的比例推理问题，代入前一定要先对距离比例因子平方；这是AP选择题中最常丢分的步骤。

3. 引力场与天体表面附近的重力★★☆☆☆⏱ 3 min

在地球这类大球体的表面附近，小物体到大球体中心的距离近似恒定，因此我们可以简化万有引力公式，得到简洁的重力表达式。

🔬 推导

目标:

从万有引力推导简化的近表面重力公式 $W = m g$

起点:

质量为 $M$ 、半径为 $R$ 的大天体，与表面附近质量为 $m$ 的小物体之间的牛顿万有引力定律

1
将 $r = R$ 代入万有引力公式：
2
$F_g = G \frac{M m}{R^2} = m \left( \frac{GM}{R^2} \right)$
3
定义当地引力场强度 $g = \frac{GM}{R ^{2}}$ ，它在天体表面附近近似恒定。

结果:

对于大天体表面附近的物体，重力可简化为 $W = m g$ ，其中 $g$ 是当地引力场强度。

在地球表面， $g \approx 9.8 m/s^{2} = 9.8 N/kg$ 。AP考试反复考察质量（固有惯性，恒定）和重力（力，依赖当地引力）的核心区别。

📐 例题

一名学生在地球上的质量为65 kg，地球上 $g_{地球} = 9.8 N/kg$ 。月球上的引力场强度为 $g_{月球} = 1.6 N/kg$ 。该学生在月球上的质量和重力分别是多少？

1
记住质量是固有属性，不随位置改变：学生在月球上的质量仍然是65 kg。
2
对月球引力场使用重力公式 $W = m g$ ：
$W_{\text{Moon}} = m g_{\text{Moon}} = (65 \text{ kg})(1.6 \text{ N/kg}) = 104 \text{ N}$
3
验证合理性：在地球上，学生的重力是 $(65) (9.8) = 637$ N，远大于月球上的数值，符合月球引力更弱的结论。单位正确：质量单位为千克，重力单位为牛顿。

Exam tip:

在概念题中，一定要检查答案的单位来区分质量和重力：如果题目问的是力（重力），单位必须是牛顿；质量的单位始终是千克。

4. 视重★★★☆☆⏱ 4 min

视重是支撑面对物体施加的法向力（比如电梯中的体重秤），也就是秤实际测量的数值。当物体和支撑秤竖直加速时，视重不等于物体的实际重力。

解决视重问题时，绘制受力分析图：实际重力 $W = m g$ 向下，法向力 $n$ （视重）向上。取向上为正方向，应用牛顿第二定律：

\sum F = n - mg = ma \implies n = m(g + a)

如果加速度向上， $a$ 为正，因此视重大于实际重力。如果加速度向下， $a$ 为负，因此视重小于实际重力。自由下落时， $a = - g$ ，所以 $n = 0$ ，这就是失重体验。

📐 例题

一个50 kg的人站在电梯里的体重秤上，电梯以2.0 m/s²的加速度向下加速。体重秤测量的视重是多少？

1
绘制受力分析图：向下的力是实际重力 $m g$ ，向上的力是法向力 $n$ （即秤读取的视重）。取向上为正，因此加速度 $a = - 2.0 m/s^{2}$ 。
2
应用牛顿第二定律，整理后求解 $n$ ：
$n - mg = ma \implies n = m(g + a)$
3
代入数值：
$n = 50 \text{ kg} (9.8 \text{ m/s}^2 - 2.0 \text{ m/s}^2) = 50 (7.8) = 390 \text{ N}$
4
验证合理性：向下加速意味着视重应该小于实际重力。实际重力为 $50 * 9.8 = 490$ N，因此390 N符合预期。

Exam tip:

一定要根据加速度的方向（而非电梯运动的方向）给加速度分配正确的符号；向下运动的电梯在减速停止时加速度向上，这会增大视重。

5. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

测试你对引力合矢量的理解：

两个质量均为 $M$ 的相同小行星相距 $r$ ，它们对对方的引力大小为 $F$ 。第三个质量为 $M$ 的小行星放置在两个原始小行星连线的正中点。中心小行星受到的合引力大小是多少？
- A) $0$
- B) $\frac{2 G M ^{2}}{r ^{2}}$
- C) $\frac{4 G M ^{2}}{r ^{2}}$
- D) $\frac{8 G M ^{2}}{r ^{2}}$
显示答案
A) $0$ —
每个原始小行星对中心小行星施加的吸引力大小相等、方向相反。每个力的大小都是 $\frac{4 G M ^{2}}{r ^{2}}$ ，因此它们完全抵消，合外力为零。

6. 常见陷阱

错误做法:

在计算相隔多个地球半径的两个行星之间的引力时，使用 $W = m g$ 且取 $g = 9.8 N/kg$ 。

原因:

学生记住了简单的近表面重力公式，却忘记它仅适用于到大体中心距离恒定的近似情况。

正确做法:

当物体之间的距离相对于大天体的半径较大时，始终使用牛顿万有引力公式 $F_{g} = G m_{1} m_{2} / r^{2}$ 。

错误做法:

在比例推理问题中，当两个质量之间的距离加倍时，将原力除以2而非4。

原因:

学生记得力与距离成反比，但漏掉了平方反比定律中的平方项。

正确做法:

代入距离因子前，一定要先写出完整的比例关系 $F_{g} \propto 1/ r^{2}$ ，并且先对因子平方。

错误做法:

认为物体移动到月球后质量会改变，或者重力不随位置改变保持恒定。

原因:

学生混淆了质量（惯性）和重力（引力）的定义。

正确做法:

始终记住：质量是固有属性，保持恒定；重力是力，随当地引力场变化。

错误做法:

认为大质量对小质量的引力大于小质量对大质量的引力。

原因:

学生看到大质量会让小质量产生更大的加速度，因此错误地认为力也更大。

正确做法:

始终记住根据牛顿第三定律，两个质量之间的引力大小对双方是相等的。

错误做法:

将向下的加速度取正值，导致得出向下加速会增大视重的错误结论。

原因:

学生忘记让加速度符号与他们选择的坐标系一致。

正确做法:

在竖直加速度问题中，始终取向上为正，并且根据加速度方向（而非运动方向）分配符号。

7. 速查表

类别	公式/定义	要点
万有引力	$F_{g} = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$	适用于任意两个有质量物体； $r$ = 质心间距；力始终为吸引力
万有引力常量	$G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdotp m^{2} / kg^{2}$	在全宇宙中恒定
重力（大天体表面附近）	$W = m g$	仅在大天体表面附近有效； $g$ = 当地引力场强度
引力场强度	$g = \frac{GM}{R ^{2}}$	$M$ = 大天体质量， $R$ = 大天体半径；单位： $N/kg = m/s^{2}$
视重	$n = m (g + a)$	向上为正； $a$ = 支撑面的加速度； $n$ = 秤的读数
质量 vs 重力	Mass: $m$ (kg), Weight: $W$ (N)	质量是固有属性（恒定），重力是引力（随位置变化）
引力比例关系	$F_{g} \propto \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$	用于比例推理，无需代入 $G$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
引力比例推理问题
2023 · FRQ
电梯视重问题

下一步

本主题是AP物理1中所有引力相互作用的基础，也是第3单元：圆周运动与引力的核心前置知识，在第3单元中你会将引力用作轨道天体的向心力。如果没有掌握平方反比定律、质量与重力的区别和视重计算，你会很难将力的概念与轨道运动和平衡问题联系起来。引力也反复出现在动量和能量问题中，重力是作用在系统上的常见力，因此掌握本主题会简化考试中所有后续动力学内容的学习。