# 引力与重力

> AP 物理 1 · 第2单元：动力学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u2-gravitational-force-and-weight/

本子主题涵盖牛顿万有引力定律、质量与重量的区别、引力场强度、视重，以及AP物理1考试中引力问题的动力学解题方法。

**先修:** [牛顿运动三定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u2-newtons-laws-of-motion/); [绘制受力分析图](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u2-free-body-diagrams/); 力矢量的矢量加法

## 学习目标

- 正确区分质量与重力
- 将牛顿万有引力定律应用于比例推理和数值计算问题
- 计算竖直加速系统的视重
- 解决AP物理1考试中常见的引力问题

## 核心定义

引力是任意两个有质量物体之间的基本吸引力，是自然界四种基本力之一。重力是引力的一种特殊情况：它是附近大质量天体（如地球或月球）对物体施加的引力，因此不是物体的固有属性。

**质量与重力** — 质量是物体惯性的固有量度，单位为千克，不随位置改变。重力是引力，单位为牛顿，随当地引力场变化。

*记法:* mass = $m$, weight = $W$ or $F_g$

*例:* 一个60 kg的物体在地球和月球上质量相同，但在月球上的重力是地球的1/6。

## 牛顿万有引力定律

牛顿万有引力定律描述了任意两个质点（或球体，球体的全部质量可视为集中在物体的质心）之间的引力。吸引力的大小与两个质量的乘积成正比，与质心之间距离的平方成反比。

$$F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Where $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ 是万有引力常量，$m_1$ 和 $m_2$ 是两个相互作用物体的质量，$r$ 是两个物体质心之间的距离。引力始终是吸引力，遵循平方反比定律，且符合牛顿第三定律：两个物体对对方施加的力大小相等，方向相反。AP物理1考试中该主题的大多数题目都使用比例推理，因此你很少需要代入$G$的数值。

**例题:** 物体A（质量$m$）和物体B（质量$2m$）相距$d$，它们对对方施加的引力大小为$F$。若A的质量加倍为$2m$，B的质量变为三倍即$6m$，距离增加到$2d$，则两物体之间新的引力大小是多少？

1. 写出原始力方程，将$F$与已知常量关联：

   $$F = G \frac{(m)(2m)}{d^2} = G \frac{2m^2}{d^2} \implies \frac{G m^2}{d^2} = \frac{F}{2}$$
2. 将新数值代入万有引力公式：

   $$F_{\text{new}} = G \frac{(2m)(6m)}{(2d)^2} = G \frac{12m^2}{4d^2} = G \frac{3m^2}{d^2}$$
3. 代入原始力得到的关系式，用$F$表示新的力：

   $$F_{\text{new}} = 3\left(\frac{F}{2}\right) = \frac{3}{2}F$$
4. 确认平方反比项应用正确：距离加倍后分母平方，得到因子1/4，与计算结果一致。

> **考试提示:** 对于引力的比例推理问题，代入前一定要先对距离比例因子平方；这是AP选择题中最常丢分的步骤。

## 引力场与天体表面附近的重力

在地球这类大球体的表面附近，小物体到大球体中心的距离近似恒定，因此我们可以简化万有引力公式，得到简洁的重力表达式。

**推导:** 从万有引力推导简化的近表面重力公式$W=mg$

*起点:* 质量为$M$、半径为$R$的大天体，与表面附近质量为$m$的小物体之间的牛顿万有引力定律

1. 将$r = R$代入万有引力公式：
2. $$F_g = G \frac{M m}{R^2} = m \left( \frac{GM}{R^2} \right)$$
3. 定义当地引力场强度 $g = \frac{GM}{R^2}$，它在天体表面附近近似恒定。

*结论:* 对于大天体表面附近的物体，重力可简化为 $W = mg$，其中$g$ 是当地引力场强度。

在地球表面，$g \approx 9.8 \text{ m/s}^2 = 9.8 \text{ N/kg}$。AP考试反复考察质量（固有惯性，恒定）和重力（力，依赖当地引力）的核心区别。

**例题:** 一名学生在地球上的质量为65 kg，地球上$g_{\text{地球}} = 9.8 \text{ N/kg}$。月球上的引力场强度为$g_{\text{月球}} = 1.6 \text{ N/kg}$。该学生在月球上的质量和重力分别是多少？

1. 记住质量是固有属性，不随位置改变：学生在月球上的质量仍然是65 kg。
2. 对月球引力场使用重力公式$W = mg$：

   $$W_{\text{Moon}} = m g_{\text{Moon}} = (65 \text{ kg})(1.6 \text{ N/kg}) = 104 \text{ N}$$
3. 验证合理性：在地球上，学生的重力是$(65)(9.8) = 637$ N，远大于月球上的数值，符合月球引力更弱的结论。单位正确：质量单位为千克，重力单位为牛顿。

> **考试提示:** 在概念题中，一定要检查答案的单位来区分质量和重力：如果题目问的是力（重力），单位必须是牛顿；质量的单位始终是千克。

## 视重

视重是支撑面对物体施加的法向力（比如电梯中的体重秤），也就是秤实际测量的数值。当物体和支撑秤竖直加速时，视重不等于物体的实际重力。

解决视重问题时，绘制受力分析图：实际重力$W=mg$向下，法向力$n$（视重）向上。取向上为正方向，应用牛顿第二定律：

$$\sum F = n - mg = ma \implies n = m(g + a)$$

如果加速度向上，$a$ 为正，因此视重大于实际重力。如果加速度向下，$a$ 为负，因此视重小于实际重力。自由下落时，$a=-g$，所以$n=0$，这就是失重体验。

**例题:** 一个50 kg的人站在电梯里的体重秤上，电梯以2.0 m/s²的加速度向下加速。体重秤测量的视重是多少？

1. 绘制受力分析图：向下的力是实际重力$mg$，向上的力是法向力$n$（即秤读取的视重）。取向上为正，因此加速度 $a = -2.0 \text{ m/s}^2$。
2. 应用牛顿第二定律，整理后求解$n$：

   $$n - mg = ma \implies n = m(g + a)$$
3. 代入数值：

   $$n = 50 \text{ kg} (9.8 \text{ m/s}^2 - 2.0 \text{ m/s}^2) = 50 (7.8) = 390 \text{ N}$$
4. 验证合理性：向下加速意味着视重应该小于实际重力。实际重力为$50*9.8=490$ N，因此390 N符合预期。

> **考试提示:** 一定要根据加速度的方向（而非电梯运动的方向）给加速度分配正确的符号；向下运动的电梯在减速停止时加速度向上，这会增大视重。

## AP风格概念检测

**概念自测**

测试你对引力合矢量的理解：

1. 两个质量均为$M$的相同小行星相距$r$，它们对对方的引力大小为$F$。第三个质量为$M$的小行星放置在两个原始小行星连线的正中点。中心小行星受到的合引力大小是多少？

   - A) $0$
   - B) $\frac{2GM^2}{r^2}$
   - C) $\frac{4GM^2}{r^2}$
   - D) $\frac{8GM^2}{r^2}$

   *解析:* 每个原始小行星对中心小行星施加的吸引力大小相等、方向相反。每个力的大小都是$\frac{4GM^2}{r^2}$，因此它们完全抵消，合外力为零。

## 常见错误

- **错误做法:** 在计算相隔多个地球半径的两个行星之间的引力时，使用$W=mg$且取$g=9.8 \text{ N/kg}$。
  - 原因: 学生记住了简单的近表面重力公式，却忘记它仅适用于到大体中心距离恒定的近似情况。
  - 正确做法: 当物体之间的距离相对于大天体的半径较大时，始终使用牛顿万有引力公式 $F_g = G m_1 m_2 / r^2$。
- **错误做法:** 在比例推理问题中，当两个质量之间的距离加倍时，将原力除以2而非4。
  - 原因: 学生记得力与距离成反比，但漏掉了平方反比定律中的平方项。
  - 正确做法: 代入距离因子前，一定要先写出完整的比例关系 $F_g \propto 1/r^2$，并且先对因子平方。
- **错误做法:** 认为物体移动到月球后质量会改变，或者重力不随位置改变保持恒定。
  - 原因: 学生混淆了质量（惯性）和重力（引力）的定义。
  - 正确做法: 始终记住：质量是固有属性，保持恒定；重力是力，随当地引力场变化。
- **错误做法:** 认为大质量对小质量的引力大于小质量对大质量的引力。
  - 原因: 学生看到大质量会让小质量产生更大的加速度，因此错误地认为力也更大。
  - 正确做法: 始终记住根据牛顿第三定律，两个质量之间的引力大小对双方是相等的。
- **错误做法:** 将向下的加速度取正值，导致得出向下加速会增大视重的错误结论。
  - 原因: 学生忘记让加速度符号与他们选择的坐标系一致。
  - 正确做法: 在竖直加速度问题中，始终取向上为正，并且根据加速度方向（而非运动方向）分配符号。

## 速查表

| 类别 | 公式/定义 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 万有引力 | $F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ | 适用于任意两个有质量物体；$r$ = 质心间距；力始终为吸引力 |
| 万有引力常量 | $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2$ | 在全宇宙中恒定 |
| 重力（大天体表面附近） | $W = mg$ | 仅在大天体表面附近有效；$g$ = 当地引力场强度 |
| 引力场强度 | $g = \frac{GM}{R^2}$ | $M$ = 大天体质量，$R$ = 大天体半径；单位：$\text{N/kg} = \text{m/s}^2$ |
| 视重 | $n = m(g + a)$ | 向上为正；$a$ = 支撑面的加速度；$n$ = 秤的读数 |
| 质量 vs 重力 | Mass: $m$ (kg), Weight: $W$ (N) | 质量是固有属性（恒定），重力是引力（随位置变化） |
| 引力比例关系 | $F_g \propto \frac{m_1 m_2}{r^2}$ | 用于比例推理，无需代入$G$ |

## 下一步

本主题是AP物理1中所有引力相互作用的基础，也是第3单元：圆周运动与引力的核心前置知识，在第3单元中你会将引力用作轨道天体的向心力。如果没有掌握平方反比定律、质量与重力的区别和视重计算，你会很难将力的概念与轨道运动和平衡问题联系起来。引力也反复出现在动量和能量问题中，重力是作用在系统上的常见力，因此掌握本主题会简化考试中所有后续动力学内容的学习。

- [牛顿第一定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u2-newton-s-first-law/)
- [牛顿第二定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u2-newton-s-second-law/)
- [牛顿第三定律与受力分析图](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u2-newton-s-third-law-and/)

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