向量值函数的积分

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 参数方程、极坐标与向量值函数· 14 分钟阅读

1. 向量值函数的不定积分与定积分★★☆☆☆⏱ 4 min

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二维向量值函数（AP微积分BC仅考察该形式）的一般形式为 $r (t) = ⟨ x (t), y (t) ⟩$ ，其中 $x (t)$ 和 $y (t)$ 是参数 $t$ 的标量函数（在运动问题中参数几乎总是时间）。利用积分的线性性和向量加法，向量值函数的积分按分量分别计算。

\int \vec{r}(t) dt = \left< \int x(t) dt, \int y(t) dt \right> = \left< X(t) + C_1, Y(t) + C_2 \right> = \vec{R}(t) + \vec{C}

其中 $X (t)$ 是 $x (t)$ 的原函数， $Y (t)$ 是 $y (t)$ 的原函数， $C = ⟨ C_{1}, C_{2} ⟩$ 是积分常向量。对于定积分，微积分基本定理可直接推广到向量值函数：

\int_a^b \vec{r}(t) dt = \left< \int_a^b x(t) dt, \int_a^b y(t) dt \right> = \left< X(b) - X(a), Y(b) - Y(a) \right>

向量值函数定积分的结果始终是一个常向量，而不定积分的结果是相差一个常向量的一族向量值函数。这成立的原因是平面运动的x分量和y分量相互独立，积分过程中没有交叉项相互作用。

📐 例题

求 $v (t) = ⟨ 4 t - cos t, 2 e^{3 t} ⟩$ 的不定积分。

1
分离分量分别积分： $v_{x} (t) = 4 t - cos t$ ， $v_{y} (t) = 2 e^{3 t}$ 。
2
对x分量积分：
$\int (4t - \cos t) dt = 2t^2 - \sin t + C_1$
3
对y分量积分：
$\int 2e^{3t} dt = \frac{2}{3}e^{3t} + C_2$
4
将结果合并为向量值原函数：
$\int \vec{v}(t) dt = \left< 2t^2 - \sin t, \frac{2}{3}e^{3t} \right> + \left< C_1, C_2 \right>$

Exam tip:

在AP考试中，如果题目要求求向量值函数的不定积分，一定要写上常向量；在简答题中，将其写为 $C$ 就足以获得常数项的全部分数。

2. 利用初始条件由速度/加速度求位置★★★☆☆⏱ 5 min

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在AP考试中，向量值函数积分最常考察的应用之一，是已知初始条件（例如初始位置 $r (t_{0}) = r_{0}$ 或初始速度 $v (t_{0}) = v_{0}$ ），已知速度 $v (t) = r^{'} (t)$ 求位置 $r (t)$ ，或已知加速度 $a (t) = v^{'} (t)$ 求速度。

整个过程同样遵循按分量积分的规则，之后我们利用给定的初始条件求解未知常数 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 。这与一维运动中由速度求位置完全类似，只是推广到了两个独立分量。

📐 例题

一个质点在平面内运动， $t \geq 0$ 时加速度为 $a (t) = ⟨ 12 t, - 2 sin t ⟩$ 。 $t = 0$ 时初始速度为 $v (0) = ⟨ 2, 3 ⟩$ ，初始位置为 $r (0) = ⟨ 1, - 1 ⟩$ 。求速度向量 $v (t)$ 。

1
对加速度的x分量积分：
$\int 12t dt = 6t^2 + C_1$
2
对加速度的y分量积分：
$\int -2\sin t dt = 2\cos t + C_2$
3
利用初始速度条件 $v_{x} (0) = 2$ ： $6 (0)^{2} + C_{1} = 2 ⟹ C_{1} = 2$
4
利用初始速度条件 $v_{y} (0) = 3$ ： $2 cos (0) + C_{2} = 2 + C_{2} = 3 ⟹ C_{2} = 1$
5
合并得到最终速度向量：
$\vec{v}(t) = \left< 6t^2 + 2, 2\cos t + 1 \right>$

要由速度求位置，重复积分步骤，再利用初始位置求解新的常向量即可。AP简答题通常会同时考察净位移和总路程，二者都依赖这一积分步骤。

Exam tip:

如果简答题要求你求特定时间 $t = T$ 时的位置，不要将答案保留为关于 $t$ 的表达式；一定要将 $T$ 代入位置向量得到最终坐标值，否则你会因未回答题目问题被扣一分。

3. 向量值曲线的弧长与总路程★★★☆☆⏱ 4 min

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对于 $a \leq t \leq b$ 上由向量值函数 $r (t) = ⟨ x (t), y (t) ⟩$ 给出的平面曲线，若 $x^{'} (t)$ 和 $y^{'} (t)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则曲线从 $t = a$ 到 $t = b$ 的弧长 $L$ 等于 $r (t)$ 导数的模（在运动问题中等于速率）在区间上的积分。

L = \int_a^b |\vec{r}'(t)| dt = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt

这个公式符合直观：我们将曲线总长度近似为无穷多小段切线的和，每一段长度近似为 $∣ r^{'} (t) ∣ d t$ ，因此积分得到精确的总长度。对于运动问题，这也是质点从 $t = a$ 到 $t = b$ 的总路程公式。

📐 例题

求位置向量为 $r (t) = ⟨ 3 cos t, 3 sin t ⟩$ 的质点从 $t = 0$ 到 $t = π$ 的总路程。

1
对每个分量求导得到速度向量：
$\vec{r}'(t) = \left< -3\sin t, 3\cos t \right>$
2
计算速度向量的模（速率）：
$|\vec{r}'(t)| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2} = \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t}$
3
利用三角恒等式 $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ 化简：
$|\vec{r}'(t)| = \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t)} = 3$
4
积分得到总路程：
$L = \int_0^\pi 3 dt = 3t \bigg|_0^\pi = 3\pi$

Exam tip:

不要将弧长/总路程与净位移的模混淆。净位移的模是 $\int_{a}^{b} v (t) d t$ ，而总路程是 $\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$ ——二者几乎从不相等。

4. 概念检测★★★☆☆⏱ 1 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题检测你的理解：

一个在平面内运动的质点， $t \geq 0$ 时加速度为 $a (t) = ⟨ 6 t, - e^{- t} ⟩$ 。若 $t = 0$ 时初始速度为 $v (0) = ⟨ 1, 2 ⟩$ ，求 $v (1)$ 是多少？
- $⟨ 4, 2 - \frac{1}{e} ⟩$
- $⟨ 4, 1 + \frac{1}{e} ⟩$
- $⟨ 7, 2 + \frac{1}{e} ⟩$
- $⟨ 7, 1 - \frac{1}{e} ⟩$
显示答案
1 —
解法：按分量对加速度积分，得 $v_{x} (t) = 3 t^{2} + 1$ ， $v_{y} (t) = e^{- t} + 1$ 。代入 $t = 1$ 得 $v_{x} (1) = 4$ ， $v_{y} (1) = 1 + 1/ e$ ，与选项B一致。

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记对两个分量都积分，仅在最终位置向量中给出x分量，积分完一个分量就停止。

原因:

学生在做运动题时会赶进度，完成更复杂的x分量积分后，经常会遗漏y分量。

正确做法:

代入初始条件前一定要反复检查你已经对x和y分量都做了积分，并确认最终答案中两个分量都存在。

错误做法:

x分量和y分量使用同一个常数 $C$ ，而不是各自独立的常数。

原因:

学生习惯了单变量积分只有一个常数，因此会把这个习惯带到向量值积分中。

正确做法:

给每个分量的常数做明确标记（例如 $C_{x}$ 和 $C_{y}$ ），提醒自己它们可以取不同的值。

错误做法:

混淆净位移与总路程，计算的是速度积分的模，而非速度模的积分。

原因:

两个术语听起来很相似，学生经常会搞混求模运算和积分的顺序。

正确做法:

当题目要求求总路程时，立刻写下 $\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$ 来明确你的计算方向。

错误做法:

计算弧长时，仅对导数的系数平方，而非对整个导数项平方，例如写成 $(- 2)^{2} sin t + 2^{2} cos t$ 而非 $(- 2 sin t)^{2} + (2 cos t)^{2}$ 。

原因:

学生展开平方时过于仓促，遗漏了变量项。

正确做法:

写弧长公式时，平方前一定要给整个导数加上括号。

错误做法:

由加速度求位置时，只积分一次而非两次。

原因:

学生忘记加速度是速度的导数，速度是位置的导数，因此需要两步积分。

正确做法:

从加速度开始计算时，先积分得到速度（利用初始速度求解速度常数），再对速度积分得到位置（利用初始位置求解位置常数）。

6. 速查表

类别	公式	说明
不定积分（二维）	$\int ⟨ x (t), y (t) ⟩ d t = ⟨ \int x (t) d t, \int y (t) d t ⟩ = R (t) + C$	$C = ⟨ C_{1}, C_{2} ⟩$ ：每个分量各有独立常数
定积分（二维）	$\int_{a}^{b} ⟨ x (t), y (t) ⟩ d t = ⟨ X (b) - X (a), Y (b) - Y (a) ⟩$	结果为常向量，直接推广微积分基本定理
由速度求位置	$r (t) = \int v (t) d t + C$	利用初始位置 $r (0) = r_{0}$ 求解常数
由加速度求速度	$v (t) = \int a (t) d t + C$	利用初始速度 $v (0) = v_{0}$ 求解常数
弧长 / 总路程	$L = \int_{a}^{b} (x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2} d t = \int_{a}^{b} ∣ r^{'} (t) ∣ d t$	导数必须连续；在运动问题中等于总路程
净位移	$Δ r = \int_{a}^{b} v (t) d t = r (b) - r (a)$	净位移是向量；其模不等于总路程

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC
平面运动向量简答题
2022 · BC MCQ
向量不定积分

下一步

掌握向量值函数的积分是AP微积分BC第9单元剩余内容（包括参数曲线弧长和极坐标曲线围成面积）的核心前提。这些内容都直接建立在你在这里练习的按分量积分和弧长基础之上，AP多部分简答题经常要求将向量运动概念与极坐标或参数应用结合起来，因此缺失这个基础会让你失分。除了AP考试外，这个内容为大学水平多元微积分中的线积分奠定了基础逻辑，将按分量积分的思想推广到了更高维度和更复杂的曲线问题。