位置、速度与加速度

AP 物理 1· AP 物理 1 CED — 运动学· 14 分钟阅读

1. 核心运动学物理量★☆☆☆☆⏱ 3 min

本主题是所有运动学的基础，占 AP 物理 1 考试总分的 10%-16%。本主题的概念是所有运动分析问题的基础，从力学到圆周运动都离不开它，因此准确识别物理量至关重要。

📘 定义

核心运动学物理量

核心物理量按是否为标量（只有大小）或矢量（大小+方向）区分如下：

例:

位置（矢量）：相对于定义原点的位置
位移（矢量）：位置的净变化量， $Δ x = x_{f} - x_{i}$
路程（标量）：经过路径的总长度
速度（矢量）：位置的变化率
速率（标量）：速度的大小
加速度（矢量）：速度的变化率

📐 例题

一位徒步者沿直线路径向东走了 3 km，随后掉头向西往起点走了 1 km。以向东为正方向，求总路程和总位移。

1
总路程是所有路径段的标量和：
2
$3\ \text{km} + 1\ \text{km} = 4\ \text{km}$
3
位移是位置的矢量变化，起点为 $x_{i} = 0$ ：
4
$x_f = 3 - 1 = 2\ \text{km}, \quad \Delta x = x_f - x_i = 2\ \text{km}$

2. 平均量与瞬时量★★☆☆☆⏱ 4 min

所有运动学物理量都可以分为平均量（在有限时间间隔内测量）或瞬时量（在单个时刻测量）。平均量的定义对所有运动都成立，无论加速度是恒定还是变化的。

\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}, \quad \bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}

瞬时量是时间间隔趋近于零时平均量的极限，等于导数： $v = \frac{d x}{d t}$ （瞬时速度）和 $a = \frac{d v}{d t}$ （瞬时加速度）。从图像上看，瞬时速度是 $x$ - $t$ 图切线的斜率，瞬时加速度是 $v$ - $t$ 图切线的斜率。

📐 例题

一位自行车手沿直线路径运动，位置函数为 $x (t) = 0.5 t^{2} + 2 t + 1$ ，其中 $x$ 单位为米， $t$ 单位为秒。求 (a) $t = 1 s$ 到 $t = 5 s$ 之间的平均速度，以及 (b) $t = 3 s$ 时的瞬时速度。

1
计算区间的初位置和末位置：
2
$x(1) = 0.5(1)^2 + 2(1) + 1 = 3.5\ \text{m}, \quad x(5) = 0.5(25) + 2(5) + 1 = 23.5\ \text{m}$
3
用核心定义计算平均速度：
4
$\Delta x = 23.5 - 3.5 = 20\ \text{m}, \quad \Delta t = 5 - 1 = 4\ \text{s}, \quad \bar{v} = \frac{20}{4} = 5\ \text{m/s}$
5
求瞬时速度，对位置函数求导：
6
$v(t) = \frac{dx}{dt} = t + 2$
7
代入 $t = 3 s$ 计算：
8
$v(3) = 3 + 2 = 5\ \text{m/s}$

3. 物理量之间的图像关系★★☆☆☆⏱ 4 min

AP 物理 1 非常注重考查运动学物理量的图像解读。核心关系遵循两条简单规则：

斜率法则：任意运动学图像的斜率等于关系链中的下一个物理量： $slope of x - t = v$ , $slope of v - t = a$
面积法则：任意运动学图像的净带符号面积等于关系链中上一个物理量的变化量： $net area under v - t = Δ x$ , $net area under a - t = Δ v$

面积带符号：时间轴上方的面积为正，下方为负，对应正或负的速度/加速度。

📐 例题

沿直线轨道运动的玩具车的 $v$ - $t$ 图分为三段：(1) $t = 0$ 到 $t = 2 s$ ： $v = 4 m/s$ 的水平线，(2) $t = 2 s$ 到 $t = 4 s$ ：从 $v = 4 m/s$ 到 $v = 0$ 的直线，(3) $t = 4 s$ 到 $t = 6 s$ ：从 $v = 0$ 到 $v = - 4 m/s$ 的直线。求 $t = 0$ 到 $t = 6 s$ 内车的总位移。

1
计算每一段的带符号面积，因为 $v$ - $t$ 图下的面积等于位移：
2
第一段（0 到 2 秒）：矩形面积：
3
$2\ \text{s} \times 4\ \text{m/s} = 8\ \text{m}$
4
第二段（2 到 4 秒）：三角形面积：
5
$0.5 \times 2\ \text{s} \times 4\ \text{m/s} = 4\ \text{m}$
6
第三段（4 到 6 秒）：位于时间轴下方的三角形，因此面积为负：
7
$0.5 \times 2\ \text{s} \times (-4\ \text{m/s}) = -4\ \text{m}$
8
对面积求和得到总位移：
9
$\Delta x_{\text{total}} = 8 + 4 - 4 = 8\ \text{m}$

4. 恒定加速度运动学公式★★★☆☆⏱ 3 min

对于加速度恒定的运动（例如地球表面附近的自由落体、恒定刹车），我们可以推导出三个简化公式，大幅加快解题速度。这些公式 仅在加速度恒定时成立 — 如果加速度变化，请使用图像法或核心定义求解。

\begin{align} v &= v_0 + a t \tag{1} \\ \Delta x &= v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \tag{2} \\ v^2 &= v_0^2 + 2 a \Delta x \tag{3} \end{align}

每个公式省略一个未知量，因此你总能选择匹配已知量的公式一步求解未知量。

📐 例题

一个球从地面竖直向上抛出，初速度为 $20 m/s$ 。取向上为正方向，重力加速度 $a = - 10 m/s^{2}$ 。求球能达到的最大高度。

1
列出所有已知和未知量：初速度 $v_{0} = 20 m/s$ ，末速度 $v = 0 m/s$ （球在最大高度处瞬时静止），加速度 $a = - 10 m/s^{2}$ ，未知量是位移 $Δ x$ （最大高度）。
2
选择省略时间（我们的未知量）的公式：公式 3。
3
将已知值代入公式：
4
$0^2 = (20)^2 + 2(-10)\Delta x$
5
求解 $Δ x$ ：
6
$0 = 400 - 20\Delta x \rightarrow 20\Delta x = 400 \rightarrow \Delta x = 20\ \text{m}$

5. AP 风格概念检测★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

用这些 AP 风格题目测试你的理解：

一个物体沿直线运动，位置为 $x (t) = 2 t^{3} - 6 t$ ，其中 $x$ 单位为米， $t > 0$ 时单位为秒。 $t = 2 s$ 时物体的瞬时加速度是多少？
- $12 m/s^{2}$
- $18 m/s^{2}$
- $24 m/s^{2}$
- $30 m/s^{2}$
显示答案
2 —
瞬时加速度是位置的二阶导数： $v (t) = 6 t^{2} - 6$ , $a (t) = 12 t$ , 所以 $a (2) = 24 m/s^{2}$ 。

📐 例题

一位司机在郊区街道以 $15 m/s$ 行驶时，一只猫跑到路上。司机的反应时间为 $0.6 s$ （看到猫到踩刹车的时间），刹车后提供恒定减速度 $4.5 m/s^{2}$ 。从司机看到猫到车完全停下，车行驶的总距离是多少？

1
将运动分为两段：反应时间（匀速，无加速度）和刹车（恒定减速）。
2
反应时间段的距离：
3
$d_1 = v_0 t_{\text{react}} = 15 \times 0.6 = 9\ \text{m}$
4
刹车阶段： $v_{0} = 15 m/s$ , $v = 0$ （停下）， $a = - 4.5 m/s^{2}$ ：
5
使用省略时间的恒定加速度公式：
6
$0 = 15^2 + 2(-4.5)d_2 \rightarrow 0 = 225 - 9d_2 \rightarrow d_2 = 25\ \text{m}$
7
总停车距离：
8
$d_{\text{total}} = d_1 + d_2 = 9 + 25 = 34\ \text{m}$

6. 常见陷阱

错误做法:

对非恒定加速度运动，用 $(v_{i} + v_{f}) /2$ 计算平均速度。

原因:

学生记住了这个恒定加速度的捷径，过度推广到所有运动。

正确做法:

任何运动都始终用核心定义 $\overset{v}{ˉ} = Δ x /Δ t$ 计算平均速度；只有加速度明确恒定时才能使用速度平均的捷径。

错误做法:

将速度-时间图像的 y 值解读为位置。

原因:

学生混淆了坐标轴，搞混位置和速度物理量。

正确做法:

解读任何运动学图像前，先给每个坐标轴标注，然后提醒自己：'斜率 = 下一个物理量，面积 = 上一个物理量'。

错误做法:

将总路径长度相加得到位移，当物体最终停在起点左侧时得到正位移。

原因:

学生混淆标量路程和矢量位移。

正确做法:

位移始终用末位置减初位置计算，和中间经过的路径无关。

错误做法:

求解 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ 时只取正平方根，即使物体沿负方向运动。

原因:

学生默认速度始终为正，忘记速度是带符号的矢量。

正确做法:

开平方后，一定要根据运动方向选择正确的符号得到最终答案。

错误做法:

认为零加速度意味着零速度。

原因:

学生混淆加速度（速度的变化率）和速度本身。

正确做法:

永远记住：零加速度意味着匀速（可以不为零），零速度意味着瞬时速度为零（可以有非零加速度，例如最大高度处的球）。

错误做法:

计算净位移时，将 $v$ - $t$ 图下所有面积都当作正。

原因:

学生认为面积始终为正，忽略负速度产生负位移。

正确做法:

求和计算净变化前，给所有位于时间轴下方的面积加上负号。

7. 速查表

类别	公式	注释
位移	$Δ x = x_{f} - x_{i}$	矢量净变化；不等于总路程
平均速度	$\overset{v}{ˉ} = Δ x /Δ t$	对所有运动都成立，无论加速度是否恒定
瞬时速度	$v = d x / d t = slope of x - t$	AP1 中如果不需要微积分，可作为切线斜率计算
平均加速度	$\overset{a}{ˉ} = Δ v /Δ t$	对所有运动都成立
瞬时加速度	$a = d v / d t = slope of v - t$	位置的二阶导数： $a = d^{2} x / d t^{2}$
图像面积法则	$Δ x = net area under v - t; Δ v = net area under a - t$	轴下方面积为负，轴上方面积为正
恒定加速度公式1	$v = v_{0} + a t$	仅对恒定 $a$ 成立；省略 $Δ x$
恒定加速度公式2	$Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$	仅对恒定 $a$ 成立；省略末速度 $v$
恒定加速度公式3	$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$	仅对恒定 $a$ 成立；省略时间 $t$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
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Syllabus官方 AP 物理 1 CED官方运动学学习目标

下一步

位置、速度和加速度是整个运动学、也是整个 AP 物理 1 课程的基础构建块。接下来的每个主题，从牛顿运动定律到能量、动量和圆周运动，都依赖你正确关联这三个物理量来分析运动的能力。如果没有扎实掌握如何解读这些物理量的图像、应用恒定加速度运动学公式，你会很难建立和求解考试中几乎所有的自由回答题，以及很多选择题。接下来，你会把这些一维概念推广到二维运动，从抛体运动开始，你会把水平和竖直运动分离为独立的一维运动学问题，使用你在这里学到的所有规则。