参数方程的二阶导数

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 参数方程、极坐标和向量值函数· 14 分钟阅读

1. 核心定义与公式推导★★☆☆☆⏱ 4 min

对于由 $x = x (t)$ 和 $y = y (t)$ 定义的参数曲线，y对x的二阶导数是一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ 随x变化的变化率，而非随参数t变化的变化率。本主题将凹凸性分析从笛卡尔函数推广到参数曲线，参数曲线可以描述闭曲线、非函数和质点运动轨迹。

📘 定义

参数曲线的二阶导数

$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$

对于参数曲线 $x = x (t), y = y (t)$ （其中 $x^{'} (t) \neq = 0$ ），一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ 对x的导数。

🔬 推导

目标:

推导 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 的通用公式

起点:

我们已知当 $x^{'} (t) \neq = 0$ 时，一阶导数 $\frac{d y}{d x} = \frac{y ^{'} ( t )}{x ^{'} ( t )}$ 。

1
二阶导数定义为 $\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})$ ，应用链式法则将其改写为对t的导数：
$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$
2
根据反函数导数关系，我们知道 $\frac{d t}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d t}} = \frac{1}{x ^{'} ( t )}$ ，因此：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right)}{x'(t)}$
3
对分子应用商的求导法则： $\frac{d}{d t} (\frac{y ^{'}}{x ^{'}}) = \frac{y ^{''} x ^{'} - y ^{'} x ^{''}}{( x ^{'} ) ^{2}}$ ，代回后得到简化公式：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3}$

结果:

这就是参数曲线二阶导数的简化通用公式，对所有 $x^{'} (t) \neq = 0$ 都成立。

📐 例题

求参数曲线 $x (t) = t^{2} + 2 t$ ， $y (t) = t^{3} - 3 t$ 在 $t = 1$ 处的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

1
计算x和y对t的一阶和二阶导数，然后代入t=1求值：
$x'(t) = 2t + 2 \implies x'(1) = 4 \\ y'(t) = 3t^2 - 3 \implies y'(1) = 0 \\ x''(t) = 2 \implies x''(1) = 2 \\ y''(t) = 6t \implies y''(1) = 6$
2
将数值代入简化后的二阶导数公式：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} = \frac{(6)(4) - (0)(2)}{4^3} = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}$
3
t=1处的最终结果为 $\frac{3}{8}$ 。

Exam tip:

如果你只需要求特定t值处的二阶导数，可以先在该t值处计算出 $x^{'}, y^{'}, x^{''}, y^{''}$ ，再代入公式。这可以避免复杂的代数化简，在选择题中节省时间。

2. 参数曲线的凹凸性分析★★★☆☆⏱ 4 min

参数二阶导数在AP考试中最常见的应用就是分析参数曲线的凹凸方向，和笛卡尔曲线的情况类似。凹凸性判断规则是相同的，但 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 是t的函数，因此我们需要解关于t的符号不等式，如果需要再转换回坐标。

拐点（凹凸性改变）候选点出现在 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 0$ 或 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 无定义的位置（当 $x^{'} (t) = 0$ 时分母为零，二阶导数无定义）。和笛卡尔曲线一样，我们需要测试这些候选点之间的区间，确认凹凸性发生了改变。

📐 例题

对于参数曲线 $x (t) = t^{2}$ ， $y (t) = e^{t}$ ， $t > 0$ ，判断曲线在 $x = 4$ 处是凹向上还是凹向下。

1
首先找到对应x=4的t值： $t^{2} = 4 ⟹ t = 2$ （因为t>0）。
2
在t=2处计算并求各导数值：
$x'(t) = 2t \implies x'(2) = 4 \\ y'(t) = e^t \implies y'(2) = e^2 \\ x''(t) = 2 \implies x''(2) = 2 \\ y''(t) = e^t \implies y''(2) = e^2$
3
计算 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 并判断其符号：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(e^2)(4) - (e^2)(2)}{4^3} = \frac{2e^2}{64} = \frac{e^2}{32} \approx 0.23 > 0$
4
结论：曲线在x=4处是凹向上的。

Exam tip:

在计算二阶导数之前，一定要先确认题目要求的x或y对应的t值。考试题经常设置这个步骤来考察你是否理解参数导数是t的函数，而非x的函数。

3. 平面质点运动的二阶导数★★★☆☆⏱ 3 min

当质点在xy平面运动，t时刻位置为 $(x (t), y (t))$ 时， $\frac{d y}{d x}$ 表示质点轨迹（质点在平面中运动的路径）的斜率， $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 表示该路径的凹凸性。这和质点的加速度向量不同，质点加速度向量是 $⟨ x^{''} (t), y^{''} (t)⟩$ ，它是描述质点速度随时间如何变化的向量。AP考试经常考察这个区别。

📐 例题

一质点在xy平面运动，t时刻位置为 $x (t) = 2 cos t$ ， $y (t) = sin t$ ， $0 < t < π$ 。求质点路径在 $t = \frac{π}{4}$ 处的凹凸性。

1
计算x(t)和y(t)的一阶和二阶导数：
$x'(t) = -2\sin t, \quad y'(t) = \cos t \\ x''(t) = -2\cos t, \quad y''(t) = -\sin t$
2
在 $t = \frac{π}{4}$ 处计算所有导数值：
$x' = -\sqrt{2}, \quad y' = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x'' = -\sqrt{2}, \quad y'' = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
3
代入二阶导数公式并化简：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} = \frac{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\sqrt{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\sqrt{2}\right)}{(-\sqrt{2})^3} = \frac{1 + 1}{-2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$
4
结论：质点路径在 $t = \frac{π}{4}$ 处是凹向下的。注意，这里错误使用 $y^{''} (t)$ 会巧合得到相同符号，但这种方法在大多数问题中都会出错。

✓ 快速检测

测试你对这里核心区别的理解：

题目要求求沿参数轨迹运动的质点的加速度，你应该计算以下哪一项？
- $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ at the given time $t$
- $y^{''} (t)$ only
- The vector $⟨ x^{''} (t), y^{''} (t)⟩$
- $\frac{y ^{''} ( t )}{x ^{''} ( t )}$
显示答案
2 —
正确！质点的加速度是仅与时间t有关的向量，和路径的凹凸性无关。

Exam tip:

一定要仔细读题：如果题目问的是"路径的凹凸性"或"轨迹的斜率"，使用 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。如果问的是"质点的加速度"，给出向量 $⟨ x^{''} (t), y^{''} (t)⟩$ 。

4. AP风格练习题★★★★☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道选择题测试你的计算能力：

对于参数曲线 $x (t) = t^{2} + 1$ ， $y (t) = t^{3} + t$ ，t=1处的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 是多少？
- $\frac{1}{2}$
- $1$
- $2$
- $\frac{1}{4}$

📐 例题

一枚小型抛射体从悬崖边缘发射，t秒时的位置为 $x (t) = 25 t$ （水平距离，单位米）， $y (t) = - 4.9 t^{2} + 40 t + 120$ （竖直高度，单位米）。求t=2处轨迹的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ ，并解释结果。

1
计算x(t)和y(t)对t的导数：
$x'(t) = 25, \quad y'(t) = -9.8t + 40 \\ x''(t) = 0, \quad y''(t) = -9.8$
2
代入二阶导数公式：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3} = \frac{(-9.8)(25) - 0}{25^3} = \frac{-245}{15625} = -0.01568$
3
解释：二阶导数在定义域内对所有t都为负，因此抛射体的轨迹始终是凹向下的，随着离发射点水平距离增加向下弯曲。这符合恒定重力加速度下抛射体的预期形状。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 算成 $\frac{y ^{''} ( t )}{x ^{''} ( t )}$

原因:

学生错误地将一阶导数的比值关系 $\frac{d y}{d x} = \frac{y ^{'} ( t )}{x ^{'} ( t )}$ 推广到二阶导数，认为模式相同。

正确做法:

始终使用完整公式 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{d y}{d x} )}{x ^{'} ( t )}$ ，绝不能只使用x和y二阶导数的比值。

错误做法:

对 $\frac{d y}{d x}$ 关于t求导后，忘记除以 $x^{'} (t)$

原因:

学生记得要对一阶导数求导，但对t求导后就停止了，忘记我们需要的是对x的导数。

正确做法:

计算出 $\frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x})$ 后，一定要明确除以 $x^{'} (t)$ ，转换为对x的导数。

错误做法:

在简化公式的分母中写了 $[y^{'} (t)]^{3}$ 而非正确的 $[x^{'} (t)]^{3}$

原因:

学生在不理解推导的情况下死记公式，会混淆项。

正确做法:

如果你忘了简化公式，可以快速重新推导：对 $\frac{y ^{'}}{x ^{'}}$ 关于t求导，再除以x'，这只需要30秒，还能避免分母错误。

错误做法:

使用 $y^{''} (t)$ 判断质点轨迹的凹凸性

原因:

学生将质点加速度的y分量（ $y^{''} (t)$ ）和路径上y对x的二阶导数混淆。

正确做法:

明确对应题目的要求：路径凹凸性使用 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ ，质点加速度使用 $⟨ x^{''} (t), y^{''} (t)⟩$ 。

错误做法:

找凹凸性临界点时只检查分子零点，忽略无定义点

原因:

学生忘记 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 在 $x^{'} (t) = 0$ 处无定义，这也可能是凹凸性改变的点。

正确做法:

分析凹凸性时，要将分子为零的点（ $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 0$ ）和 $x^{'} (t) = 0$ 的点（ $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 无定义）都作为临界点收集。

6. 速查表

类别	公式	注释
参数曲线一阶导数	$\frac{d y}{d x} = \frac{y ^{'} ( t )}{x ^{'} ( t )}, x^{'} (t) \neq = 0$	二阶导数的基础；给出参数t处切线的斜率
二阶导数定义	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})$	一阶导数对x而非对t的导数
二阶导数（未简化）	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{d y}{d x} )}{x ^{'} ( t )}$	比简化形式更容易记忆；对所有 $x^{'} (t) \neq = 0$ 成立
二阶导数（简化）	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{y ^{''} ( t ) x ^{'} ( t ) - y ^{'} ( t ) x ^{''} ( t )}{[ x ^{'} ( t ) ] ^{3}}$	计算用通用公式；要求 $x^{'} (t) \neq = 0$
凹凸性检验	凹向上: $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} > 0$ 凹向下: $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} < 0$	和笛卡尔曲线规则相同；使用 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ ，而非 $y^{''} (t)$
拐点候选点	出现在 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 0$ or $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 无定义	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 在 $x^{'} (t) = 0$ 处无定义；一定要检查这些点
轨迹凹凸性（质点运动）	Use $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ formula	不等于 $y^{''} (t)$ ， $y^{''} (t)$ 是质点加速度的y分量
质点加速度向量	$a (t) = ⟨ x^{''} (t), y^{''} (t)⟩$	运动问题中，这是质点的加速度，不是路径的二阶导数

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC
自由问答题：参数曲线的凹凸性
2022 · BC
选择题：二阶导数计算

下一步

掌握参数方程的二阶导数是AP微积分BC第9单元后续主题（包括向量值函数的导数和参数曲线的弧长）的重要前提。将对参数t的导数转换为对x的导数这一核心技能，培养了后续学习参数曲线和极坐标曲线所需的链式法则直觉。本主题还阐明了质点加速度和质点轨迹凹凸性之间的核心区别，这是AP自由问答题的常见考点。不掌握二阶导数公式及其推导，后续主题学习会困难得多。