# 弱碱的pH

> AP 化学 · 酸和碱（第8单元）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-chemistry-u8-ph-of-weak-bases/

本模块讲解AP化学中弱碱溶液pH的计算，内容包括碱解离常数$K_b$、$K_a$-$K_b$-$K_w$关系、近似计算、电离度和碱性盐溶液的pH。

**先修:** 水的自电离以及$K_w = [H^+][OH^-]$; pH和pOH的定义与换算; 平衡ICE表的构建

## 学习目标

- 根据共轭酸的$K_a$计算$K_b$
- 计算纯弱碱溶液的pH
- 计算碱性盐溶液的pH
- 计算弱碱的电离度
- 运用5%规则判断平衡近似是否合理

## 碱解离常数（$K_b$）与$K_a$-$K_b$-$K_w$关系

**碱解离常数** — 弱碱在水中部分电离的平衡常数，用于衡量碱的强度。$K_b$越大，碱性越强。

*记法:* $K_b$

*例:* 氨是常见的弱碱，其$K_b = 1.8 \times 10^{-5}$

当弱碱$\text{B}$溶于水时，它会从水中夺取质子，平衡反应如下：

$$\text{B}(aq) + \text{H}_2\text{O}(l) \rightleftharpoons \text{BH}^+(aq) + \text{OH}^-(aq)$$

水是纯溶剂，因此不写入平衡表达式（纯液体的活度为1）。$K_b$的表达式为：

$$K_b = \frac{[\text{BH}^+][\text{OH}^-]}{[\text{B}]}$$

在25℃下，对于任意共轭酸碱对，酸的解离常数与其共轭碱的解离常数的乘积等于水的自电离常数$K_w$：

$$K_a \times K_b = K_w = 1.0 \times 10^{-14}$$

$$\text{p}K_a + \text{p}K_b = 14 \quad (\text{at } 25^\circ C)$$

**例题:** 25℃下，铵根离子（$NH_4^+$，氨$NH_3$的共轭酸）的$K_a$为$5.6 \times 10^{-10}$。计算氨的$K_b$。

1. 回忆共轭酸碱对的核心关系：

   $$K_a \times K_b = K_w = 1.0 \times 10^{-14}$$
2. 整理得$K_b$的表达式：

   $$K_b = \frac{K_w}{K_a}$$
3. 代入已知数值：

   $$K_b = \frac{1.0 \times 10^{-14}}{5.6 \times 10^{-10}} = 1.8 \times 10^{-5}$$
4. 合理性检验：氨是弱碱，因此$K_b < 1$，与我们的计算结果一致。

> **考试提示:** 如果题目给出的是$\text{p}K_a$而非$K_a$，直接用14减去$\text{p}K_a$即可得到$\text{p}K_b$，在选择题中可以节省时间。

## 纯弱碱溶液的pH计算

已知初始浓度和$K_b$时，我们通过ICE（初始、变化、平衡）表得到平衡时的$[OH^-]$，再换算得到pH。设弱碱初始浓度为$c$，ICE表得到的平衡浓度为：$[B] = c - x$，$[BH^+] = x$，$[OH^-] = x$，其中$x = [OH^-]$。代入$K_b$表达式可得：

$$K_b = \frac{x^2}{c - x}$$

由于弱碱的$K_b$非常小，$x << c$，因此可以近似认为$c - x \approx c$，将表达式简化为：

$$x = [OH^-] \approx \sqrt{K_b \times c}$$

计算得到$x$后，我们需要用5%规则检验：如果$\frac{x}{c} \times 100\% < 5\%$，则近似成立；否则需要解二次方程得到$x$的精确值。得到$[OH^-]$后，计算$\text{pOH} = -\log[OH^-]$，再在25℃下通过$\text{pH} = 14 - \text{pOH}$得到pH。

**例题:** 计算25℃下0.15 M甲胺（$CH_3NH_2$）溶液的pH，已知该温度下甲胺的$K_b = 4.4 \times 10^{-4}$。

1. 写出平衡反应：

   $$CH_3NH_2(aq) + H_2O(l) \rightleftharpoons CH_3NH_3^+(aq) + OH^-(aq)$$
2. 构建ICE表：初始$[CH_3NH_2] = 0.15$ M，其余物质初始浓度均为0；浓度变化：$-x$，$+x$，$+x$；平衡浓度：$0.15 - x$，$x$，$x$。
3. 应用近似：

   $$x = \sqrt{K_b \times c} = \sqrt{(4.4 \times 10^{-4})(0.15)} = 8.1 \times 10^{-3} \text{ M}$$
4. 用5%规则检验：$\frac{8.1 \times 10^{-3}}{0.15} \times 100\% = 5.4\%$，略高于5%，因此需要解二次方程：

   $$x^2 + 4.4 \times 10^{-4}x - 6.6 \times 10^{-5} = 0, \text{ giving } x = 7.9 \times 10^{-3} \text{ M}$$
5. 计算最终pH：

   $$\text{pOH} = -\log(7.9 \times 10^{-3}) = 2.10, \quad \text{pH} = 14 - 2.10 = 11.9$$

> **考试提示:** AP阅卷老师接受与正确值相差0.1个pH单位以内的答案，即使你在电离度为5-6%时使用了近似也不扣分，但在自由作答题中必须明确说明近似是否有效才能拿到满分。

## 碱性盐的pH

碱性盐是强碱和弱酸中和得到的离子化合物。它们在水中完全解离，产生旁观阳离子（来自强碱，不与水反应）和阴离子（弱酸的共轭碱，在溶液中作为弱碱发挥作用）。碱性盐pH的计算方法和其他弱碱完全相同。

**例题:** 计算25℃下0.25 M次氯酸钠（NaOCl）溶液的pH，已知该温度下次氯酸（HOCl）的$K_a = 3.5 \times 10^{-8}$。

1. 盐完全解离：$NaOCl(s) \rightarrow Na^+(aq) + OCl^-(aq)$，因此初始$[OCl^-] = 0.25$ M，$Na^+$是旁观离子，可以忽略。
2. 写出$OCl^-$的碱解离平衡并计算$K_b$：

   $$OCl^-(aq) + H_2O(l) \rightleftharpoons HOCl(aq) + OH^-(aq), \quad K_b = \frac{K_w}{K_a} = \frac{1.0 \times 10^{-14}}{3.5 \times 10^{-8}} = 2.9 \times 10^{-7}$$
3. 近似计算$[OH^-]$：

   $$[OH^-] = \sqrt{K_b \times c} = \sqrt{(2.9 \times 10^{-7})(0.25)} = 2.7 \times 10^{-4} \text{ M}$$
4. 用5%规则检验：$\frac{2.7 \times 10^{-4}}{0.25} \times 100\% = 0.11\% < 5\%$，因此近似有效。
5. 计算最终pH：

   $$\text{pOH} = -\log(2.7 \times 10^{-4}) = 3.57, \quad \text{pH} = 14 - 3.57 = 10.4$$

> **考试提示:** 解决碱性盐pH问题时一定要先找出旁观离子：来自强碱的所有第1族和重第2族金属阳离子都不影响pH，你只需要关注共轭碱阴离子即可。

## 弱碱的电离度

电离度是平衡时已经电离产生$OH^-$的弱碱占初始弱碱的百分比，计算公式为：

$$\text{Percent ionization} = \frac{[OH^-]_{equilibrium}}{[B]_{initial}} \times 100\%$$

电离度与碱的强度和溶液稀释程度都相关。对于给定的弱碱，溶液越稀，电离度越大。这符合勒夏特列原理：增大体积（稀释）会使平衡向溶质物质的量更多的一侧移动（1摩尔碱产生2摩尔离子），因此会有更多碱电离。

**例题:** 25℃下，0.10 M未知弱碱溶液的pH为10.5。计算该弱碱的电离度。

1. 由pH计算pOH：

   $$\text{pOH} = 14 - 10.5 = 3.5$$
2. 由pOH计算$[OH^-]$：

   $$[OH^-] = 10^{-\text{pOH}} = 10^{-3.5} = 3.2 \times 10^{-4} \text{ M}$$
3. 代入电离度公式：

   $$\text{Percent ionization} = \frac{3.2 \times 10^{-4}}{0.10} \times 100\% = 0.32\%$$
4. 合理性检验：0.32%的电离度远低于5%，说明该碱是弱碱，符合题目描述。

> **考试提示:** 如果题目要求你由电离度计算$K_b$，整理公式得到$x = [OH^-] = \left(\frac{\text{电离度}}{100}\right) \times c$，再将$x$和$c$代入$K_b = \frac{x^2}{c-x}$即可直接求解$K_b$。

## 常见错误

- **错误做法:** 像处理强碱一样，对弱碱使用$[OH^-] = c$（等于初始碱浓度）
  - 原因: 学生混淆了强碱100%解离和弱碱部分解离的规则，跳过了必需的平衡计算
  - 正确做法: 一定要先确认碱是弱碱还是强碱；如果是弱碱，必须用$K_b$和ICE表计算$[OH^-]$
- **错误做法:** 对弱碱建立平衡时，直接求解$[H^+]$而不是$[OH^-]$
  - 原因: 学生记住了弱酸pH的计算方法，错误地照搬过来，导致指数错误，最终pH远低于正确值
  - 正确做法: 对于任何弱碱平衡，一定要先建立ICE表求解$[OH^-]$，再通过pOH换算得到pH
- **错误做法:** 计算碱性盐pH时，忘记弱酸的阴离子是弱碱，错误认为盐是中性的
  - 原因: 学生忘记只有强酸强碱中和得到的盐才是中性的；弱酸的共轭碱会水解产生$OH^-$
  - 正确做法: 对于任何盐，解离为阳离子和阴离子；如果阴离子是弱酸的共轭碱，就按弱碱计算pH
- **错误做法:** 记错$K_a$-$K_b$关系，使用$K_b = \frac{K_a}{K_w}$而不是正确的$K_b = \frac{K_w}{K_a}$
  - 原因: 学生不写出完整关系，仅凭记忆翻转了分数
  - 正确做法: 整理之前一定要先写出完整关系$K_a K_b = K_w$，每次都要这么做
- **错误做法:** 将液态水写入$K_b$平衡表达式
  - 原因: 学生习惯把所有反应物都写进去，忘记纯溶剂的活度是1
  - 正确做法: 对于水溶液中的平衡，一定要从任何$K_a$或$K_b$表达式中省略纯液态水

## 速查表

| 类别 | 公式/规则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| $K_b$定义 | $K_b = \frac{[\text{BH}^+][OH^-]}{[\text{B}]}$ | 不包含水；$K_b$越大，碱性越强 |
| 共轭酸碱对关系 | $K_a \times K_b = 1.0 \times 10^{-14}$；$\text{p}K_a + \text{p}K_b = 14$ | 仅在25℃下成立 |
| 近似$[OH^-]$ | $[OH^-] \approx \sqrt{K_b \times c}$ | 电离度<5%时有效；$c$ = 弱碱初始浓度 |
| pH换算 | $\text{pH} = 14 - \text{pOH}$ | 弱碱一定要先求解$[OH^-]$ |
| 电离度 | $\% \text{电离度} = \frac{[OH^-]_{eq}}{[B]_{initial}} \times 100\%$ | 弱碱浓度越低，电离度越大 |
| 5%规则 | $\frac{[OH^-]}{[B]_{initial}} \times 100\% < 5\%$ | 如果>5%，解二次方程得到精确$[OH^-]$ |
| 碱性盐pH | 将共轭碱阴离子视为弱碱；阳离子是旁观离子 | 适用于强碱+弱酸生成的盐 |
| 二次方程解 | $x = \frac{-K_b + \sqrt{K_b^2 + 4 K_b c}}{2}$ | 仅取正根作为浓度 |

## 下一步

掌握弱碱pH的计算是AP化学第8单元《酸和碱》剩余内容的重要基础，也能巩固之前单元学习的核心平衡概念。在计算强酸-弱碱滴定等当点的pH时，你需要用到本模块讲的$K_a$-$K_b$关系来计算共轭酸产物的pH。对于由弱碱和其共轭盐组成的缓冲溶液，你需要直接用$K_b$计算缓冲溶液的pH，因此掌握弱碱pH计算是掌握这些内容的必要前提。在第8单元之外，本内容还为溶解度平衡打下基础，在溶解度平衡中，溶液pH会改变含碱性阴离子的离子化合物的溶解度。

- [弱酸的pH](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-chemistry-u8-ph-of-weak-acids/)
- [酸和碱的分子结构](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-chemistry-u8-molecular-structure-of-acids-and/)
- [pH与pKa](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-chemistry-u8-ph-and-pka/)

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