# 位置、速度与加速度

> AP 物理 1 · 第一单元：运动学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u1-position-velocity-and-acceleration/

本子主题涵盖核心运动学定义、平均量与瞬时量、图像关系和一维恒定加速度公式，是所有 AP 物理 1 运动分析的基础。

**先修:** 基础矢量性质（大小和方向）; 一维坐标系约定; 代数中的基础斜率和变化率知识

## 学习目标

- 区分标量和矢量运动学物理量
- 关联平均与瞬时位置、速度和加速度
- 解读运动学物理量之间的图像关系
- 求解恒定加速度下的一维运动问题

## 核心运动学物理量

本主题是所有运动学的基础，占 AP 物理 1 考试总分的 10%-16%。本主题的概念是所有运动分析问题的基础，从力学到圆周运动都离不开它，因此准确识别物理量至关重要。

**核心运动学物理量** — 核心物理量按是否为标量（只有大小）或矢量（大小+方向）区分如下：

*例:* - 位置（矢量）：相对于定义原点的位置
- 位移（矢量）：位置的净变化量，$\Delta x = x_f - x_i$
- 路程（标量）：经过路径的总长度
- 速度（矢量）：位置的变化率
- 速率（标量）：速度的大小
- 加速度（矢量）：速度的变化率

**例题:** 一位徒步者沿直线路径向东走了 3 km，随后掉头向西往起点走了 1 km。以向东为正方向，求总路程和总位移。

1. 总路程是所有路径段的标量和：
2. $$3\ \text{km} + 1\ \text{km} = 4\ \text{km}$$
3. 位移是位置的矢量变化，起点为 $x_i = 0$：
4. $$x_f = 3 - 1 = 2\ \text{km}, \quad \Delta x = x_f - x_i = 2\ \text{km}$$

## 平均量与瞬时量

所有运动学物理量都可以分为平均量（在有限时间间隔内测量）或瞬时量（在单个时刻测量）。平均量的定义对所有运动都成立，无论加速度是恒定还是变化的。

$$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}, \quad \bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$$

瞬时量是时间间隔趋近于零时平均量的极限，等于导数：$v = \frac{dx}{dt}$（瞬时速度）和 $a = \frac{dv}{dt}$（瞬时加速度）。从图像上看，瞬时速度是$x$-$t$图切线的斜率，瞬时加速度是$v$-$t$图切线的斜率。

**例题:** 一位自行车手沿直线路径运动，位置函数为 $x(t) = 0.5t^2 + 2t + 1$，其中 $x$ 单位为米，$t$ 单位为秒。求 (a) $t=1\ \text{s}$ 到 $t=5\ \text{s}$ 之间的平均速度，以及 (b) $t=3\ \text{s}$ 时的瞬时速度。

1. 计算区间的初位置和末位置：
2. $$x(1) = 0.5(1)^2 + 2(1) + 1 = 3.5\ \text{m}, \quad x(5) = 0.5(25) + 2(5) + 1 = 23.5\ \text{m}$$
3. 用核心定义计算平均速度：
4. $$\Delta x = 23.5 - 3.5 = 20\ \text{m}, \quad \Delta t = 5 - 1 = 4\ \text{s}, \quad \bar{v} = \frac{20}{4} = 5\ \text{m/s}$$
5. 求瞬时速度，对位置函数求导：
6. $$v(t) = \frac{dx}{dt} = t + 2$$
7. 代入 $t=3\ \text{s}$ 计算：
8. $$v(3) = 3 + 2 = 5\ \text{m/s}$$

> **tip**
>
> 在 AP 物理 1 中，你不需要用正式微积分求瞬时速度；你总能在给定图像上画切线，计算升除以跑得到结果。

## 物理量之间的图像关系

AP 物理 1 非常注重考查运动学物理量的图像解读。核心关系遵循两条简单规则：

- **斜率法则**：任意运动学图像的斜率等于关系链中的*下一个*物理量：$\text{slope of }x\text{-}t = v$, $\text{slope of }v\text{-}t = a$
- **面积法则**：任意运动学图像的*净带符号面积*等于关系链中*上一个*物理量的变化量：$\text{net area under }v\text{-}t = \Delta x$, $\text{net area under }a\text{-}t = \Delta v$

面积带符号：时间轴上方的面积为正，下方为负，对应正或负的速度/加速度。

**例题:** 沿直线轨道运动的玩具车的$v$-$t$图分为三段：(1) $t=0$ 到 $t=2\ \text{s}$：$v=4\ \text{m/s}$ 的水平线，(2) $t=2\ \text{s}$ 到 $t=4\ \text{s}$：从 $v=4\ \text{m/s}$ 到 $v=0$ 的直线，(3) $t=4\ \text{s}$ 到 $t=6\ \text{s}$：从 $v=0$ 到 $v=-4\ \text{m/s}$ 的直线。求 $t=0$ 到 $t=6\ \text{s}$ 内车的总位移。

1. 计算每一段的带符号面积，因为 $v$-$t$ 图下的面积等于位移：
2. 第一段（0 到 2 秒）：矩形面积：
3. $$2\ \text{s} \times 4\ \text{m/s} = 8\ \text{m}$$
4. 第二段（2 到 4 秒）：三角形面积：
5. $$0.5 \times 2\ \text{s} \times 4\ \text{m/s} = 4\ \text{m}$$
6. 第三段（4 到 6 秒）：位于时间轴下方的三角形，因此面积为负：
7. $$0.5 \times 2\ \text{s} \times (-4\ \text{m/s}) = -4\ \text{m}$$
8. 对面积求和得到总位移：
9. $$\Delta x_{\text{total}} = 8 + 4 - 4 = 8\ \text{m}$$

> **tip**
>
> 如果你混淆了斜率和面积法则，只要检查单位：$x$-$t$ 图的斜率单位是 m/s，对应速度，而 $v$-$t$ 图的面积单位是米，对应位移。

## 恒定加速度运动学公式

对于加速度恒定的运动（例如地球表面附近的自由落体、恒定刹车），我们可以推导出三个简化公式，大幅加快解题速度。这些公式 *仅在加速度恒定时成立* — 如果加速度变化，请使用图像法或核心定义求解。

$$\begin{align} v &= v_0 + a t \tag{1} \\ \Delta x &= v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \tag{2} \\ v^2 &= v_0^2 + 2 a \Delta x \tag{3} \end{align}$$

每个公式省略一个未知量，因此你总能选择匹配已知量的公式一步求解未知量。

**例题:** 一个球从地面竖直向上抛出，初速度为 $20\ \text{m/s}$。取向上为正方向，重力加速度 $a = -10\ \text{m/s}^2$。求球能达到的最大高度。

1. 列出所有已知和未知量：初速度 $v_0 = 20\ \text{m/s}$，末速度 $v = 0\ \text{m/s}$（球在最大高度处瞬时静止），加速度 $a = -10\ \text{m/s}^2$，未知量是位移 $\Delta x$（最大高度）。
2. 选择省略时间（我们的未知量）的公式：公式 3。
3. 将已知值代入公式：
4. $$0^2 = (20)^2 + 2(-10)\Delta x$$
5. 求解 $\Delta x$：
6. $$0 = 400 - 20\Delta x \rightarrow 20\Delta x = 400 \rightarrow \Delta x = 20\ \text{m}$$

> **tip**
>
> 开始求解恒定加速度问题前，一定要先定义正方向，再根据该方向给所有矢量标注符号；这可以消除自由落体问题中 90% 的常见符号错误。

## AP 风格概念检测

**概念自测**

用这些 AP 风格题目测试你的理解：

1. 一个物体沿直线运动，位置为 $x(t) = 2t^3 - 6t$，其中 $x$ 单位为米，$t>0$ 时单位为秒。$t = 2\ \text{s}$ 时物体的瞬时加速度是多少？

   - $12\ \text{m/s}^2$
   - $18\ \text{m/s}^2$
   - $24\ \text{m/s}^2$
   - $30\ \text{m/s}^2$

   *答案:* $24\ \text{m/s}^2$

   *解析:* 瞬时加速度是位置的二阶导数：$v(t) = 6t^2 - 6$, $a(t) = 12t$, 所以 $a(2) = 24\ \text{m/s}^2$。

**例题:** 一位司机在郊区街道以 $15\ \text{m/s}$ 行驶时，一只猫跑到路上。司机的反应时间为 $0.6\ \text{s}$（看到猫到踩刹车的时间），刹车后提供恒定减速度 $4.5\ \text{m/s}^2$。从司机看到猫到车完全停下，车行驶的总距离是多少？

1. 将运动分为两段：反应时间（匀速，无加速度）和刹车（恒定减速）。
2. 反应时间段的距离：
3. $$d_1 = v_0 t_{\text{react}} = 15 \times 0.6 = 9\ \text{m}$$
4. 刹车阶段：$v_0 = 15\ \text{m/s}$, $v = 0$（停下），$a = -4.5\ \text{m/s}^2$：
5. 使用省略时间的恒定加速度公式：
6. $$0 = 15^2 + 2(-4.5)d_2 \rightarrow 0 = 225 - 9d_2 \rightarrow d_2 = 25\ \text{m}$$
7. 总停车距离：
8. $$d_{\text{total}} = d_1 + d_2 = 9 + 25 = 34\ \text{m}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 对非恒定加速度运动，用 $(v_i + v_f)/2$ 计算平均速度。
  - 原因: 学生记住了这个恒定加速度的捷径，过度推广到所有运动。
  - 正确做法: 任何运动都始终用核心定义 $\bar{v} = \Delta x / \Delta t$ 计算平均速度；只有加速度明确恒定时才能使用速度平均的捷径。
- **错误做法:** 将速度-时间图像的 y 值解读为位置。
  - 原因: 学生混淆了坐标轴，搞混位置和速度物理量。
  - 正确做法: 解读任何运动学图像前，先给每个坐标轴标注，然后提醒自己：'斜率 = 下一个物理量，面积 = 上一个物理量'。
- **错误做法:** 将总路径长度相加得到位移，当物体最终停在起点左侧时得到正位移。
  - 原因: 学生混淆标量路程和矢量位移。
  - 正确做法: 位移始终用末位置减初位置计算，和中间经过的路径无关。
- **错误做法:** 求解 $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$ 时只取正平方根，即使物体沿负方向运动。
  - 原因: 学生默认速度始终为正，忘记速度是带符号的矢量。
  - 正确做法: 开平方后，一定要根据运动方向选择正确的符号得到最终答案。
- **错误做法:** 认为零加速度意味着零速度。
  - 原因: 学生混淆加速度（速度的变化率）和速度本身。
  - 正确做法: 永远记住：零加速度意味着匀速（可以不为零），零速度意味着瞬时速度为零（可以有非零加速度，例如最大高度处的球）。
- **错误做法:** 计算净位移时，将 $v$-$t$ 图下所有面积都当作正。
  - 原因: 学生认为面积始终为正，忽略负速度产生负位移。
  - 正确做法: 求和计算净变化前，给所有位于时间轴下方的面积加上负号。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 位移 | $\Delta x = x_f - x_i$ | 矢量净变化；不等于总路程 |
| 平均速度 | $\bar{v} = \Delta x / \Delta t$ | 对所有运动都成立，无论加速度是否恒定 |
| 瞬时速度 | $v = dx/dt = \text{slope of }x\text{-}t$ | AP1 中如果不需要微积分，可作为切线斜率计算 |
| 平均加速度 | $\bar{a} = \Delta v / \Delta t$ | 对所有运动都成立 |
| 瞬时加速度 | $a = dv/dt = \text{slope of }v\text{-}t$ | 位置的二阶导数：$a = d^2x/dt^2$ |
| 图像面积法则 | $\Delta x = \text{net area under }v\text{-}t; \Delta v = \text{net area under }a\text{-}t$ | 轴下方面积为负，轴上方面积为正 |
| 恒定加速度公式1 | $v = v_0 + at$ | 仅对恒定 $a$ 成立；省略 $\Delta x$ |
| 恒定加速度公式2 | $\Delta x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ | 仅对恒定 $a$ 成立；省略末速度 $v$ |
| 恒定加速度公式3 | $v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x$ | 仅对恒定 $a$ 成立；省略时间 $t$ |

## 下一步

位置、速度和加速度是整个运动学、也是整个 AP 物理 1 课程的基础构建块。接下来的每个主题，从牛顿运动定律到能量、动量和圆周运动，都依赖你正确关联这三个物理量来分析运动的能力。如果没有扎实掌握如何解读这些物理量的图像、应用恒定加速度运动学公式，你会很难建立和求解考试中几乎所有的自由回答题，以及很多选择题。接下来，你会把这些一维概念推广到二维运动，从抛体运动开始，你会把水平和竖直运动分离为独立的一维运动学问题，使用你在这里学到的所有规则。

- [抛体运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u1-projectile-motion/)
- [AP物理1 运动学图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u1-kinematic-graphs/)
- [恒定加速度运动学公式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-1-u1-kinematic-equations-for-constant-acceleration/)

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