# 利用参数方程和向量值函数求解运动问题

> AP 微积分 BC · CED 第9单元：参数方程、极坐标与向量值函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-solving-motion-problems-using-parametric/

本讲解涵盖AP微积分BC中使用参数方程和向量值函数对二维运动建模的内容，包括核心向量、速率计算、位移与总路程的区别，以及常见的抛体运动应用。

**先修:** 参数函数的求导与积分; 链式求导法则; 手动和使用计算器计算定积分

## 学习目标

- 使用位置、速度和加速度向量对二维运动建模
- 计算参数运动的速率和运动方向
- 区分位移与总路程
- 使用参数向量方法求解标准抛体运动问题

## 位置、速度与加速度向量

对于在二维平面中运动的粒子，x和y坐标随时间独立变化，因此我们将位置表示为时间的向量值函数。对运动向量的所有运算都按分量进行：我们分别对每个坐标求导或积分。

**位置向量** — 给出粒子在时刻$t$的水平位置$x(t)$和竖直位置$y(t)$的向量值函数。

*记法:* $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$

速度是位置的一阶导数，通过分别对每个分量求导得到：

$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t) \rangle$$

加速度是速度的导数（位置的二阶导数）：

$$\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = \vec{r}''(t) = \langle x''(t), y''(t) \rangle$$

从加速度反推速度或位置时，我们按分量积分，然后利用初始条件求解每个分量的积分常数。

**例题:** 一个粒子在平面内运动，当$t \geq 0$时加速度为$\vec{a}(t) = \langle 2t, 6 \rangle$。在$t=0$时，速度为$\vec{v}(0) = \langle 4, 0 \rangle$，位置为$\vec{r}(0) = \langle 0, 10 \rangle$。求位置函数$\vec{r}(t)$。

1. 对加速度按分量积分得到速度：

   $$\int 2t dt = t^2 + C_x; \int 6 dt = 6t + C_y \implies \vec{v}(t) = \langle t^2 + C_x, 6t + C_y \rangle$$
2. 利用初始速度求解积分常数：

   $$v_x(0) = C_x = 4; v_y(0) = C_y = 0 \implies \vec{v}(t) = \langle t^2 + 4, 6t \rangle$$
3. 对速度按分量积分得到位置：

   $$\int (t^2 + 4) dt = \frac{1}{3}t^3 + 4t + D_x; \int 6t dt = 3t^2 + D_y \implies \vec{r}(t) = \langle \frac{1}{3}t^3 + 4t + D_x, 3t^2 + D_y \rangle$$
4. 利用初始位置求解积分常数，得到最终位置函数：

   $$x(0) = D_x = 0; y(0) = D_y = 10 \implies \vec{r}(t) = \langle \frac{1}{3}t^3 + 4t, 3t^2 + 10 \rangle$$

> **tip**
>
> 从加速度反推位置时，每次积分后都要立即求解积分常数，避免保留未知量导致计算错误。

*计算器:* allowed

## 运动的速率与方向

速度是同时具有大小和方向的向量。速度向量的大小称为速率，是一个非负标量，描述粒子运动的快慢，与方向无关。

$$\text{speed} = |\vec{v}(t)| = \sqrt{\left(x'(t)\right)^2 + \left(y'(t)\right)^2}$$

要确定运动方向，检查每个速度分量的符号：$x'(t)$为正表示向右运动，负表示向左；$y'(t)$为正表示向上运动，负表示向下。斜率$\frac{y'(t)}{x'(t)}$给出了粒子路径在时刻$t$处切线的斜率。

**例题:** 一个粒子在$t \geq 0$时的位置为$\vec{r}(t) = \langle \cos t, 2 \sin t \rangle$。求粒子在$t = \frac{\pi}{3}$时的速率，并说明此时它向左/向右、向上/向下运动。

1. 对位置按分量求导得到速度：

   $$x'(t) = -\sin t; y'(t) = 2 \cos t \implies \vec{v}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \langle -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right), 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \rangle$$
2. 在$t = \frac{\pi}{3}$处计算分量值：

   $$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}; \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies \vec{v}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \langle -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \rangle$$
3. 计算速度向量的模长得到速率：

   $$|v| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (1)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$$
4. 检查分量符号确定方向：$v_x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$（向左运动），$v_y = 1 > 0$（向上运动）。

> **tip**
>
> 如果题目要求求速率，绝对不能直接写速度向量作为答案。速率是标量，因此你必须始终计算模长，得到一个非负数值。

*计算器:* allowed

## 位移与总路程

位移（位置的净变化）与总路程（粒子经过路径的总长度）的区别是AP考试反复考察的核心知识点。

**位移** — 从$t=a$到$t=b$位置的净变化，计算公式为$\Delta \vec{r} = \vec{r}(b) - \vec{r}(a)$。它是向量，其模长是起点和终点之间的直线距离。

**总路程** — 粒子从$t=a$到$t=b$运动路径的总长度，是标量。由于速率是路程对时间的变化率，因此我们通过对区间内的速率积分计算总路程：

$$\text{Total Distance} = \int_a^b |\vec{v}(t)| dt = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

这个公式与参数曲线的弧长公式完全相同，这很合理，因为我们计算的就是粒子随时间运动轨迹的长度。

**例题:** 一个粒子在$0 \leq t \leq 3$内的速度为$\vec{v}(t) = \langle 2t - 2, 3 \rangle$。求(a)从$t=0$到$t=3$的位移，(b)同一区间内的总路程。

1. (a) 位移通过对区间内的速度按分量积分得到：

   $$\Delta x = \int_0^3 (2t - 2) dt = \left[t^2 - 2t\right]_0^3 = 3; \Delta y = \int_0^3 3 dt = 9. \text{ Displacement} = \langle 3, 9 \rangle$$
2. (b) 将速率写为速度的模长：

   $$|v(t)| = \sqrt{(2t - 2)^2 + 3^2} = \sqrt{4t^2 - 8t + 13}$$
3. 建立总路程的积分式：

   $$\text{Total Distance} = \int_0^3 \sqrt{4t^2 - 8t + 13} dt$$
4. 总路程 ≈ 10.311

> **tip**
>
> 如果题目要求求"总路程"，你必须建立速率的积分式。一半的考生都会在这里不小心计算位移而失分。

*计算器:* allowed

## 抛体运动建模

抛体运动（物体发射后仅受重力作用的运动）是AP考试中最常考察的实际应用之一。在标准坐标系中（原点在发射点，x轴水平向右，y轴竖直向上），加速度完全由重力产生，因此水平加速度始终为0：

$$\vec{a}(t) = \langle 0, -g \rangle$$

其中英制单位中$g = 32 \text{ ft/s}^2$，公制单位中$g = 9.8 \text{ m/s}^2$。如果粒子从初始高度$h$以初速率$v_0$、与水平方向成$\theta$角发射，积分后得到标准位置函数：

$$\vec{r}(t) = \langle (v_0 \cos \theta) t, h + (v_0 \sin \theta)t - \frac{1}{2} g t^2 \rangle$$

常见问题包括求最大高度、落地时间或射程（落地时的水平距离），都可以用向量运动的求导和积分法则解决。最大高度出现在竖直速度等于0时。

**例题:** 一个抛体从距离地面10米高的平台发射，初速率为60 m/s，发射角与水平方向成45度。取$g=9.8 m/s^2$，求抛体到达的最大离地高度。

1. 计算初速度分量，写出位置函数：

   $$v_0 \cos 45^\circ = 30\sqrt{2}, v_0 \sin 45^\circ = 30\sqrt{2} \implies \vec{r}(t) = \langle 30\sqrt{2} t, 10 + 30\sqrt{2} t - 4.9 t^2 \rangle$$
2. 最大高度出现在竖直速度为0时，求竖直速度：

   $$v_y(t) = \frac{dy}{dt} = 30\sqrt{2} - 9.8 t$$
3. 令$v_y(t) = 0$，求解$t$：

   $$t = \frac{30\sqrt{2}}{9.8} \approx 4.329 \text{ 秒}$$
4. 将$t$代回竖直位置函数，得到最大高度：

   $$y(4.329) \approx 101.63 \text{ 米}$$

> **tip**
>
> 记住重力只作用于运动的竖直分量：抛体运动的水平加速度始终为0，因此水平速度恒定。你可以用这个结论快速检查计算结果。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 当题目要求求总路程时，你计算了位移的模长$\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，而不是对速率积分。
  - 原因: 学生混淆了位移和总路程的定义，误以为'距离'就是净变化。
  - 正确做法: 始终确认题目要求的是净位移还是总路径长度；如果要求总路程，建立从起始时间到结束时间的定积分$\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$。
- **错误做法:** 从加速度积分求位置时，你只求出了一个积分常数，而总共需要四个（速度两个，位置两个）。
  - 原因: 学生忘记积分是按分量进行的，因此每个积分都会产生一个独立的常数。
  - 正确做法: 每次积分步骤后（加速度→速度，速度→位置），先利用初始条件立即求解每个分量的常数，再进入下一步。
- **错误做法:** 当题目要求求速率时，你写出了速度向量，或者只给出一个分量。
  - 原因: 学生混淆了速度（向量）和速率（速度的标量模长）。
  - 正确做法: 如果题目要求求速率，始终计算$\sqrt{v_x(t)^2 + v_y(t)^2}$得到非负标量值。
- **错误做法:** 抛体运动中，你把重力加速度加到了水平分量上。
  - 原因: 学生混淆了重力作用的坐标轴。
  - 正确做法: 抛体运动中始终将水平加速度设为0；重力只影响运动的竖直分量。
- **错误做法:** 判断运动方向时，你使用了原点出发的位置向量的斜率，而不是速度向量的斜率。
  - 原因: 学生混淆了位置（粒子在哪里）和速度（粒子运动的方向）。
  - 正确做法: 运动方向始终由速度向量的分量决定，而不是位置向量的分量。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 位置向量 | $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$ | $x(t)$ = 水平位置，$y(t)$ = 时刻$t$的竖直位置 |
| 速度向量 | $\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t) \rangle$ | 按分量求导；$v_x$的符号表示左/右，$v_y$的符号表示上/下 |
| 加速度向量 | $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = \langle x''(t), y''(t) \rangle$ | 反推时每个分量对应一个积分常数 |
| 速率（标量） | $\|v(t)\| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$ | 始终非负；是速度向量的模长 |
| 位移 | $\Delta \vec{r} = \vec{r}(b) - \vec{r}(a)$ | 位置的净变化，向量 |
| 总路程 | $\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt$ | 总路径长度，标量 |
| 抛体位置 | $\vec{r}(t) = \langle (v_0 \cos \theta) t, h + (v_0 \sin \theta)t - \frac{1}{2} g t^2 \rangle$ | 水平加速度 = 0，重力仅作用于竖直分量 |

## 下一步

本小节是参数方程和向量值函数的核心应用，在AP微积分BC考试的选择题和自由问答题部分都频繁出现。掌握这些运动学概念，是在你AP微积分AB一维运动理解的基础上，将其扩展到无法用单变量函数建模的曲线路径，这是大学物理和工程学的基础。由于考试中大多数总路程问题都需要数值积分，你需要练习结合计算器使用这些技巧。接下来，你可以学习第9单元的相关概念，完成完整的知识掌握。

- [第9单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-overview/)
- [极坐标定义与极形式求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-defining-polar-coordinates-and-differentiating/)
- [极坐标区域或单条极坐标曲线围成面积的计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-finding-the-area-of-a/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-solving-motion-problems-using-parametric/