极坐标定义与极形式求导

AP 微积分 BC· 5 分钟阅读

1. 极坐标简介★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

极坐标点

$(r, θ)$

一个点由 $r$ （极点（原点）到该点的距离）和 $θ$ （极轴（正 $x$ 轴）到该点连线的角度）定义。

例:

直角坐标点 $(1, 1)$ 在极坐标中表示为 $(\sqrt2, \frac{π}{4})$ 。

与直角坐标不同，直角坐标中每个点对应唯一的 $(x, y)$ 对，而同一个点在极坐标中可以有多种有效的表示方式。例如， $(r, θ) = (- r, θ + π)$ 描述的是同一个点。

要在极坐标和直角坐标之间转换，我们使用以下核心三角关系：

x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ r^2 = x^2 + y^2 \\ \tan \theta = \frac{y}{x}, \quad x \neq 0

📐 例题

将极坐标点 $(4, \frac{2 π}{3})$ 转换为直角坐标。

1
使用标准转换公式 $x = r cos θ$ 和 $y = r sin θ$ ：
2
$x = 4 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \\ y = 4 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\sqrt{3}$
3
$(4, \frac{2 π}{3})$ 对应的直角坐标为 $(- 2, 23)$ 。

2. 推导极导数公式★★★☆☆⏱ 20 min

极曲线 $r = f (θ)$ 可以看作参数为 $θ$ 的参数曲线。我们使用参数求导法则 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d θ}{d x / d θ}$ 来求切线的斜率。

🔬 推导

目标:

推导 $r = f (θ)$ 的 $\frac{d y}{d x}$ 公式

起点:

参数求导法则： $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d θ}{d x / d θ}$

1
利用转换公式写出用 $θ$ 表示的 $x$ 和 $y$ ：
2
$x = r \cos \theta = f(\theta) \cos \theta \\ y = r \sin \theta = f(\theta) \sin \theta$
3
使用乘积法则求导：
4
$\frac{dy}{d\theta} = f'(\theta) \sin \theta + f(\theta) \cos \theta \\ \frac{dx}{d\theta} = f'(\theta) \cos \theta - f(\theta) \sin \theta$
5
代入参数导数公式

结果:

任意极曲线 $r = f (θ)$ 的切线斜率为：

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta}{\frac{dr}{d\theta} \cos \theta - r \sin \theta}

📐 例题

求极曲线 $r = 2 cos θ$ 的 $\frac{d y}{d x}$ 。

1
首先计算 $\frac{d r}{d θ}$ ：
2
$\frac{dr}{d\theta} = -2 \sin \theta$
3
代入极导数公式：
4
$\frac{dy}{dx} = \frac{(-2 \sin \theta) \sin \theta + (2 \cos \theta) \cos \theta}{(-2 \sin \theta) \cos \theta - (2 \cos \theta) \sin \theta}$
5
利用二倍角公式化简：
6
$\text{Numerator: } -2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta = 2\cos 2\theta \\ \text{Denominator: } -4 \sin \theta \cos \theta = -2 \sin 2\theta \\ \frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos 2\theta}{-2 \sin 2\theta} = -\cot 2\theta$

3. 水平切线与垂直切线★★★☆☆⏱ 15 min

我们根据极导数的组成部分，按照以下规则确定极曲线哪里有水平切线或垂直切线：

水平切线出现在 $\frac{d y}{d θ} = 0$ 且 $\frac{d x}{d θ} \neq = 0$ 处
垂直切线出现在 $\frac{d x}{d θ} = 0$ 且 $\frac{d y}{d θ} \neq = 0$ 处
如果两个导数都为零，斜率是不确定的，需要进一步分析

📐 例题

在 $0 \leq θ < 2 π$ 范围内，找出 $r = 1 + sin θ$ 所有水平切线对应的点。

1
计算 $\frac{d r}{d θ}$ 和 $\frac{d y}{d θ}$ ：
2
$r = 1 + \sin \theta \implies \frac{dr}{d\theta} = \cos \theta \\ \frac{dy}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta = \cos \theta \sin \theta + (1 + \sin \theta) \cos \theta$
3
化简并令 $\frac{d y}{d θ} = 0$ ：
4
$\frac{dy}{d\theta} = 2 \sin \theta \cos \theta + \cos \theta = \cos \theta (2 \sin \theta + 1) = 0$
5
求解 $θ$ 并对每个解检查 $\frac{d x}{d θ} \neq = 0$ ：
6
我们得到4个满足 $\frac{d x}{d θ}$ 非零的有效点： $(2, \frac{π}{2})$ , $(0, \frac{3 π}{2})$ , $(\frac{1}{2}, \frac{7 π}{6})$ , $(\frac{1}{2}, \frac{11 π}{6})$

4. 常见陷阱

错误做法:

对 $x = r cos θ$ 和 $y = r sin θ$ 求导时忘记乘积法则，错误写成 $d x / d θ = d r / d θ cos θ$

原因:

$r$ 是 $θ$ 的函数，因此两个导数都需要使用乘积法则

正确做法:

始终使用： $\frac{d x}{d θ} = \frac{d r}{d θ} cos θ - r sin θ$ 和 $\frac{d y}{d θ} = \frac{d r}{d θ} sin θ + r cos θ$

错误做法:

当 $d y / d θ = 0$ 且 $d x / d θ = 0$ 时，仍然认为存在水平切线

原因:

当两个导数都为零时， $\frac{d y}{d x}$ 是不确定的，不是零，因此不能保证斜率为零

正确做法:

在得出水平或垂直切线的结论前，始终确认另一个导数非零

错误做法:

极导数公式中分子分母位置颠倒

原因:

两个导数的乘积法则形式相似，很容易混淆位置

正确做法:

记住 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d θ}{d x / d θ}$ ，因此 $d y / d θ$ 始终是分子，和参数求导法则一致

错误做法:

转换为直角坐标前，为负的 $r$ 调整角度

原因:

很多学生认为负 $r$ 需要先修改 $θ$ ，但这会带来额外工作量，容易出错

正确做法:

即使 $r$ 为负，也直接使用 $x = r cos θ$ 和 $y = r sin θ$ ：公式会自动给出正确的直角坐标

5. 速查表

概念	公式
极坐标转直角坐标	$x = r cos θ, y = r sin θ$
直角坐标转极坐标	$r^{2} = x^{2} + y^{2}, tan θ = y / x$
极切线斜率	$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d r}{d θ} s i n θ + r c o s θ}{\frac{d r}{d θ} c o s θ - r s i n θ}$
水平切线	$\frac{d y}{d θ} = 0, \frac{d x}{d θ} \neq = 0$
垂直切线	$\frac{d x}{d θ} = 0, \frac{d y}{d θ} \neq = 0$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求极切线的斜率
2022 · FRQ
求极曲线的水平切线
2021 · MCQ
将极坐标点转换为直角坐标点

下一步

现在你已经理解了极坐标和极曲线求导，你已经掌握了核心基础，可以解决更高级的极坐标问题，包括求极曲线的弧长和计算极曲线围成的面积，这是第9单元接下来的核心主题。这些主题直接建立在你在这里学到的技能之上：坐标转换和极曲线求导是建立和计算极函数面积、弧长积分所必需的。极切线斜率问题经常出现在AP微积分BC的选择题中，掌握这些技能将直接提高你的考试成绩。