利用参数方程和向量值函数求解运动问题

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions· 14 分钟阅读

1. 位置、速度与加速度向量★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

对于在二维平面中运动的粒子，x和y坐标随时间独立变化，因此我们将位置表示为时间的向量值函数。对运动向量的所有运算都按分量进行：我们分别对每个坐标求导或积分。

📘 定义

位置向量

$r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$

给出粒子在时刻 $t$ 的水平位置 $x (t)$ 和竖直位置 $y (t)$ 的向量值函数。

速度是位置的一阶导数，通过分别对每个分量求导得到：

\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t) \rangle

加速度是速度的导数（位置的二阶导数）：

\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = \vec{r}''(t) = \langle x''(t), y''(t) \rangle

从加速度反推速度或位置时，我们按分量积分，然后利用初始条件求解每个分量的积分常数。

📐 例题

一个粒子在平面内运动，当 $t \geq 0$ 时加速度为 $a (t) = ⟨ 2 t, 6 ⟩$ 。在 $t = 0$ 时，速度为 $v (0) = ⟨ 4, 0 ⟩$ ，位置为 $r (0) = ⟨ 0, 10 ⟩$ 。求位置函数 $r (t)$ 。

1
对加速度按分量积分得到速度：
$\int 2t dt = t^2 + C_x; \int 6 dt = 6t + C_y \implies \vec{v}(t) = \langle t^2 + C_x, 6t + C_y \rangle$
2
利用初始速度求解积分常数：
$v_x(0) = C_x = 4; v_y(0) = C_y = 0 \implies \vec{v}(t) = \langle t^2 + 4, 6t \rangle$
3
对速度按分量积分得到位置：
$\int (t^2 + 4) dt = \frac{1}{3}t^3 + 4t + D_x; \int 6t dt = 3t^2 + D_y \implies \vec{r}(t) = \langle \frac{1}{3}t^3 + 4t + D_x, 3t^2 + D_y \rangle$
4
利用初始位置求解积分常数，得到最终位置函数：
$x(0) = D_x = 0; y(0) = D_y = 10 \implies \vec{r}(t) = \langle \frac{1}{3}t^3 + 4t, 3t^2 + 10 \rangle$

2. 运动的速率与方向★★☆☆☆⏱ 2 min

✓ 计算器

速度是同时具有大小和方向的向量。速度向量的大小称为速率，是一个非负标量，描述粒子运动的快慢，与方向无关。

\text{speed} = |\vec{v}(t)| = \sqrt{\left(x'(t)\right)^2 + \left(y'(t)\right)^2}

要确定运动方向，检查每个速度分量的符号： $x^{'} (t)$ 为正表示向右运动，负表示向左； $y^{'} (t)$ 为正表示向上运动，负表示向下。斜率 $\frac{y ^{'} ( t )}{x ^{'} ( t )}$ 给出了粒子路径在时刻 $t$ 处切线的斜率。

📐 例题

一个粒子在 $t \geq 0$ 时的位置为 $r (t) = ⟨ cos t, 2 sin t ⟩$ 。求粒子在 $t = \frac{π}{3}$ 时的速率，并说明此时它向左/向右、向上/向下运动。

1
对位置按分量求导得到速度：
$x'(t) = -\sin t; y'(t) = 2 \cos t \implies \vec{v}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \langle -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right), 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \rangle$
2
在 $t = \frac{π}{3}$ 处计算分量值：
$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}; \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies \vec{v}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \langle -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \rangle$
3
计算速度向量的模长得到速率：
$|v| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (1)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$
4
检查分量符号确定方向： $v_{x} = - \frac{3}{2} < 0$ （向左运动）， $v_{y} = 1 > 0$ （向上运动）。

3. 位移与总路程★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

位移（位置的净变化）与总路程（粒子经过路径的总长度）的区别是AP考试反复考察的核心知识点。

📘 定义

位移

从 $t = a$ 到 $t = b$ 位置的净变化，计算公式为 $Δ r = r (b) - r (a)$ 。它是向量，其模长是起点和终点之间的直线距离。

📘 定义

总路程

粒子从 $t = a$ 到 $t = b$ 运动路径的总长度，是标量。由于速率是路程对时间的变化率，因此我们通过对区间内的速率积分计算总路程：

\text{Total Distance} = \int_a^b |\vec{v}(t)| dt = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt

这个公式与参数曲线的弧长公式完全相同，这很合理，因为我们计算的就是粒子随时间运动轨迹的长度。

📐 例题

一个粒子在 $0 \leq t \leq 3$ 内的速度为 $v (t) = ⟨ 2 t - 2, 3 ⟩$ 。求(a)从 $t = 0$ 到 $t = 3$ 的位移，(b)同一区间内的总路程。

1
(a) 位移通过对区间内的速度按分量积分得到：
$\Delta x = \int_0^3 (2t - 2) dt = \left[t^2 - 2t\right]_0^3 = 3; \Delta y = \int_0^3 3 dt = 9. \text{ Displacement} = \langle 3, 9 \rangle$
2
(b) 将速率写为速度的模长：
$|v(t)| = \sqrt{(2t - 2)^2 + 3^2} = \sqrt{4t^2 - 8t + 13}$
3
建立总路程的积分式：
$\text{Total Distance} = \int_0^3 \sqrt{4t^2 - 8t + 13} dt$
4
总路程 ≈ 10.311

4. 抛体运动建模★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

抛体运动（物体发射后仅受重力作用的运动）是AP考试中最常考察的实际应用之一。在标准坐标系中（原点在发射点，x轴水平向右，y轴竖直向上），加速度完全由重力产生，因此水平加速度始终为0：

\vec{a}(t) = \langle 0, -g \rangle

其中英制单位中 $g = 32 ft/s^{2}$ ，公制单位中 $g = 9.8 m/s^{2}$ 。如果粒子从初始高度 $h$ 以初速率 $v_{0}$ 、与水平方向成 $θ$ 角发射，积分后得到标准位置函数：

\vec{r}(t) = \langle (v_0 \cos \theta) t, h + (v_0 \sin \theta)t - \frac{1}{2} g t^2 \rangle

常见问题包括求最大高度、落地时间或射程（落地时的水平距离），都可以用向量运动的求导和积分法则解决。最大高度出现在竖直速度等于0时。

📐 例题

一个抛体从距离地面10米高的平台发射，初速率为60 m/s，发射角与水平方向成45度。取 $g = 9.8 m / s^{2}$ ，求抛体到达的最大离地高度。

1
计算初速度分量，写出位置函数：
$v_0 \cos 45^\circ = 30\sqrt{2}, v_0 \sin 45^\circ = 30\sqrt{2} \implies \vec{r}(t) = \langle 30\sqrt{2} t, 10 + 30\sqrt{2} t - 4.9 t^2 \rangle$
2
最大高度出现在竖直速度为0时，求竖直速度：
$v_y(t) = \frac{dy}{dt} = 30\sqrt{2} - 9.8 t$
3
令 $v_{y} (t) = 0$ ，求解 $t$ ：
$t = \frac{30\sqrt{2}}{9.8} \approx 4.329 \text{ 秒}$
4
将 $t$ 代回竖直位置函数，得到最大高度：
$y(4.329) \approx 101.63 \text{ 米}$

5. 常见陷阱

错误做法:

当题目要求求总路程时，你计算了位移的模长 $(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ ，而不是对速率积分。

原因:

学生混淆了位移和总路程的定义，误以为'距离'就是净变化。

正确做法:

始终确认题目要求的是净位移还是总路径长度；如果要求总路程，建立从起始时间到结束时间的定积分 $(x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2}$ 。

错误做法:

从加速度积分求位置时，你只求出了一个积分常数，而总共需要四个（速度两个，位置两个）。

原因:

学生忘记积分是按分量进行的，因此每个积分都会产生一个独立的常数。

正确做法:

每次积分步骤后（加速度→速度，速度→位置），先利用初始条件立即求解每个分量的常数，再进入下一步。

错误做法:

当题目要求求速率时，你写出了速度向量，或者只给出一个分量。

原因:

学生混淆了速度（向量）和速率（速度的标量模长）。

正确做法:

如果题目要求求速率，始终计算 $v_{x} (t)^{2} + v_{y} (t)^{2}$ 得到非负标量值。

错误做法:

抛体运动中，你把重力加速度加到了水平分量上。

原因:

学生混淆了重力作用的坐标轴。

正确做法:

抛体运动中始终将水平加速度设为0；重力只影响运动的竖直分量。

错误做法:

判断运动方向时，你使用了原点出发的位置向量的斜率，而不是速度向量的斜率。

原因:

学生混淆了位置（粒子在哪里）和速度（粒子运动的方向）。

正确做法:

运动方向始终由速度向量的分量决定，而不是位置向量的分量。

6. 速查表

类别	公式	说明
位置向量	$r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$	$x (t)$ = 水平位置， $y (t)$ = 时刻 $t$ 的竖直位置
速度向量	$v (t) = r^{'} (t) = ⟨ x^{'} (t), y^{'} (t)⟩$	按分量求导； $v_{x}$ 的符号表示左/右， $v_{y}$ 的符号表示上/下
加速度向量	$a (t) = v^{'} (t) = ⟨ x^{''} (t), y^{''} (t)⟩$	反推时每个分量对应一个积分常数
速率（标量）	$∣ v (t) ∣ = (x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2}$	始终非负；是速度向量的模长
位移	$Δ r = r (b) - r (a)$	位置的净变化，向量
总路程	$\int_{a}^{b} (x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2} d t$	总路径长度，标量
抛体位置	$r (t) = ⟨(v_{0} cos θ) t, h + (v_{0} sin θ) t - \frac{1}{2} g t^{2} ⟩$	水平加速度 = 0，重力仅作用于竖直分量

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下一步

本小节是参数方程和向量值函数的核心应用，在AP微积分BC考试的选择题和自由问答题部分都频繁出现。掌握这些运动学概念，是在你AP微积分AB一维运动理解的基础上，将其扩展到无法用单变量函数建模的曲线路径，这是大学物理和工程学的基础。由于考试中大多数总路程问题都需要数值积分，你需要练习结合计算器使用这些技巧。接下来，你可以学习第9单元的相关概念，完成完整的知识掌握。